Un triángulo de Reuleaux [ʁœlo] es una forma formada por la intersección de tres discos circulares , cada uno con su centro en el límite de los otros dos. Su límite es una curva de ancho constante , la curva más simple y mejor conocida que no sea el círculo mismo. Es un polígono de Reuleaux , una curva de ancho constante formada por arcos circulares. [1] Ancho constante significa que la separación de cada dos líneas de soporte paralelases la misma, independientemente de su orientación. Debido a que todos sus diámetros son iguales, el triángulo de Reuleaux es una respuesta a la pregunta "Aparte de un círculo, ¿qué forma se puede hacer una tapa de registro para que no se caiga por el agujero?" [2]
Los triángulos de Reuleaux también se han llamado triángulos esféricos , pero ese término se refiere más correctamente a los triángulos en la superficie curva de una esfera . Llevan el nombre de Franz Reuleaux , [3] un ingeniero alemán del siglo XIX que fue pionero en el estudio de las máquinas para traducir un tipo de movimiento en otro, y que utilizó triángulos de Reuleaux en sus diseños. [4] Sin embargo, estas formas fueron conocidas antes de su tiempo, por ejemplo, por los diseñadores de ventanas de iglesias góticas , por Leonardo da Vinci , quien las utilizó para una proyección de mapas , y por Leonhard Euler en su estudio de formas de ancho constante. Otras aplicaciones del triángulo de Reuleaux incluyen dar forma a púas de guitarra , tuercas de boca de incendios , lápices y brocas para perforar agujeros cuadrados fileteados , así como en el diseño gráfico en la forma de algunos letreros y logotipos corporativos.
Entre las formas de ancho constante con un ancho dado, el triángulo de Reuleaux tiene el área mínima y el ángulo más agudo (más pequeño) posible (120 °) en sus esquinas. Según varias medidas numéricas, está más lejos de ser centralmente simétrico . Proporciona la forma de ancho constante más grande evitando los puntos de una celosía entera , y está estrechamente relacionada con la forma del cuadrilátero maximizando la relación de perímetro a diámetro. Puede realizar una rotación completa dentro de un cuadrado mientras en todo momento toca los cuatro lados del cuadrado, y tiene el área de formas más pequeña posible con esta propiedad. Sin embargo, aunque cubre la mayor parte del cuadrado en este proceso de rotación, no cubre una pequeña fracción del área del cuadrado, cerca de sus esquinas. Debido a esta propiedad de rotar dentro de un cuadrado, el triángulo de Reuleaux también se conoce a veces como rotor de Reuleaux . [5]
El triángulo de Reuleaux es el primero de una secuencia de polígonos de Reuleaux cuyos límites son curvas de ancho constante formadas a partir de polígonos regulares con un número impar de lados. Algunas de estas curvas se han utilizado como formas de monedas . El triángulo de Reuleaux también se puede generalizar en tres dimensiones de múltiples maneras: el tetraedro de Reuleaux (la intersección de cuatro bolas cuyos centros se encuentran en un tetraedro regular ) no tiene un ancho constante, pero se puede modificar redondeando sus bordes para formar el tetraedro de Meissner. , que lo hace. Alternativamente, la superficie de revolución del triángulo de Reuleaux también tiene un ancho constante.
