En física matemática , la relatividad especial invariante de De Sitter es la idea especulativa de que el grupo de simetría fundamental del espacio-tiempo es el grupo ortogonal indefinido SO (4,1), el del espacio de De Sitter . En la teoría estándar de la relatividad general , el espacio de De Sitter es una solución de vacío especial altamente simétrica , que requiere una constante cosmológica o la tensión-energía de un campo escalar constante para sostenerse.
La idea de la relatividad invariante de De Sitter es requerir que las leyes de la física no sean fundamentalmente invariantes bajo el grupo de Poincaré de relatividad especial , sino bajo el grupo de simetría del espacio de De Sitter. Con esta suposición, el espacio vacío tiene automáticamente simetría de De Sitter, y lo que normalmente se llamaría la constante cosmológica en la relatividad general se convierte en un parámetro dimensional fundamental que describe la estructura de simetría del espacio-tiempo.
Propuesta por primera vez por Luigi Fantappiè en 1954, la teoría permaneció oscura hasta que fue redescubierta en 1968 por Henri Bacry y Jean-Marc Lévy-Leblond . En 1972, Freeman Dyson lo popularizó como un camino hipotético por el cual los matemáticos podrían haber adivinado parte de la estructura de la relatividad general antes de que fuera descubierta. [1] El descubrimiento de la expansión acelerada del universo ha llevado a un resurgimiento del interés en las teorías invariantes de De Sitter, junto con otras propuestas especulativas para la nueva física, como la relatividad doblemente especial .
Introducción
De Sitter sugirió que la curvatura del espacio-tiempo podría no deberse únicamente a la gravedad [2], pero no dio detalles matemáticos de cómo podría lograrse. En 1968, Henri Bacry y Jean-Marc Lévy-Leblond demostraron que el grupo de Sitter era el grupo más general compatible con isotropía, homogeneidad e invariancia boost. [3] Más tarde, Freeman Dyson [1] defendió esto como un enfoque para hacer más evidente la estructura matemática de la relatividad general.
La unificación del espacio y el tiempo de Minkowski dentro de la relatividad especial reemplaza al grupo galileano de la mecánica newtoniana con el grupo de Lorentz . Esto se llama unificación de espacio y tiempo porque el grupo de Lorentz es simple , mientras que el grupo de Galileo es un producto semi-directo de rotaciones y refuerzos de Galileo . Esto significa que el grupo de Lorentz mezcla el espacio y el tiempo de manera que no se pueden desenredar, mientras que el grupo de Galileo trata el tiempo como un parámetro con diferentes unidades de medida que el espacio.
Se puede hacer que suceda algo análogo con el grupo de rotación ordinario en tres dimensiones. Si imagina un mundo casi plano, uno en el que criaturas parecidas a panqueques deambulan por un mundo plano de panqueques, su unidad convencional de altura podría ser el micrómetro ( μm ), ya que esa es la altura de las estructuras típicas en su mundo, mientras que su la unidad de distancia podría ser el metro, porque esa es la extensión horizontal de su cuerpo. Tales criaturas describirían la simetría básica de su mundo como SO (2) , siendo las rotaciones conocidas en el plano horizontal (x – y). Más tarde, podrían descubrir rotaciones alrededor de los ejes xey, y en su experiencia cotidiana, tales rotaciones siempre podrían ser en un ángulo infinitesimal, de modo que estas rotaciones se conmutarían efectivamente entre sí.
Las rotaciones alrededor de los ejes horizontales inclinarían los objetos en una cantidad infinitesimal. La inclinación en el plano x – z (la "inclinación x") sería un parámetro, y la inclinación en el plano y – z (la "inclinación y") otro. El grupo de simetría de este mundo panqueque es entonces SO (2) producto semidirecto con R 2 , lo que significa que una rotación bidimensional más dos parámetros adicionales, la inclinación xy la inclinación y. La razón por la que es un producto semidirecto es que, cuando gira, la inclinación xy la inclinación y giran entre sí, ya que forman un vector y no dos escalares . En este mundo, la diferencia de altura entre dos objetos a la misma x, y sería una cantidad invariante en rotación no relacionada con la longitud y el ancho. La coordenada z está efectivamente separada de x e y.
