Simetría cíclica en tres dimensiones

Grupos de puntos en tres dimensiones
Grupo poliédrico , [n, 3], (* n32)
Simetría involutiva C _s , (*) [] =	Simetría cíclica C _nv , (* nn) [n] =	Simetría diedro D _nh , (* n22) [n, 2] =
Simetría tetraédrica T _d , (* 332) [3,3] =	Octaédrica simetría O _h , (* 432) [4,3] =	Simetría icosaédrica I _h , (* 532) [5,3] =

En la geometría tridimensional , hay cuatro series infinitas de grupos de puntos en tres dimensiones ( n ≥1) con n- simetría rotacional o de reflexión alrededor de un eje (por un ángulo de 360 ° / n ) que no cambia el objeto.

Son los grupos de simetría finitos en un cono . Para n = ∞ corresponden a cuatro grupos de frisos . Se utiliza la notación Schönflies . Los términos horizontal (h) y vertical (v) implican la existencia y dirección de reflejos con respecto a un eje de simetría vertical. También se muestran la notación de Coxeter entre paréntesis y, entre paréntesis, la notación orbifold .

Ejemplo de árbol de subgrupos de simetría para simetría diedro: D _4h , [4,2], (* 224)

Tipos [ editar ]

Quiral

C _n , [n] ⁺ , ( nn ) de orden n - n- simetría rotacional - grupo acro-n-gonal (grupo abstracto Z _n ); para n = 1: sin simetría ( grupo trivial )

Achiral

Pieza de acolchado de relleno suelto con simetría C _2h

C _nh , [n ⁺ , 2], ( n *) de orden 2 n - simetría prismática o grupo orto-n-gonal (grupo abstracto Z _n × Dih ₁ ); para n = 1 esto se denota por C _s (1 *) y se llama simetría de reflexión , también simetría bilateral . Tiene simetría de reflexión con respecto a un plano perpendicular aleje de rotación n pliegues.
C _nv , [n], (* nn ) de orden 2 n - simetría piramidal o grupo acro-n-gonal completo (grupo abstracto Dih _n ); en biología, C _2v se llama simetría birradial . Para n = 1 tenemos nuevamente C _s (1 *). Tiene planos de espejo verticales. Este es el grupo de simetría de una pirámide regular de n lados.
S _2n , [2 ⁺ , 2n ⁺ ], ( n ×) de orden 2 n - grupo giro-n-gonal (no confundir con grupos simétricos , para los cuales se usa la misma notación; grupo abstracto Z _2n ); Tiene un 2 n -fold rotoreflection eje, también llamado 2 n -fold eje de rotación inadecuada, es decir, el grupo de simetría contiene una combinación de una reflexión en el plano horizontal y una rotación en un ángulo 180 ° / n. Así, como D _nd , contiene una serie de rotaciones impropias sin contener las rotaciones correspondientes.
- para n = 1 tenemos S ₂ ( 1 × ), también denotado por C _i ; esto es simetría de inversión .

C _2h , [2,2 ⁺ ] (2 *) y C _2v , [2], (* 22) de orden 4 son dos de los tres tipos de grupos de simetría 3D con el grupo de cuatro de Klein como grupo abstracto. C _{2v se} aplica, por ejemplo, a una loseta rectangular con su lado superior diferente del lado inferior.

Grupos de friso [ editar ]

En el límite, estos cuatro grupos representan grupos de frisos planos euclidianos como C _∞ , C _∞h , C _∞v y S _∞ . Las rotaciones se convierten en traslaciones en el límite. Las porciones del plano infinito también se pueden cortar y conectar en un cilindro infinito.

Grupos de friso
Notaciones				Ejemplos de
IUC	Orbifold	Coxeter	Moscas de Schön ^*	Plano euclidiano	Cilíndrico (n = 6)
p1	∞∞	[∞] ⁺	C _∞
p1m1	* ∞∞	[∞]	C _∞v
p11m	∞ *	[∞ ⁺ , 2]	C _∞h
p11g	∞ ×	[∞ ⁺ , 2 ⁺ ]	S _∞

Ejemplos [ editar ]

S ₂ / C _i (1x):	C _4v (* 44):		C _5v (* 55):
Paralelepípedo	Pirámide cuadrada	Pirámide cuadrada alargada	Pirámide pentagonal

Ver también [ editar ]

Simetría diedro en tres dimensiones

Referencias [ editar ]

Sands, Donald E. (1993). "Sistemas cristalinos y geometría". Introducción a la Cristalografía . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. p. 165 . ISBN 0-486-67839-3.
Sobre cuaterniones y octoniones , 2003, John Horton Conway y Derek A. Smith ISBN 978-1-56881-134-5
Las simetrías de las cosas 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5
Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
NW Johnson : Geometries and Transformations , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Capítulo 11: Grupos de simetría finitos , 11.5 Grupos esféricos de Coxeter