Construcción
El triángulo de Reuleaux se puede construir directamente a partir de tres círculos o redondeando los lados de un triángulo equilátero . [6]
La construcción de tres círculos se puede realizar solo con una brújula , sin necesidad de una regla. Según el teorema de Mohr-Mascheroni, lo mismo es cierto de manera más general para cualquier construcción de compás y regla , [7] pero la construcción del triángulo de Reuleaux es particularmente simple. El primer paso es marcar dos puntos arbitrarios del plano (que eventualmente se convertirán en vértices del triángulo) y usar la brújula para dibujar un círculo centrado en uno de los puntos marcados, a través del otro punto marcado. A continuación, se dibuja un segundo círculo, del mismo radio, centrado en el otro punto marcado y pasando por el primer punto marcado. Finalmente, se dibuja un tercer círculo, nuevamente del mismo radio, con su centro en uno de los dos puntos de cruce de los dos círculos anteriores, pasando por ambos puntos marcados. [8] La región central en la disposición resultante de tres círculos será un triángulo de Reuleaux. [6]
Alternativamente, se puede construir un triángulo de Reuleaux a partir de un triángulo equilátero T dibujando tres arcos de círculos, cada uno centrado en un vértice de T y conectando los otros dos vértices. [9] o, equivalentemente, que puede estar construido como la intersección de tres discos centrados en los vértices de T , con radio igual a la longitud del lado de T . [10]
Propiedades matematicas
La propiedad más básica del triángulo de Reuleaux es que tiene un ancho constante, lo que significa que por cada par de líneas de soporte paralelas (dos líneas de la misma pendiente que tocan la forma sin cruzarla) las dos líneas tienen la misma distancia euclidiana desde entre sí, independientemente de la orientación de estas líneas. [9] En cualquier par de líneas de apoyo paralelas, una de las dos líneas necesariamente tocará el triángulo en uno de sus vértices. La otra línea de apoyo puede tocar el triángulo en cualquier punto del arco opuesto, y su distancia (el ancho del triángulo de Reuleaux) es igual al radio de este arco. [11]
El primer matemático que descubrió la existencia de curvas de ancho constante y que observó que el triángulo de Reuleaux tiene un ancho constante, pudo haber sido Leonhard Euler . [5] En un artículo que presentó en 1771 y publicó en 1781 titulado De curvis triangularibus , Euler estudió los triángulos curvilíneos , así como las curvas de ancho constante, a las que llamó orbiformes. [12] [13]
Medidas extremas
Según muchas medidas diferentes, el triángulo de Reuleaux es una de las curvas más extremas de ancho constante.
Según el teorema de Blaschke-Lebesgue , el triángulo de Reuleaux tiene el área más pequeña posible de cualquier curva de ancho constante dado. Esta zona es
donde s es el ancho constante. Un método para derivar esta fórmula de área es dividir el triángulo de Reuleaux en un triángulo equilátero interno y tres regiones curvilíneas entre este triángulo interno y los arcos que forman el triángulo de Reuleaux, y luego sumar las áreas de estos cuatro conjuntos. En el otro extremo, la curva de ancho constante que tiene el área máxima posible es un disco circular , que tiene área. [14]
Los ángulos formados por cada par de arcos en las esquinas de un triángulo de Reuleaux son todos iguales a 120 °. Este es el ángulo más agudo posible en cualquier vértice de cualquier curva de ancho constante. [9] Además, entre las curvas de ancho constante, el triángulo de Reuleaux es el que tiene tanto los triángulos equiláteros inscritos más grandes como los más pequeños. [15] El triángulo equilátero más grande inscrito en un triángulo de Reuleaux es el que conecta sus tres esquinas, y el más pequeño es el que conecta los tres puntos medios de sus lados. El subconjunto del triángulo de Reuleaux que consta de puntos que pertenecen a tres o más diámetros es el interior del mayor de estos dos triángulos; tiene un área mayor que el conjunto de puntos de tres diámetros de cualquier otra curva de ancho constante. [dieciséis]
Aunque el triángulo de Reuleaux tiene una simetría diédrica de seis veces , al igual que un triángulo equilátero , no tiene simetría central . El triángulo de Reuleaux es la curva menos simétrica de ancho constante según dos medidas diferentes de asimetría central, la medida de Kovner-Besicovitch (relación entre el área y la forma simétrica central más grande encerrada por la curva) y la medida de Estermann (relación entre el área y la la forma simétrica central más pequeña que encierra la curva). Para el triángulo de Reuleaux, las dos formas centralmente simétricas que determinan las medidas de asimetría son hexagonales , aunque la interior tiene lados curvos. [17] El triángulo de Reuleaux tiene diámetros que dividen su área de manera más desigual que cualquier otra curva de ancho constante. Es decir, la relación máxima de áreas a cada lado de un diámetro, otra medida de asimetría, es mayor para el triángulo de Reuleaux que para otras curvas de ancho constante. [18]