Eventualmente, los experimentos en ángulos grandes convencerían a las criaturas de que la simetría del mundo es SO (3) . Entonces entenderían que z es realmente lo mismo que xey, ya que pueden mezclarse mediante rotaciones. El límite de R 2 del producto semidirecto de SO (2) se entendería como el límite en el que el parámetro libre μ , la relación entre el rango de altura μm y el rango de longitud m , se acerca a 0. El grupo de Lorentz es análogo: es un grupo simple que se convierte en el grupo galileano cuando el rango de tiempo se hace largo en comparación con el rango del espacio, o donde las velocidades pueden considerarse infinitesimales, o de manera equivalente, pueden considerarse como el límite c → ∞ , donde los efectos relativistas se vuelven observables "tan buenos como en velocidad infinita ".
El grupo de simetría de la relatividad especial no es del todo simple, debido a las traducciones. El grupo de Lorentz es el conjunto de transformaciones que mantienen fijo el origen, pero no se incluyen las traducciones. El grupo Poincaré completo es el producto semi-directo de traducciones con el grupo Lorentz. Si las traducciones deben ser similares a los elementos del grupo de Lorentz, entonces, dado que los aumentos no son conmutativos , las traducciones también serían no conmutativas.
En el mundo de los panqueques, esto se manifestaría si las criaturas vivieran en una esfera enorme en lugar de en un avión. En este caso, cuando deambulan alrededor de su esfera, eventualmente se darían cuenta de que las traslaciones no están completamente separadas de las rotaciones, porque si se mueven sobre la superficie de una esfera, cuando regresan a donde comenzaron, encuentran que han sido rotados por la holonomía del transporte paralelo sobre la esfera. Si el universo es el mismo en todas partes (homogéneo) y no hay direcciones preferidas (isotrópico), entonces no hay muchas opciones para el grupo de simetría: o viven en un plano plano, o en una esfera con una curvatura positiva constante, o en un plano de Lobachevski con curvatura negativa constante. Si no viven en el plano, pueden describir posiciones usando ángulos adimensionales, los mismos parámetros que describen rotaciones, de modo que las traslaciones y rotaciones están nominalmente unificadas.
En relatividad, si las traducciones se mezclan de manera no trivial con las rotaciones, pero el universo sigue siendo homogéneo e isotrópico , la única opción es que el espacio-tiempo tenga una curvatura escalar uniforme. Si la curvatura es positiva, el análogo del caso de la esfera para las criaturas bidimensionales, el espacio-tiempo es el espacio de Sitter y su grupo de simetría es el grupo de Sitter en lugar del grupo Poincaré .
La relatividad especial de De Sitter postula que el espacio vacío tiene la simetría de De Sitter como ley fundamental de la naturaleza. Esto significa que el espacio-tiempo está ligeramente curvado incluso en ausencia de materia o energía. Esta curvatura residual implica una constante cosmológica positiva Λ que se determinará mediante observación. Debido a la pequeña magnitud de la constante, la relatividad especial con su grupo de Poincaré es indistinguible del espacio de De Sitter para la mayoría de los propósitos prácticos.
Los proponentes modernos de esta idea, como S. Cacciatori, V. Gorini y A. Kamenshchik, [4] han reinterpretado esta teoría como física, no solo como matemáticas. Ellos postulan que la aceleración de la expansión del universo no es del todo debido a la energía del vacío , pero al menos en parte debido a la cinemática de la de Sitter grupo , que sustituiría el grupo Poincaré .
