Curva de ancho constante
En geometría , una curva de ancho constante es una simple curva cerrada en el plano cuyo ancho (la distancia entre líneas de apoyo paralelas ) es el mismo en todas las direcciones. La forma delimitada por una curva de ancho constante es un cuerpo de ancho constante o un orbiforme , el nombre que Leonhard Euler le dio a estas formas . [1] Los ejemplos estándar son el círculo y el triángulo de Reuleaux . Estas curvas también se pueden construir utilizando arcos circulares centrados en los cruces de una disposición de líneas , como las involutas.de ciertas curvas, o mediante la intersección de círculos centrados en una curva parcial.
Todo cuerpo de ancho constante es un conjunto convexo , su límite cruzado como máximo dos veces por cualquier línea, y si la línea cruza perpendicularmente lo hace en ambos cruces, separados por el ancho. Según el teorema de Barbier , el perímetro del cuerpo es exactamente π veces su ancho, pero su área depende de su forma, y el triángulo de Reuleaux tiene el área más pequeña posible para su ancho y el círculo el más grande. Cada superconjunto de un cuerpo de ancho constante incluye pares de puntos que están más separados que el ancho, y cada curva de ancho constante incluye al menos seis puntos de curvatura extrema. Aunque el triángulo de Reuleaux no es liso, las curvas de ancho constante siempre se pueden aproximar arbitrariamente de cerca mediante curvas suaves del mismo ancho constante.
Los cilindros con sección transversal de ancho constante se pueden utilizar como rodillos para soportar una superficie nivelada. Otra aplicación de curvas de ancho constante es para formas de acuñación , donde los polígonos de Reuleaux regulares son una opción común. La posibilidad de que las curvas distintas de los círculos puedan tener un ancho constante hace que sea más complicado comprobar la redondez de un objeto .
Las curvas de ancho constante se han generalizado de varias formas a dimensiones más altas y a geometría no euclidiana .
El ancho y el ancho constante se definen en términos de las líneas de apoyo de las curvas; son líneas que tocan una curva sin cruzarla. Cada curva compacta en el plano tiene dos líneas de apoyo en cualquier dirección dada, con la curva intercalada entre ellas. La distancia euclidiana entre estas dos líneas es el ancho de la curva en esa dirección, y una curva tiene un ancho constante si esta distancia es la misma para todas las direcciones de las líneas. El ancho de un conjunto convexo acotadose puede definir de la misma manera que para las curvas, por la distancia entre pares de líneas paralelas que tocan el conjunto sin cruzarlo, y un conjunto convexo es un cuerpo de ancho constante cuando esta distancia es distinta de cero y no depende de la dirección de las líneas. Cada cuerpo de ancho constante tiene una curva de ancho constante como su límite, y cada curva de ancho constante tiene un cuerpo de ancho constante como su casco convexo . [2] [3]
Otra forma equivalente de definir el ancho de una curva compacta o de un conjunto convexo es mirando su proyección ortogonal sobre una línea. En ambos casos, la proyección es un segmento de línea , cuya longitud es igual a la distancia entre las líneas de apoyo que son perpendiculares a la línea. Entonces, una curva o un conjunto convexo tiene un ancho constante cuando todas sus proyecciones ortogonales tienen la misma longitud. [2] [3]
