De manera informal, un número real definible es un número real que se puede especificar de forma única mediante su descripción. La descripción puede expresarse como construcción o como fórmula de un lenguaje formal . Por ejemplo, la raíz cuadrada positiva de 2,, se puede definir como la única solución positiva de la ecuación , y se puede construir con brújula y regla.
Las diferentes elecciones de un lenguaje formal o su interpretación pueden dar lugar a diferentes nociones de definibilidad. Las variedades específicas de números definibles incluyen los números construibles de geometría, los números algebraicos y los números computables . Debido a que los lenguajes formales solo pueden tener muchas fórmulas contables , cada noción de números definibles tiene, como mucho, muchos números reales definibles. Sin embargo, según el argumento de la diagonal de Cantor , hay innumerables números reales, por lo que casi todos los números reales son indefinibles.
Números construibles
Una forma de especificar un número real utiliza técnicas geométricas. Un número real r es un número construible si existe un método para construir un segmento de línea de longitud r utilizando un compás y una regla no graduada, comenzando con un segmento de línea fija de longitud 1.
Cada entero positivo y cada número racional positivo es construible. La raíz cuadrada positiva de 2 es construible. Sin embargo, la raíz cúbica de 2 no se puede construir; esto está relacionado con la imposibilidad de doblar el cubo .
Números algebraicos reales
Un número real r se llama número algebraico real si hay un polinomio p ( x ), con solo coeficientes enteros, de modo que r es una raíz de p , es decir, p ( r ) = 0. Cada número algebraico real se puede definir individualmente usando la relación de orden en los reales. Por ejemplo, si un polinomio q ( x ) tiene 5 raíces, el tercero puede definirse como el único r tal que q ( r ) = 0 y tal que haya dos números distintos menores que r para los cuales q es cero.
Todos los números racionales son algebraicos y todos los números construibles son algebraicos. Hay números como la raíz cúbica de 2 que son algebraicos pero no construibles.
Los números algebraicos reales forman un subcampo de los números reales. Esto significa que 0 y 1 son números algebraicos y, por otra parte, si un y b son números algebraicas, a continuación, por lo que son un + b , ab , ab y, si b es distinto de cero, un / b .
Los números algebraicos reales también tienen la propiedad, que va más allá de ser un subcampo de los reales, que para cada entero positivo n y cada número algebraico real a , todas las raíces n de a que son números reales también son algebraicas.
Solo hay muchos números algebraicos contables , pero hay innumerables números reales, por lo que, en el sentido de cardinalidad, la mayoría de los números reales no son algebraicos. Esta prueba no constructiva de que no todos los números reales son algebraicos fue publicada por primera vez por Georg Cantor en su artículo de 1874 " Sobre una propiedad de la colección de todos los números algebraicos reales ".
Los números no algebraicos se denominan números trascendentales . Ejemplos específicos de números trascendentales incluyen π y el número e de Euler .
Números reales computables
Un número real es un número computable si existe un algoritmo que, dado un número natural n , produce una expansión decimal para el número con una precisión de n decimales. Esta noción fue introducida por Alan Turing en 1936. [1]
Los números computables incluyen los números algebraicos junto con muchos números trascendentales, incluidos π y e . Al igual que los números algebraicos, los números computables también forman un subcampo de los números reales y los números computables positivos son cerrados bajo teniendo n th raíces para cada positivo n .
No todos los números reales son computables. El conjunto completo de números computables es contable, por lo que la mayoría de los reales no son computables. Los ejemplos específicos de números reales no computables incluyen los límites de las secuencias de Specker y los números reales aleatorios algorítmicamente como los números Ω de Chaitin .
Definibilidad en aritmética
Otra noción de definibilidad proviene de las teorías formales de la aritmética, como la aritmética de Peano . El lenguaje de la aritmética tiene símbolos para 0, 1, la operación sucesora, la suma y la multiplicación, destinados a ser interpretados de la forma habitual sobre los números naturales . Debido a que ninguna variable de este lenguaje se extiende sobre los números reales , se necesita un tipo diferente de definibilidad para referirse a los números reales. Un número real a es definible en el lenguaje de la aritmética (o aritmética ) si su corte de Dedekind puede definirse como un predicado en ese lenguaje; es decir, si existe una fórmula de primer orden φ en el lenguaje de la aritmética, con tres variables libres, tal que
Aquí m , n , y p rango sobre enteros no negativos.