Una modificación de esta idea permite cambiar con el tiempo, de modo que la inflación puede provenir de que la constante cosmológica sea mayor cerca del Big Bang que en la actualidad. También puede verse como un enfoque diferente al problema de la gravedad cuántica . [5]
Energia alta
El grupo de Poincaré contrata al grupo de Galileo para la cinemática de baja velocidad , lo que significa que cuando todas las velocidades son pequeñas, el grupo de Poincaré se "transforma" en el grupo de Galileo. (Esto se puede precisar con el concepto de contracción de grupo de İnönü y Wigner . [6] )
Del mismo modo, el grupo de Sitter contrata al grupo de Poincaré para cinemática de corta distancia, cuando las magnitudes de todas las traslaciones consideradas son muy pequeñas en comparación con el radio de De Sitter. [5] En mecánica cuántica, las distancias cortas son probadas por altas energías, de modo que para energías por encima de un valor muy pequeño relacionado con la constante cosmológica, el grupo de Poincaré es una buena aproximación al grupo de De Sitter.
En la relatividad de De Sitter, la constante cosmológica ya no es un parámetro libre del mismo tipo; está determinado por el radio de De Sitter, magnitud fundamental que determina la relación de conmutación de traslación con rotaciones / impulsos. Esto significa que la teoría de la relatividad de De Sitter podría proporcionar información sobre el valor de la constante cosmológica, quizás explicando la coincidencia cósmica . Desafortunadamente, el radio de De Sitter, que determina la constante cosmológica, es un parámetro ajustable en la relatividad de De Sitter, por lo que la teoría requiere una condición separada para determinar su valor en relación con la escala de medición.
Cuando una constante cosmológica se considera un parámetro cinemático, las definiciones de energía y momento deben cambiarse de las de la relatividad especial. Estos cambios podrían modificar significativamente la física del universo temprano si la constante cosmológica fuera mayor en ese entonces. Algunos especulan que un experimento de alta energía podría modificar la estructura local del espacio-tiempo desde el espacio de Minkowski a des espacio de Sitter con una constante cosmológica grande para un corto período de tiempo, y esto eventualmente podría ser probado en el existente o prevista acelerador de partículas . [7]
Relatividad doblemente especial
Dado que el grupo de De Sitter incorpora naturalmente un parámetro de longitud invariante, la relatividad de De Sitter puede interpretarse como un ejemplo de la llamada relatividad doblemente especial . Sin embargo, hay una diferencia fundamental: mientras que en todos los modelos de relatividad doblemente especiales se viola la simetría de Lorentz, en la relatividad de De Sitter permanece como una simetría física. [8] [9] Un inconveniente de los modelos habituales de relatividad doblemente especial es que son válidos solo en las escalas de energía donde se supone que la relatividad especial ordinaria se rompe, dando lugar a una relatividad de mosaico. Por otro lado, la relatividad de De Sitter es invariante bajo un cambio de escala simultáneo de masa , energía y momento , [10] y, en consecuencia, es válida en todas las escalas de energía. Derek Wise describe una relación entre la relatividad doblemente especial, el espacio de De Sitter y la relatividad general. [11] Véase también la acción MacDowell-Mansouri .
Newton – Hooke: relatividad especial de De Sitter en el límite v ≪ c
En el límite como v ≪ c , el grupo de Sitter contrata al grupo Newton-Hooke. [12] Esto tiene el efecto de que en el límite no relativista, los objetos en el espacio de Sitter tienen una "repulsión" extra desde el origen: los objetos tienen una tendencia a alejarse del centro con una fuerza ficticia apuntando hacia afuera proporcional a su distancia del origen.
Si bien parece que esto podría seleccionar un punto preferido en el espacio: el centro de repulsión, es más sutilmente isotrópico. Moviéndose al marco de referencia uniformemente acelerado de un observador en otro punto, todas las aceleraciones parecen tener un centro de repulsión en el nuevo punto.