Entre todas las formas de ancho constante que evitan todos los puntos de una celosía entera , la que tiene el ancho más grande es un triángulo de Reuleaux. Tiene uno de sus ejes de simetría paralelo a los ejes de coordenadas en una línea de medio entero. Su ancho, aproximadamente 1,545, es la raíz de un polinomio de grado 6 con coeficientes enteros. [17] [19] [20]
Así como es posible que un círculo esté rodeado por seis círculos congruentes que lo tocan, también es posible disponer siete triángulos Reuleaux congruentes para que todos hagan contacto con un triángulo Reuleaux central del mismo tamaño. Este es el número máximo posible para cualquier curva de ancho constante. [21]
Entre todos los cuadriláteros , la forma que tiene la mayor relación entre su perímetro y su diámetro es una cometa equidiagonal que se puede inscribir en un triángulo de Reuleaux. [22]
Otras medidas
Según el teorema de Barbier, todas las curvas del mismo ancho constante, incluido el triángulo de Reuleaux, tienen perímetros iguales . En particular, este perímetro es igual al perímetro del círculo con el mismo ancho, que es. [23] [24] [9]
Los radios del círculo inscrito más grande de un triángulo de Reuleaux con ancho s , y del círculo circunscrito del mismo triángulo, son
respectivamente; la suma de estos radios es igual al ancho del triángulo de Reuleaux. Más generalmente, para cada curva de ancho constante, el círculo inscrito más grande y el círculo circunscrito más pequeño son concéntricos, y sus radios suman el ancho constante de la curva. [25]
¿Cuán densamente se pueden empaquetar los triángulos de Reuleaux en el avión?
La densidad de empaquetamiento óptima del triángulo de Reuleaux en el plano sigue sin demostrarse, pero se conjetura que es
que es la densidad de un posible empaquetamiento de doble celosía para estas formas. El límite superior mejor probado en la densidad de empaquetamiento es aproximadamente 0.947275. [26] También se ha conjeturado, pero no probado, que los triángulos de Reuleaux tienen la densidad de empaquetamiento más alta de cualquier curva de ancho constante. [27]
Rotación dentro de un cuadrado
Cualquier curva de ancho constante puede formar un rotor dentro de un cuadrado , una forma que puede realizar una rotación completa mientras permanece dentro del cuadrado y en todo momento toca los cuatro lados del cuadrado. Sin embargo, el triángulo de Reuleaux es el rotor con el área mínima posible. [9] A medida que gira, su eje no permanece fijo en un solo punto, sino que sigue una curva formada por las piezas de cuatro elipses . [28] Debido a sus ángulos de 120 °, el triángulo de Reuleaux giratorio no puede alcanzar algunos puntos cercanos a los ángulos más agudos en los vértices del cuadrado, sino que cubre una forma con esquinas ligeramente redondeadas, también formadas por arcos elípticos. [9]
En cualquier punto durante esta rotación, dos de las esquinas del triángulo de Reuleaux tocan dos lados adyacentes del cuadrado, mientras que la tercera esquina del triángulo traza una curva cerca del vértice opuesto del cuadrado. La forma trazada por el triángulo giratorio de Reuleaux cubre aproximadamente el 98,77% del área del cuadrado. [29]
Como contraejemplo
La motivación original de Reuleaux para estudiar el triángulo de Reuleaux fue un contraejemplo, que muestra que tres contactos de un solo punto pueden no ser suficientes para fijar un objeto plano en una sola posición. [30] La existencia de triángulos de Reuleaux y otras curvas de ancho constante muestra que las mediciones de diámetro por sí solas no pueden verificar que un objeto tiene una sección transversal circular. [31]
En relación con el problema del cuadrado inscrito , Eggleston (1958) observó que el triángulo de Reuleaux proporciona un ejemplo de una forma de ancho constante en la que no se puede inscribir ningún polígono regular con más de cuatro lados, excepto el hexágono regular, y describió un pequeño modificación de esta forma que conserva su ancho constante pero también evita que en ella se inscriban hexágonos regulares. Generalizó este resultado a tres dimensiones utilizando un cilindro con la misma forma que su sección transversal . [32]
Aplicaciones
Llegando a las esquinas
Varios tipos de maquinaria toman la forma del triángulo de Reuleaux, en función de su propiedad de poder girar dentro de un cuadrado.