El lenguaje aritmético de segundo orden es el mismo que el lenguaje de primer orden, excepto que se permite que las variables y los cuantificadores se extiendan sobre conjuntos de naturales. Un real que es definible de segundo orden en el lenguaje de la aritmética se llama analítico .
Todo número real computable es aritmético, y los números aritméticos forman un subcampo de los reales, al igual que los números analíticos. Todo número aritmético es analítico, pero no todo número analítico es aritmético. Debido a que solo hay muchos números analíticos contables, la mayoría de los números reales no son analíticos y, por lo tanto, tampoco aritméticos.
Todo número computable es aritmético, pero no todos los números aritméticos son computables. Por ejemplo, el límite de una secuencia de Specker es un número aritmético que no es computable.
Las definiciones de reales aritméticos y analíticos se pueden estratificar en la jerarquía aritmética y la jerarquía analítica . En general, un real es computable si y solo si su corte de Dedekind está al nivelde la jerarquía aritmética, uno de los niveles más bajos. De manera similar, los reales con cortes aritméticos de Dedekind forman el nivel más bajo de la jerarquía analítica.
Definibilidad en modelos de ZFC
Un número real a es definible de primer orden en el lenguaje de la teoría de conjuntos, sin parámetros , si hay una fórmula φ en el lenguaje de la teoría de conjuntos , con una variable libre , tal que a es el número real único tal que φ ( a ) sostiene. [2] Esta noción no puede expresarse como una fórmula en el lenguaje de la teoría de conjuntos.
Todos los números analíticos, y en particular todos los números computables, se pueden definir en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Así, los números reales definibles en el lenguaje de la teoría de conjuntos incluyen todos los números reales familiares como 0 , 1 , π , e , etcétera, junto con todos los números algebraicos. Suponiendo que forman un conjunto en el modelo, los números reales definibles en el lenguaje de la teoría de conjuntos sobre un modelo particular de ZFC forman un campo.
Cada modelo de conjuntos M de la teoría de conjuntos ZFC que contiene incontables números reales debe contener números reales que no se pueden definir dentro de M (sin parámetros). Esto se deduce del hecho de que sólo hay numerable muchas fórmulas, por lo que sólo numerable muchos elementos de M pueden ser definible sobre M . Por lo tanto, si M tiene uncountably muchos números reales, podemos probar desde el "exterior" M que no todo número real de M es definible sobre M .
Este argumento se vuelve más problemático si se aplica a modelos de clase de ZFC, como el universo de von Neumann . [ cita requerida ] El argumento que se aplica a los modelos de conjuntos no se puede generalizar directamente a los modelos de clase en ZFC porque la propiedad "el número real x se puede definir sobre el modelo de clase N " no se puede expresar como una fórmula de ZFC. De manera similar, la cuestión de si el universo de von Neumann contiene números reales que no puede definir no puede expresarse como una oración en el lenguaje de ZFC. Además, existen modelos contables de ZFC en los que todos los números reales, todos los conjuntos de números reales, funciones sobre los reales, etc. son definibles. [3]
Ver también
- La paradoja de Berry
- Universo construible
- Entscheidungsproblem
- Conjunto definible ordinal
- Teorema de indefinibilidad de Tarski
Referencias
- ^ Turing, 1937 .
- ^ Kunen 1980 , p. 153.
- ^ Hamkins, Linetsky y Reitz 2013 .
- Fuentes
- Hamkins, Joel David; Linetsky, David; Reitz, Jonas (2013), "Modelos definibles puntuales de teoría de conjuntos", Journal of Symbolic Logic , 78 (1): 139-156, arXiv : 1105.4597 , doi : 10.2178 / jsl.7801090 , S2CID 43689192.
- Kunen, Kenneth (1980), Teoría de conjuntos: Introducción a las pruebas de independencia , Amsterdam: Holanda Septentrional, ISBN 978-0-444-85401-8.
- Turing, AM (1937), "On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem" , Actas de la London Mathematical Society , 2, 42 (1), págs. 230–65, doi : 10.1112 / plms / s2-42.1. 230
- Turing, AM (1938), "On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem: A correct", Proceedings of the London Mathematical Society , 2, 43 (6), págs. 544-6, doi : 10.1112 / plms / s2 -43.6.544
enlaces externos
- ¿Se puede especificar cada número mediante un texto finito?