En geometría diferencial , especialmente en la teoría de las curvas espaciales, el vector de Darboux es el vector de velocidad angular del marco de Frenet de una curva espacial. [1] Lleva el nombre de Gaston Darboux, quien lo descubrió. [2] También se le llama vector de momento angular , porque es directamente proporcional al momento angular .
En términos del aparato de Frenet-Serret, el vector Darboux ω se puede expresar como [3]
y tiene las siguientes propiedades simétricas : [2]
que se puede derivar de la Ecuación (1) mediante el teorema de Frenet-Serret (o viceversa).
Deje que un objeto rígido se mueva a lo largo de una curva regular descrita paramétricamente por β ( t ). Este objeto tiene su propio sistema de coordenadas intrínseco . A medida que el objeto se mueve a lo largo de la curva, deje que su sistema de coordenadas intrínseco se mantenga alineado con el marco Frenet de la curva. Mientras lo hace, el movimiento del objeto será descrito por dos vectores: un vector de traslación y un vector de rotación ω , que es un vector de velocidad de área: el vector de Darboux.
Tenga en cuenta que esta rotación es cinemática , más que física, porque normalmente cuando un objeto rígido se mueve libremente en el espacio, su rotación es independiente de su traslación. La excepción sería si la rotación del objeto está restringida físicamente para alinearse con la traslación del objeto, como es el caso del carro de una montaña rusa .
Considere el objeto rígido moviéndose suavemente a lo largo de la curva regular. Una vez que se "factoriza" la traducción, se ve que el objeto gira de la misma manera que su marco Frenet. La rotación total del marco de Frenet es la combinación de las rotaciones de cada uno de los tres vectores de Frenet:
Cada vector de Frenet se mueve alrededor de un "origen" que es el centro del objeto rígido (elija algún punto dentro del objeto y llámelo su centro). La velocidad de área del vector tangente es:
Igualmente,
Ahora aplique el teorema de Frenet-Serret para encontrar los componentes de la velocidad del área:
así que eso
como se afirma.
El vector Darboux proporciona una forma concisa de interpretar geométricamente la curvatura κ y la torsión τ : la curvatura es la medida de la rotación del marco de Frenet sobre el vector unitario binormal, mientras que la torsión es la medida de la rotación del marco de Frenet sobre el vector unitario tangente . [2]
Referencias
- ^ Stoker, JJ (2011), Geometría diferencial , Matemáticas puras y aplicadas, 20 , John Wiley & Sons, p. 62, ISBN 9781118165478.
- ^ a b c Farouki, Rida T. (2008), Curvas pitagóricas-hodógrafa: Álgebra y geometría inseparables , Geometría y computación, 1 , Springer, p. 181, ISBN 9783540733980.
- ^ Oprea, John (2007), Geometría diferencial y sus aplicaciones , Libros de texto de la Asociación Matemática de América, MAA, p. 21, ISBN 9780883857489.