La broca cuadrada Watts Brothers Tool Works tiene la forma de un triángulo Reuleaux, modificado con concavidades para formar superficies de corte. Cuando se monta en un mandril especial que permite que la broca no tenga un centro de rotación fijo, puede perforar un orificio que sea casi cuadrado. [33] Aunque fue patentado por Henry Watts en 1914, antes se utilizaron taladros similares inventados por otros. [9] Otros polígonos de Reuleaux se utilizan para perforar agujeros pentagonales, hexagonales y octogonales. [9] [33]
La aspiradora robótica RULO de Panasonic tiene su forma basada en el triángulo Reuleaux para facilitar la limpieza del polvo en las esquinas de las habitaciones. [34] [35]
Cilindros rodantes
Otra clase de aplicaciones del triángulo de Reuleaux involucra objetos cilíndricos con una sección transversal del triángulo de Reuleaux. Se fabrican varios lápices con esta forma, en lugar de los barriles redondos o hexagonales más tradicionales. [36] Por lo general, se promocionan como más cómodos o que fomentan el agarre adecuado, además de ser menos propensos a caer de las mesas (ya que el centro de gravedad se mueve hacia arriba y hacia abajo más que un hexágono rodante).
Un triángulo de Reuleaux (junto con todas las demás curvas de ancho constante ) puede rodar, pero hace una mala rueda porque no gira alrededor de un centro de rotación fijo. Un objeto encima de los rodillos que tienen secciones transversales triangulares de Reuleaux rodaría de manera suave y plana, pero un eje unido a las ruedas triangulares de Reuleaux rebotaría hacia arriba y hacia abajo tres veces por revolución. [9] [37] Este concepto fue utilizado en un cuento de ciencia ficción de Poul Anderson titulado "La rueda de tres picos". [11] [38] Una bicicleta con ejes flotantes y un cuadro sostenido por el borde de su rueda en forma de triángulo Reuleaux fue construida y demostrada en 2009 por el inventor chino Guan Baihua, quien se inspiró en lápices con la misma forma. [39]
Diseño de mecanismo
Otra clase de aplicaciones del triángulo de Reuleaux implica su uso como parte de un enlace mecánico que puede convertir la rotación alrededor de un eje fijo en un movimiento alternativo . [10] Estos mecanismos fueron estudiados por Franz Reuleaux. Con la ayuda de la empresa Gustav Voigt, Reuleaux construyó aproximadamente 800 modelos de mecanismos, varios de los cuales involucraban el triángulo de Reuleaux. [40] Reuleaux utilizó estos modelos en sus investigaciones científicas pioneras de su movimiento. [41] Aunque la mayoría de los modelos de Reuleaux-Voigt se han perdido, 219 de ellos se han recopilado en la Universidad de Cornell , incluidos nueve basados en el triángulo de Reuleaux. [40] [42] Sin embargo, el uso de triángulos de Reuleaux en el diseño de mecanismos es anterior al trabajo de Reuleaux; por ejemplo, algunas máquinas de vapor de 1830 tenían una leva en forma de triángulo de Reuleaux. [43] [44]
Una aplicación de este principio surge en un proyector de películas . En esta aplicación, es necesario hacer avanzar la película en un movimiento desigual y escalonado, en el que cada fotograma de la película se detiene durante una fracción de segundo frente a la lente del proyector, y luego, mucho más rápidamente, la película se mueve al siguiente. marco. Esto se puede hacer mediante un mecanismo en el que se utiliza la rotación de un triángulo Reuleaux dentro de un cuadrado para crear un patrón de movimiento para un actuador que tira de la película rápidamente a cada nuevo fotograma y luego pausa el movimiento de la película mientras se proyecta el fotograma. [45]
El rotor del motor Wankel tiene la forma de un triángulo curvilíneo que a menudo se cita como ejemplo de un triángulo de Reuleaux. [3] [5] [9] [44] Sin embargo, sus lados curvos son algo más planos que los de un triángulo de Reuleaux, por lo que no tiene un ancho constante. [46]
Arquitectura
