En la teoría de la probabilidad , el teorema de De Finetti establece que las observaciones intercambiables correlacionadas positivamente son condicionalmente independientes en relación con alguna variable latente . A continuación, podría asignarse una distribución de probabilidad epistémica a esta variable. Recibe su nombre en honor a Bruno de Finetti .
Para el caso especial de una secuencia intercambiable de variables aleatorias de Bernoulli , establece que dicha secuencia es una " mezcla " de secuencias de variables aleatorias de Bernoulli independientes e idénticamente distribuidas (iid).
Una secuencia de variables aleatorias se denomina intercambiable si la distribución conjunta de la secuencia no cambia por ninguna permutación de los índices. Si bien las variables de la secuencia intercambiable no son en sí mismas independientes, solo intercambiables, existe una familia subyacente de variables aleatorias iid. Es decir, hay cantidades subyacentes, generalmente no observables, que son iid; las secuencias intercambiables son mezclas de secuencias iid.
Fondo
Un estadístico bayesiano a menudo busca la distribución de probabilidad condicional de una cantidad aleatoria dados los datos. El concepto de intercambiabilidad fue introducido por De Finetti. El teorema de De Finetti explica una relación matemática entre independencia e intercambiabilidad. [1]
Una secuencia infinita
de variables aleatorias se dice que es intercambiable si para cualquier número natural n y cualesquiera dos secuencias finitas i 1 , ..., i n y j 1 , ..., j n (con cada uno de los i s distintos, y cada uno de los las j son distintas), las dos secuencias
ambos tienen la misma distribución de probabilidad conjunta .
Si una secuencia distribuida de forma idéntica es independiente , entonces la secuencia es intercambiable; sin embargo, lo contrario es falso: existen variables aleatorias intercambiables que no son estadísticamente independientes, por ejemplo, el modelo de urna de Pólya .
Declaración del teorema
Una variable aleatoria X tiene una distribución de Bernoulli si Pr ( X = 1) = py Pr ( X = 0) = 1 - p para algún p ∈ (0, 1).
El teorema de De Finetti establece que la distribución de probabilidad de cualquier secuencia infinita intercambiable de variables aleatorias de Bernoulli es una " mezcla " de las distribuciones de probabilidad de secuencias independientes e idénticamente distribuidas de variables aleatorias de Bernoulli. "Mezcla", en este sentido, significa un promedio ponderado, pero esto no tiene por qué significar un promedio ponderado finito o numerablemente infinito (es decir, discreto): puede ser una integral en lugar de una suma .
Más precisamente, suponga que X 1 , X 2 , X 3 , ... es una secuencia infinita intercambiable de variables aleatorias distribuidas por Bernoulli. Entonces hay alguna distribución de probabilidad m en el intervalo [0, 1] y alguna variable aleatoria Y tal que
- La distribución de probabilidad de Y es m , y
- La distribución de probabilidad condicional de toda la secuencia X 1 , X 2 , X 3 , ... dado el valor de Y se describe diciendo que
- X 1 , X 2 , X 3 , ... son condicionalmente independientes dado Y , y
- Para cualquier i ∈ {1, 2, 3, ...}, la probabilidad condicional de que X i = 1, dado el valor de Y , es Y .
Otra forma de enunciar el teorema
Suponer es una secuencia infinita intercambiable de variables aleatorias de Bernoulli. Luegoson condicionalmente independientes e idénticamente distribuidos dado el sigma-álgebra intercambiable (es decir, el sigma-álgebra de eventos medibles con respecto a e invariante bajo permutaciones finitas de los índices).
Ejemplo
He aquí un ejemplo concreto. Construimos una secuencia
de variables aleatorias, "mezclando" dos secuencias iid de la siguiente manera.
Suponemos p = 2/3 con probabilidad 1/2 y p = 9/10 con probabilidad 1/2. Dado el evento p = 2/3, la distribución condicional de la secuencia es que X i son independientes e idénticamente distribuidos y X 1 = 1 con probabilidad 2/3 y X 1 = 0 con probabilidad 1 - 2/3. Dado el evento p = 9/10, la distribución condicional de la secuencia es que X i son independientes e idénticamente distribuidos y X 1 = 1 con probabilidad 9/10 y X 1 = 0 con probabilidad 1 - 9/10.
Esto se puede interpretar de la siguiente manera: Haga dos monedas sesgadas, una que muestre "caras" con 2/3 de probabilidad y otra que muestre "caras" con 9/10 de probabilidad. Lanza una moneda justa una vez para decidir qué moneda sesgada usar para todos los lanzamientos que se registran. Aquí "cara" en el giro i significa X i = 1.
La independencia que se afirma aquí es la independencia condicional , es decir, las variables aleatorias de Bernoulli en la secuencia son condicionalmente independientes dado el evento de que p = 2/3, y son condicionalmente independientes dado el evento de que p = 9/10. Pero no son incondicionalmente independientes; están correlacionados positivamente .
En vista de la fuerte ley de los grandes números , podemos decir que
En lugar de concentrar la probabilidad 1/2 en cada uno de los dos puntos entre 0 y 1, la "distribución de mezcla" puede ser cualquier distribución de probabilidad apoyada en el intervalo de 0 a 1; cuál es depende de la distribución conjunta de la secuencia infinita de variables aleatorias de Bernoulli.
