En economía , los teoremas de Debreu son varios enunciados sobre la representación de un orden de preferencia por una función de valor real. Los teoremas fueron probados por Gerard Debreu durante la década de 1950.
Fondo
Suponga que a una persona se le hacen preguntas del tipo "¿Prefiere A o B?" (cuando A y B pueden ser opciones, acciones a realizar, estados del mundo, paquetes de consumo, etc.). Todas las respuestas quedan registradas. Entonces, las preferencias de esa persona están representadas por una función de utilidad numérica , de modo que la utilidad de la opción A es mayor que la opción B si y solo si el agente prefiere A a B.
Los teoremas de Debreu llegan a responder la siguiente pregunta básica: ¿qué condiciones de la relación de preferencia del agente garantizan que se pueda encontrar tal función de utilidad representativa?
Existencia de función de utilidad ordinal
Los Teoremas de 1954 [1] dicen, a grandes rasgos, que toda relación de preferencia que sea completa, transitiva y continua, puede ser representada por una función de utilidad ordinal continua .
Declaración
Los teoremas se aplican generalmente a espacios de mercancías finitas. Sin embargo, son aplicables en un entorno mucho más general. Estos son los supuestos generales:
- X es un espacio topológico .
- es una relación sobre X que es total (todos los elementos son comparables) y transitiva .
- es continuo . Esto significa que se cumplen las siguientes condiciones equivalentes:
- Para cada , los conjuntos y están topológicamente cerrados en.
- Para cada secuencia tal que , si por todo yo luego , y si por todo yo luego
Cada una de las siguientes condiciones garantiza la existencia de una función continua de valor real que representa la relación de preferencia :
1. El conjunto de clases de equivalencia de la relación (definido por: si y ) son un conjunto contable .
2. Hay un subconjunto contable de X, , de modo que por cada par de elementos no equivalentes , hay un elemento que los separa).
3. X es separable y está conectado .
4. X es el segundo contable . Esto significa que hay un conjunto contable S de conjuntos abiertos, de modo que todo conjunto abierto en X es la unión de conjuntos de la clase S.
La prueba del cuarto resultado tenía una brecha que Debreu corrigió más tarde. [2]
Ejemplos de
A. Deja con la topología estándar (la topología euclidiana). Defina la siguiente relación de preferencias: si . Es continuo porque para cada, los conjuntos y son semiplanos cerrados. La condición 1 se viola porque el conjunto de clases de equivalencia es incontable. Sin embargo, la condición 2 se satisface con Z como el conjunto de pares con coordenadas racionales. La condición 3 también se cumple ya que X es separable y está conectado. Por tanto, existe una función continua que representa. Un ejemplo de tal función es.
B. Deja con la topología estándar como arriba. La relación de preferencias lexicográficas no es continua en esa topología. Por ejemplo,, pero en cada bola alrededor (5,1) hay puntos con y estos puntos son inferiores a . De hecho, esta relación no puede ser representada por una función continua de valor real.
Extensión
Diamond [3] aplicó el teorema de Debreu al espacio, el conjunto de todas las secuencias de valores reales acotadas con la topología inducida por la métrica superior (ver L-infinito ). X representa el conjunto de todos los flujos de servicios públicos con horizonte infinito.
Además del requisito de que sea total, transitivo y continuo, añadió un requisito de sensibilidad :
- Si una corriente es más pequeño que un arroyo en cada período de tiempo, entonces .
- Si una corriente es más pequeño o igual que una secuencia en cada período de tiempo, entonces .
Bajo estos requisitos, cada flujo es equivalente a un flujo de utilidad constante, y cada dos flujos de utilidad constante son separables por un flujo de utilidad constante con una utilidad racional, por lo que la condición # 2 de Debreu se satisface, y la relación de preferencia se puede representar mediante un valor real función.
El resultado de existencia es válido incluso cuando la topología de X se cambia a la topología inducida por la métrica descontada:
Aditividad de la función de utilidad ordinal
El teorema 3 de 1960 [4] dice, aproximadamente, que si el espacio de la mercancía contiene 3 o más componentes, y cada subconjunto de los componentes es preferencialmente independiente de los otros componentes, entonces la relación de preferencia puede ser representada por una función de valor aditivo .
Declaración
Estos son los supuestos generales:
- X, el espacio de todos los paquetes, es un producto cartesiano de n espacios de mercancías:(es decir, el espacio de los paquetes es un conjunto de n -tuplas de mercancías).
- es una relación sobre X que es total (todos los elementos son comparables) y transitiva .
- es continuo (ver arriba).
- Existe una función de utilidad ordinal ,, representando .
La función se llama aditivo si se puede escribir como una suma de n funciones de utilidad ordinales en los n factores:
donde el son constantes.
Dado un conjunto de índices , el conjunto de productos básicos se llama preferencialmente independiente si la relación de preferencia inducido en , dadas las cantidades constantes de los otros productos , no depende de estas cantidades constantes.
Si es aditivo, entonces obviamente todos los subconjuntos de productos son preferencialmente independientes.
Si todos los subconjuntos de productos son preferencialmente independientes Y al menos tres productos son esenciales (lo que significa que sus cantidades influyen en la relación de preferencia ), luego es aditivo.
Además, en ese caso es único hasta una transformación lineal creciente .
Para obtener una prueba constructiva intuitiva, consulte Utilidad ordinal - Aditividad con tres o más bienes .
Teoremas sobre la utilidad cardinal
El teorema 1 de 1960 [4] trata de las preferencias en loterías. Puede verse como una mejora del teorema de la utilidad de von Neumann-Morgenstern de 1947. El teorema anterior supone que los agentes tienen preferencias en loterías con probabilidades arbitrarias. El teorema de Debreu debilita esta suposición y asume solo que los agentes tienen preferencias en loterías de igualdad de oportunidades (es decir, solo pueden responder preguntas de la forma: "¿Prefieres A sobre una lotería de igualdad de oportunidades entre B y C?").
Formalmente, hay un conjunto de opciones seguras. El conjunto de loterías es. El teorema de Debreu establece que si:
- El conjunto de todas las opciones seguras es un espacio conectado y separable ;
- La relación de preferencia en el conjunto de loterías. es continuo - los conjuntos y están topológicamente cerrados para todos;
- y implica
Entonces existe una función de utilidad cardinal u que representa la relación de preferencia en el conjunto de loterías, es decir:
El teorema 2 de 1960 [4] trata de agentes cuyas preferencias están representadas por la frecuencia de elección. Cuando pueden elegir entre A y B , eligen A con frecuenciay B con frecuencia. El valorpuede interpretarse como la medición de la cantidad de agente prefiere A sobre B .
El teorema de Debreu establece que si la función del agente p satisface las siguientes condiciones:
- Lo completo:
- Condición cuádruple:
- Continuidad: si , entonces existe C tal que:.
Entonces existe una función de utilidad cardinal u que representa p , es decir:
- .
Ver también
Referencias
- ^ Debreu, Gerard (1954). Representación de un orden de preferencia mediante una función numérica (PDF) .[ enlace muerto permanente ]
- ^ Debreu, Gerard (1964). "Propiedades de continuidad de la utilidad Paretiana". Revista económica internacional . 5 (3): 285-293. doi : 10.2307 / 2525513 .
- ^ Diamond, Peter A. (1965). "La evaluación de los flujos de servicios públicos infinitos". Econometrica . 33 : 170. doi : 10.2307 / 1911893 . JSTOR 1911893 .
- ^ a b c Debreu, Gerard. Métodos topológicos en la teoría de la utilidad cardinal (PDF) .[ enlace muerto permanente ]