En la arquitectura gótica , a partir de finales del siglo XIII o principios del XIV, [47] el triángulo de Reuleaux se convirtió en una de las varias formas curvilíneas que se utilizan con frecuencia para ventanas, tracerías de ventanas y otras decoraciones arquitectónicas. [3] Por ejemplo, en la arquitectura gótica inglesa , esta forma se asoció con el período decorado, tanto en su estilo geométrico de 1250-1290 como continuando en su estilo curvilíneo de 1290-1350. [47] También aparece en algunas de las ventanas de la Catedral de Milán . [48] En este contexto, la forma se llama con más frecuencia un triángulo esférico, [47] [49] [50] pero el significado matemático más común de un triángulo esférico es un triángulo en la superficie de una esfera (una forma también comúnmente utilizado en arquitectura como pechina ). En su uso en la arquitectura de la iglesia gótica, la forma de tres esquinas del triángulo de Reuleaux puede verse como un símbolo de la Trinidad , [51] y como "un acto de oposición a la forma del círculo". [52]
El triángulo de Reuleaux también se ha utilizado en otros estilos de arquitectura. Por ejemplo, Leonardo da Vinci bosquejó esta forma como el plan para una fortificación. [42] Los edificios modernos que se ha afirmado que utilizan un plano de planta en forma de triángulo Reuleaux incluyen el Auditorio MIT Kresge , el Kölntriangle , el Donauturm , la Torre de Collserola y el Museo Mercedes-Benz . [53] Sin embargo, en muchos casos se trata simplemente de triángulos redondeados, con una geometría diferente a la del triángulo de Reuleaux.
Elaboración de mapas
Otra aplicación temprana del triángulo de Reuleaux, el mapa del mundo de da Vinci de alrededor de 1514, fue un mapa del mundo en el que la superficie esférica de la tierra estaba dividida en ocho octantes, cada uno aplanado en la forma de un triángulo de Reuleaux. [54] [55] [56]
Mapas similares también basados en el triángulo de Reuleaux fueron publicados por Oronce Finé en 1551 y por John Dee en 1580. [56]
Otros objetos
Muchas púas de guitarra emplean el triángulo Reuleaux, ya que su forma combina una punta afilada para proporcionar una articulación fuerte, con una punta ancha para producir un timbre cálido. Debido a que los tres puntos de la forma son utilizables, es más fácil de orientar y se desgasta menos rápidamente en comparación con una púa con una sola punta. [57]
El triángulo de Reuleaux se ha utilizado como forma para la sección transversal de una tuerca de válvula de boca de incendios . El ancho constante de esta forma dificulta la apertura de la boca de incendios con llaves estándar de mandíbulas paralelas; en cambio, se necesita una llave con una forma especial. Esta propiedad permite que los bomberos (que tienen la llave especial) abran las bocas de incendio, pero no otras personas que intenten utilizar la boca de incendios como fuente de agua para otras actividades. [58]
Siguiendo una sugerencia de Keto (1997) , [59] las antenas del Submillimeter Array , un observatorio astronómico de ondas de radio en Mauna Kea en Hawai , están dispuestas en cuatro triángulos Reuleaux anidados. [60] [61] Colocar las antenas en una curva de ancho constante hace que el observatorio tenga la misma resolución espacial en todas las direcciones y proporciona un haz de observación circular. Como la curva más asimétrica de ancho constante, el triángulo de Reuleaux conduce a la cobertura más uniforme del plano para la transformada de Fourier de la señal de la matriz. [59] [61] Las antenas se pueden mover de un triángulo de Reuleaux a otro para diferentes observaciones, de acuerdo con la resolución angular deseada de cada observación. [60] [61] La ubicación precisa de las antenas en estos triángulos de Reuleaux se optimizó utilizando una red neuronal . En algunos lugares, el observatorio construido se aparta de la forma de triángulo de Reuleaux preferida porque esa forma no era posible dentro del sitio dado. [61]
Signos y logotipos
Las formas de escudo utilizadas para muchos letreros y logotipos corporativos presentan triángulos redondeados. Sin embargo, solo algunos de estos son triángulos de Reuleaux.
