Cierre (topología)

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En matemáticas , el cierre de un subconjunto S de puntos en un espacio topológico consiste en todos los puntos en S junto con todos los puntos límite de S. La clausura de S puede definirse equivalentemente como la unión de S y su frontera , y también como la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen a S. Intuitivamente, el cierre se puede considerar como todos los puntos que están en S o "cerca" de S. Un punto que está en el cierre de S es un punto de cierre de S. La noción de cierre es en muchos sentidos dual a la noción de interior .

Para un subconjunto de un espacio euclidiano , es un punto de cierre de si cada bola abierta centrada en contiene un punto de (este punto puede ser él mismo).${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$

Esta definición se generaliza a cualquier subconjunto de un espacio métrico Totalmente expresado, para un espacio métrico con métrica es un punto de cierre de si para todo existe alguno tal que la distancia (de nuevo, está permitida). Otra forma de expresar esto es decir que es un punto de cierre de si la distancia${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle d(x,s)<r}$${\displaystyle x=s}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle d(x,S):=\inf _{s\in S}d(x,s)=0.}$

Esta definición se generaliza a espacios topológicos reemplazando "bola abierta" o "bola" por " vecindario ". Sea un subconjunto de un espacio topológico Entonces es un punto de cierre o un punto adherente de si cada vecindad de contiene un punto de ^[1] Tenga en cuenta que esta definición no depende de si se requiere que las vecindades sean abiertas.${\displaystyle S}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S.}$

La definición de un punto de cierre está íntimamente relacionada con la definición de un punto límite . La diferencia entre las dos definiciones es sutil pero importante, es decir, en la definición de punto límite, cada vecindad del punto en cuestión debe contener un punto del conjunto que no sea él mismo . El conjunto de todos los puntos límite de un conjunto se llama conjunto derivado de${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$

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