Lo que esto significa es que en un espacio-tiempo con curvatura que no desaparece, la gravedad se modifica a partir de la gravedad newtoniana. [13] A distancias comparables al radio del espacio, los objetos sienten una repulsión lineal adicional desde el centro de coordenadas.
Historia de la relatividad especial invariante de De Sitter
- La "relatividad de Sitter" es la misma que la teoría de la "relatividad proyectiva" de Luigi Fantappiè y Giuseppe Arcidiacono publicada por primera vez en 1954 por Fantappiè [14] y la misma que otro descubrimiento independiente en 1976. [15]
- En 1968 Henri Bacry y Jean-Marc Lévy-Leblond publicaron un artículo sobre posible cinemática [3]
- En 1972 Freeman Dyson [1] exploró más a fondo esto.
- En 1973, Eliano Pessa describió cómo la relatividad proyectiva Fantappié-Arcidiacono se relaciona con las concepciones anteriores de la relatividad proyectiva y la teoría de Kaluza Klein . [dieciséis]
- R. Aldrovandi, JP Beltrán Almeida y JG Pereira han utilizado los términos "relatividad especial de Sitter" y "relatividad de Sitter" a partir de su artículo de 2007 "Relatividad especial de Sitter". [10] [17] Este artículo se basó en trabajos previos sobre, entre otras cosas, las consecuencias de una constante cosmológica que no desaparece, [18] en la relatividad doblemente especial [19] y en el grupo de Newton-Hooke [3] [20 ] [21] y los primeros trabajos que formulan la relatividad especial con un espacio de De Sitter [22] [23] [24]
- En 2008, S. Cacciatori, V. Gorini y A. Kamenshchik [4] publicaron un artículo sobre la cinemática de la relatividad de De Sitter.
- Los artículos de otros autores incluyen: dSR y la constante de estructura fina; [25] dSR y energía oscura; [26] Formalismo hamiltoniano dSR; [27] y Termodinámica de De Sitter a partir de la temperatura de Diamantes, [28] Relatividad triplemente especial de seis dimensiones, [29] Relatividad general deformada y torsión. [30]
Relatividad especial de Quantum de Sitter
Hay versiones cuantificadas o cuánticas de la relatividad especial de De Sitter. [31] [32]
Los primeros trabajos sobre la formulación de una teoría cuántica en un espacio de De Sitter incluyen: [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39]
Ver también
- Geometría no conmutativa
- Teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo curvo
Referencias
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- S Cacciatori; V Gorini; A Kamenshchik; U Moschella (2008). "Leyes de conservación y dispersión de partículas clásicas de De Sitter". Clase. Quantum Grav . 25 (7): 075008. arXiv : 0710.0315 . Código Bib : 2008CQGra..25g5008C . doi : 10.1088 / 0264-9381 / 25/7/075008 . S2CID 118544579 .
- S Cacciatori (2009). "Cantidades conservadas para las partículas de Sitter". arXiv : 0909.1074 [ gr-qc ].
- Aldrovandi; Beltrán Almeida; Alcalde; Pereira; Adenier, Guillaume; Khrennikov, Andrei Yu .; Lahti, Pekka; Man'Ko, Vladimir I .; Nieuwenhuizen, Theo M. (2007). "Relatividad de Sitter y Física Cuántica". Actas de la conferencia AIP . 962 : 175-184. arXiv : 0710.0610 . Código bibliográfico : 2007AIPC..962..175A . doi : 10.1063 / 1.2827302 . hdl : 11449/70009 . S2CID 1178656 .
- Claus Lämmerzahl; Jürgen Ehlers (2005). Relatividad especial: ¿sobrevivirá los próximos 101 años? . Saltador. ISBN 978-3540345220.
- Giuseppe Arcidiacono (1986). Relatividad proyectiva, cosmología y gravitación . Prensa Hadrónica. ISBN 978-0911767391.