El logotipo corporativo de Petrofina (Fina), una empresa petrolera belga con importantes operaciones en Europa, América del Norte y África, utilizó un triángulo Reuleaux con el nombre de Fina desde 1950 hasta la fusión de Petrofina con Total SA en 2000. [62] [63] Otro El logotipo corporativo enmarcado en el triángulo de Reuleaux, la brújula que apunta al sur de Bavaria Brewery , fue parte de un cambio de imagen de la empresa de diseño Total Identity que ganó el premio al Anunciante del Año de SAN 2010. [64] El triángulo de Reuleaux también se utiliza en el logotipo de la Escuela de Minas de Colorado . [sesenta y cinco]
En los Estados Unidos, el Sistema Nacional de Senderos y el Sistema de Rutas en Bicicleta de los Estados Unidos marcan rutas con triángulos de Reuleaux en la señalización. [66]
En naturaleza
De acuerdo con las leyes de Plateau , los arcos circulares en grupos bidimensionales de pompas de jabón se encuentran en ángulos de 120 °, el mismo ángulo que se encuentra en las esquinas de un triángulo de Reuleaux. A partir de este hecho, es posible construir conglomerados en los que algunas de las burbujas adoptan la forma de un triángulo de Reuleaux. [67]
La forma se aisló por primera vez en forma de cristal en 2014 como discos triangulares de Reuleaux. [68] Los discos básicos de nitrato de bismuto con forma de triángulo de Reuleaux se formaron a partir de la hidrólisis y precipitación de nitrato de bismuto en un sistema de etanol-agua en presencia de 2,3-bis (2-piridil) pirazina.
Generalizaciones
Se pueden obtener curvas triangulares de ancho constante con esquinas suaves en lugar de agudas como el lugar geométrico de los puntos a una distancia fija del triángulo de Reuleaux. [69] Otras generalizaciones del triángulo de Reuleaux incluyen superficies en tres dimensiones, curvas de ancho constante con más de tres lados y los conjuntos de Yanmouti que proporcionan ejemplos extremos de una desigualdad entre ancho, diámetro e inradio.
