El Darwin Lagrangiano (llamado así por Charles Galton Darwin , nieto del naturalista ) describe la interacción para ordenarentre dos partículas cargadas en el vacío y viene dado por [1]
donde la partícula libre lagrangiana es
y la interacción lagrangiana es
donde la interacción de Coulomb es
y la interacción de Darwin es
Aquí q 1 y q 2 son las cargas de las partículas 1 y 2 respectivamente, m 1 y m 2 son las masas de las partículas, v 1 y v 2 son las velocidades de las partículas, c es la velocidad de la luz , r es la vector entre las dos partículas, yes el vector unitario en la dirección de r .
El lagrangiano libre es la expansión de Taylor del lagrangiano libre de dos partículas relativistas a segundo orden en v . El término de interacción de Darwin se debe a que una partícula reacciona al campo magnético generado por la otra partícula. Si se retienen los términos de orden superior en v / c , entonces deben tenerse en cuenta los grados de libertad del campo y la interacción ya no puede considerarse instantánea entre las partículas. En ese caso , deben tenerse en cuenta los efectos de retardo .
La interacción relativista lagrangiana para una partícula con carga q interactuando con un campo electromagnético es [2]
donde u es la velocidad relativista de la partícula. El primer término de la derecha genera la interacción de Coulomb. El segundo término genera la interacción de Darwin.
El potencial vectorial en el medidor de Coulomb se describe mediante [3] ( unidades gaussianas )
donde la corriente transversal J t es la corriente solenoidal (ver descomposición de Helmholtz ) generada por una segunda partícula. La divergencia de la corriente transversal es cero.
La corriente generada por la segunda partícula es
que tiene una transformada de Fourier
La componente transversal de la corriente es
Se verifica fácilmente que
lo cual debe ser cierto si la divergencia de la corriente transversal es cero. Vemos eso
es el componente de la corriente transformada de Fourier perpendicular a k .
De la ecuación para el potencial vectorial, la transformada de Fourier del potencial vectorial es
donde hemos mantenido solo el término de orden más bajo en v / c.
La transformada de Fourier inversa del potencial vectorial es
dónde
(ver Integrales comunes en la teoría cuántica de campos ).
El término de interacción de Darwin en el lagrangiano es entonces
|
donde nuevamente mantuvimos solo el término de orden más bajo en v / c.
El hamiltoniano de Darwin para dos partículas en el vacío se relaciona con el lagrangiano por una transformación de Legendre
El hamiltoniano se convierte en
|
Las ecuaciones de movimiento hamiltonianas son
y
que ceden
y
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Tenga en cuenta que la ecuación de Breit de la mecánica cuántica utilizó originalmente el Darwin Lagrangiano con el Darwin Hamiltoniano como su punto de partida clásico, aunque la ecuación de Breit estaría mejor justificada por la teoría del absorbedor de Wheeler-Feynman y mejor aún por la electrodinámica cuántica .