La definición de intercambiabilidad y el enunciado del teorema también tiene sentido para secuencias de longitud finita
pero el teorema no es generalmente cierto en ese caso. Es cierto si la secuencia se puede extender a una secuencia intercambiable que es infinitamente larga. El ejemplo más simple de una secuencia intercambiable de variables aleatorias de Bernoulli que no puede extenderse tanto es aquella en la que X 1 = 1 - X 2 y X 1 es 0 o 1, cada una con probabilidad 1/2. Esta secuencia es intercambiable, pero no puede extenderse a una secuencia intercambiable de longitud 3, y mucho menos a una infinitamente larga.
Extensiones
Las versiones del teorema de De Finetti para secuencias intercambiables finitas , [2] [3] y para secuencias intercambiables de Markov [4] han sido probadas por Diaconis y Freedman y por Kerns y Szekely. Dos nociones de intercambiabilidad parcial de matrices, conocidas como intercambiabilidad separada y conjunta, conducen a extensiones del teorema de De Finetti para matrices de Aldous y Hoover. [5]
El teorema de de Finetti computable muestra que si un programa de computadora da una secuencia intercambiable de variables aleatorias reales, entonces un programa que muestre las muestras de la medida de mezcla se puede recuperar automáticamente. [6]
En el contexto de la probabilidad libre , hay una extensión no conmutativa del teorema de De Finetti que caracteriza las secuencias no conmutativas invariantes bajo permutaciones cuánticas. [7]
Se ha descubierto que las extensiones del teorema de De Finetti a los estados cuánticos son útiles en la información cuántica , [8] [9] [10] en temas como la distribución de claves cuánticas [11] y la detección de entrelazamientos . [12]
Ver también
Referencias
- ^ Ver las notas de la conferencia de Oxford de Steffen Lauritzen http://www.stats.ox.ac.uk/~steffen/teaching/grad/definetti.pdf
- ^ Diaconis, P .; Freedman, D. (1980). "Secuencias finitas intercambiables" . Anales de probabilidad . 8 (4): 745–764. doi : 10.1214 / aop / 1176994663 . Señor 0577313 . Zbl 0434.60034 .
- ^ Szekely, G. J .; Kerns, J. G. (2006). "Teorema de De Finetti para secuencias intercambiables finitas abstractas". Revista de probabilidad teórica . 19 (3): 589–608. doi : 10.1007 / s10959-006-0028-z .
- ^ Diaconis, P .; Freedman, D. (1980). "Teorema de De Finetti para cadenas de Markov" . Anales de probabilidad . 8 (1): 115–130. doi : 10.1214 / aop / 1176994828 . Señor 0556418 . Zbl 0426.60064 .
- ^ Persi Diaconis y Svante Janson (2008) "Límites de gráfico y gráficos aleatorios intercambiables" , Rendiconti di Matematica , Ser. VII 28 (1), 33–61.
- ^ Cameron Freer y Daniel Roy (2009) "Las secuencias intercambiables computables tienen medidas de Finetti computables" , Actas de la 5ª Conferencia sobre Computabilidad en Europa: teoría matemática y práctica computacional , notas de la conferencia en informática, vol. 5635, págs. 218-231.
- ^ Koestler, Claus; Speicher, Roland (2009). "Un teorema de Finetti no conmutativo: la invarianza bajo permutaciones cuánticas es equivalente a la libertad con amalgama". Comun. Matemáticas. Phys . 291 (2): 473–490. arXiv : 0807.0677 . Código Bibliográfico : 2009CMaPh.291..473K . doi : 10.1007 / s00220-009-0802-8 .
- ^ Cuevas, Carlton M .; Fuchs, Christopher A .; Schack, Ruediger (20 de agosto de 2002). "Estados cuánticos desconocidos: la representación cuántica de Finetti". Revista de Física Matemática . 43 (9): 4537–4559. arXiv : quant-ph / 0104088 . Código bibliográfico : 2002JMP .... 43.4537C . doi : 10.1063 / 1.1494475 . ISSN 0022-2488 .
- ^ J. Baez (2007). "Hallazgos de esta semana en física matemática (semana 251)" . Consultado el 29 de abril de 2012 .
- ^ Brandao, Fernando GSL; Harrow, Aram W. (1 de enero de 2013). "Teoremas cuánticos de Finetti bajo mediciones locales con aplicaciones". Actas del cuadragésimo quinto simposio anual de ACM sobre teoría de la computación . STOC '13. Nueva York, NY, EE. UU .: ACM: 861–870. arXiv : 1210.6367 . doi : 10.1145 / 2488608.2488718 . ISBN 9781450320290.
- ^ Renner, Renato (30 de diciembre de 2005). "Seguridad de la distribución de claves cuánticas". arXiv : quant-ph / 0512258 .
- ^ Doherty, Andrew C .; Parrilo, Pablo A .; Spedalieri, Federico M. (1 de enero de 2005). "Detección de entrelazamientos multipartitos". Physical Review A . 71 (3): 032333. arXiv : quant-ph / 0407143 . Código Bibliográfico : 2005PhRvA..71c2333D . doi : 10.1103 / PhysRevA.71.032333 .
enlaces externos
- Accardi, L. (2001) [1994], "Teorema de De Finetti" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- ¿Qué tiene de genial el teorema de representación de De Finetti?
- Usando el teorema de Finetti para modelar COVID-19