Versión tridimensional
La intersección de cuatro bolas de radio s centradas en los vértices de un tetraedro regular con una longitud de lado s se llama tetraedro de Reuleaux , pero su superficie no es una superficie de ancho constante . [70] Sin embargo, se puede convertir en una superficie de ancho constante, llamada tetraedro de Meissner , reemplazando tres de sus arcos de borde por superficies curvas, las superficies de rotación de un arco circular. Alternativamente, la superficie de revolución de un triángulo de Reuleaux a través de uno de sus ejes de simetría forma una superficie de ancho constante, con un volumen mínimo entre todas las superficies de revolución conocidas de ancho constante dado. [71]
Polígonos de Reuleaux
El triángulo de Reuleaux se puede generalizar a polígonos regulares o irregulares con un número impar de lados, lo que produce un polígono de Reuleaux , una curva de ancho constante formada por arcos circulares de radio constante. El ancho constante de estas formas permite su uso como monedas que se pueden utilizar en máquinas que funcionan con monedas. [9] Aunque las monedas de este tipo en circulación general suelen tener más de tres lados, se ha utilizado un triángulo de Reuleaux para una moneda conmemorativa de las Bermudas . [53]
Se pueden utilizar métodos similares para encerrar un polígono simple arbitrario dentro de una curva de ancho constante, cuyo ancho es igual al diámetro del polígono dado. La forma resultante consiste en arcos circulares (como máximo tantos como lados del polígono), se puede construir algorítmicamente en tiempo lineal y se puede dibujar con brújula y regla. [72] Aunque todos los polígonos de Reuleaux tienen un número impar de lados de arco circular, es posible construir formas de ancho constante con un número par de lados de arco circular de radios variables. [73]
Conjuntos de Yanmouti
Los conjuntos de Yanmouti se definen como los cascos convexos de un triángulo equilátero junto con tres arcos circulares, centrados en los vértices del triángulo y que abarcan el mismo ángulo que el triángulo, con radios iguales que son como máximo iguales a la longitud del lado del triángulo. Por lo tanto, cuando el radio es lo suficientemente pequeño, estos conjuntos degeneran en el triángulo equilátero mismo, pero cuando el radio es lo más grande posible, son iguales al triángulo de Reuleaux correspondiente. Toda forma con ancho w , diámetro d e inradio r (el radio del círculo más grande posible contenido en la forma) obedece a la desigualdad
y esta desigualdad se convierte en una igualdad para los conjuntos de Yanmouti, demostrando que no se puede mejorar. [74]
Figuras relacionadas
En la presentación clásica de un diagrama de Venn de tres conjuntos como tres círculos superpuestos, la región central (que representa elementos pertenecientes a los tres conjuntos) toma la forma de un triángulo de Reuleaux. [3] Los mismos tres círculos forman uno de los dibujos estándar de los anillos borromeos , tres anillos mutuamente vinculados que, sin embargo, no pueden realizarse como círculos geométricos. [75] Partes de estos mismos círculos se utilizan para formar la triquetra , una figura de tres semicírculos superpuestos (cada dos de los cuales forman un símbolo de vesica piscis ) que nuevamente tiene un triángulo de Reuleaux en su centro; [76] así como los tres círculos del diagrama de Venn pueden entrelazarse para formar los anillos borromeos, los tres arcos circulares de la triquetra pueden entrelazarse para formar un nudo trébol . [77]
Los parientes del triángulo de Reuleaux surgen en el problema de encontrar la forma del perímetro mínimo que encierra una cantidad fija de área e incluye tres puntos específicos en el plano. Para una amplia gama de opciones del parámetro de área, la solución óptima a este problema será un triángulo curvo cuyos tres lados sean arcos circulares con radios iguales. En particular, cuando los tres puntos son equidistantes entre sí y el área es la del triángulo de Reuleaux, el triángulo de Reuleaux es el recinto óptimo. [78]
Los triángulos circulares son triángulos con aristas de arco circular, incluido el triángulo de Reuleaux y otras formas. La curva deltoidea es otro tipo de triángulo curvilíneo, pero en el que las curvas que reemplazan cada lado de un triángulo equilátero son cóncavas en lugar de convexas. No se compone de arcos circulares, pero puede formarse haciendo rodar un círculo dentro de otro de tres veces el radio. [79] Otras formas planas con tres lados curvos incluyen los arbelos , que se forman a partir de tres semicírculos con extremos colineales, [80] y el triángulo de Bézier . [81]
El triángulo de Reuleaux también se puede interpretar como la imagen conforme de un triángulo esférico con ángulos de 120 °. [67] Este triángulo esférico es uno de los triángulos de Schwarz (con parámetros 3/2, 3/2, 3/2), triángulos delimitados por arcos de círculo máximo en la superficie de una esfera que puede enlosar la esfera por reflexión. [82]
Referencias
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enlaces externos
- Weisstein, Eric W. , "Triángulo de Reuleaux" , MathWorld