En matemáticas , teoría Choquet , el nombre de Gustave Choquet , es un área de análisis funcional y análisis convexa de que se trate con medidas que tienen soporte en los puntos extremos de un conjunto convexo C . En términos generales, cada vector de C debería aparecer como un promedio ponderado de puntos extremos, un concepto que se hace más preciso al generalizar la noción de promedio ponderado de una combinación convexa a una integral tomada sobre el conjunto E de puntos extremos. Aquí Ces un subconjunto de un espacio vectorial real V , y el objetivo principal de la teoría es tratar los casos en los que V es un espacio vectorial topológico de dimensión infinita (localmente convexo de Hausdorff) a lo largo de líneas similares al caso de dimensión finita. Las principales preocupaciones de Gustave Choquet estaban en la teoría potencial . La teoría de Choquet se ha convertido en un paradigma general, particularmente para tratar los conos convexos como determinados por sus rayos extremos , y así para muchas nociones diferentes de positividad en matemáticas.
Los dos extremos de un segmento de línea determinan los puntos intermedios: en términos vectoriales, el segmento de v a w consiste en λ v + (1 - λ) w con 0 ≤ λ ≤ 1. El resultado clásico de Hermann Minkowski dice que en el espacio euclidiano , un delimitada , cerrado conjunto convexo C es el casco convexo de su conjunto de puntos de extremo e , de modo que cualquier c en C es un (finito) combinación convexa de los puntos de e de e . Aquí E puede ser un conjunto finito o infinito . En términos vectoriales, al asignar pesos no negativos w ( e ) a la e en E , casi todos 0, podemos representar cualquier c en C como
con
En cualquier caso el w ( e ) dar una medida de probabilidad soportado sobre un subconjunto finito de E . Para cualquier función afín f en C , su valor en el punto c es
En el escenario de dimensión infinita, a uno le gustaría hacer una declaración similar.
El teorema de Choquet establece que para un subconjunto convexo compacto C de un espacio normado V , dado c en C existe una medida de probabilidad w apoyada en el conjunto E de puntos extremos de C tal que, para cualquier función afín f en C,
En la práctica, V será un espacio de Banach . El teorema original de Kerin-Milman se deriva del resultado de Choquet. Otro corolario es el teorema de representación de Riesz para estados de funciones continuas en un espacio de Hausdorff compacto metrizable.
De manera más general, para V un espacio vectorial topológico localmente convexo , el teorema de Choquet-Bishop-de Leeuw [1] da el mismo enunciado formal.
Además de la existencia de una medida de probabilidad apoyada en el límite extremo que representa un punto c dado , también se podría considerar la singularidad de tales medidas. Es fácil ver que la singularidad no se sostiene ni siquiera en el entorno de dimensión finita. Se puede tomar, como contraejemplos, el conjunto convexo como un cubo o una bola en R 3 . Sin embargo, la unicidad se mantiene cuando el conjunto convexo es un simplex de dimensión finita . Un simplex de dimensión finita es un caso especial de Choquet simplex . Cualquier punto en un Choquet simplex se representa mediante una medida de probabilidad única en los puntos extremos.
Ver también
Notas
- ^ Errett Bishop ; Karl de Leeuw . "Las representaciones de funcionales lineales por medidas sobre conjuntos de puntos extremos" . Annales de l'Institut Fourier, 9 (1959), págs. 305–331.
Referencias
- Asimow, L .; Ellis, AJ (1980). Teoría de la convexidad y sus aplicaciones en análisis funcional . Monografías de la Sociedad Matemática de Londres. 16 . Londres-Nueva York: Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Editores]. págs. x + 266. ISBN 0-12-065340-0. Señor 0623459 .
- Bourgin, Richard D. (1983). Aspectos geométricos de conjuntos convexos con la propiedad Radon-Nikodým . Apuntes de clase en matemáticas. 993 . Berlín: Springer-Verlag. págs. xii + 474. ISBN 3-540-12296-6. Señor 0704815 .
- Phelps, Robert R. (2001). Conferencias sobre el teorema de Choquet . Apuntes de clase en matemáticas. 1757 (Segunda edición de 1966 ed.). Berlín: Springer-Verlag. págs. viii + 124. ISBN 3-540-41834-2. Señor 1835574 .
- "Choquet simplex" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]