Carl Ferdinand Degen

Carl Ferdinand Degen (1 de noviembre de 1766 - 8 de abril de 1825) fue un matemático danés . Sus contribuciones más importantes fueron dentro de la teoría de números y asesoró al joven y aspirante a matemático noruego Niels Henrik Abel de manera decisiva. Degen ha recibido gran parte del crédito por la introducción de matemáticas más modernas y avanzadas en el sistema escolar danés-noruego .

Nació en Braunschweig en Alemania , pero la familia se trasladó a Copenhague en 1771, cuando su padre Johan Philipp Degen consiguió un puesto en la Orquesta Real Danesa . Como músico tenía un salario bajo, pero su hijo Carl Ferdinand recibió una beca para poder ir a la escuela en Helsingør . Se graduó allí en 1783 y continuó en la Universidad de Copenhague . En lugar de seguir el camino normal de los estudios, el joven Degen siguió sus propios intereses y leyó lenguas clásicas , filosofía , ciencias naturales y, en particular, matemáticas . ^[1]Cuando la universidad en 1792 anunció por primera vez un concurso de ensayos de premios en varios campos diferentes con un premio de 40 riksdaler en cada uno, Degen ganó el premio tanto en teología como en matemáticas. Hablaba con fluidez el latín , el griego y el hebreo , estaba familiarizado con las lenguas romances y germánicas y sabía leer ruso y polaco . En este período fue tutor en matemáticas del joven príncipe que más tarde se convirtió en rey Christian VIII de Dinamarca . En 1798 Degen se doctoró en Filosofía sobre la base de una tesis sobre Kant's filosofía ^[2] y fue elegido para la Real Academia Danesa de Ciencias y Letras en 1800. ^[1]

En 1802 Degen consiguió su primer puesto académico como director de matemáticas y física en la escuela de la catedral de Odense . Después de unos años allí fue nombrado rector de la escuela correspondiente en Viborg . Allí permaneció hasta 1814 cuando se convirtió en profesor de matemáticas en la Universidad de Copenhague. Aunque sus conferencias no estaban tan bien organizadas, sus alumnos lo amaban e infundió los cursos con matemáticas nuevas y más modernas. Al mismo tiempo, prosiguió con su propia investigación y publicó resultados en muchas direcciones diferentes. Todo esto lo convirtió en el matemático más estimado de Escandinavia en ese momento. ^[2]

Cuando Niels Henrik Abel, cuando era estudiante, visitó a Degen en Copenhague, lo describió como muy amable, pero un poco extraño, con una gran biblioteca privada. ^[2] Degen permaneció allí hasta su muerte en 1825. Por esa razón, no vivió para ver la gran fama que el joven Abel obtuvo poco después por su descubrimiento de las funciones elípticas que Degen había fomentado. Está enterrado en Assistens Kirkegård en Nørrebro en Copenhague.

Contribuciones matemáticas

Degen trabajó en muchas ramas de lo que entonces eran las matemáticas modernas. La mayoría de sus contribuciones tenían que ver con problemas dentro de la teoría de números , pero también escribió artículos sobre geometría y mecánica . ^[1]

La ecuación de Pell

En 1817, Degen imprimió su gran trabajo sobre las soluciones fundamentales ( x , y ) de la ecuación de Pell x ² - ny ² = 1 donde n es un número entero positivo. Euler había demostrado anteriormente que estos podían calcularse sistemáticamente con el uso de fracciones continuas . Degen usó este método y presentó soluciones enteras para todo n <1000. ^[3] Los mismos cálculos también dieron resultados racionales aproximados, pero muy precisos para la raíz cuadrada de n. Además, también encontró soluciones de la ecuación adjunta con -1 en el lado derecho para los n valores cuando existían. Estas tablas de resultados numéricos se convirtieron en los años siguientes en una referencia estándar para la ecuación de Pell. ^[4]

La identidad de los ocho cuadrados

Si bien su trabajo sobre la ecuación de Pell puede considerarse una continuación de las contribuciones anteriores realizadas por Euler , Lagrange y Legendre a este problema, el descubrimiento de Degen de la identidad de ocho cuadrados fue su descubrimiento más importante y original. Lo más probable es que se deba a sus intentos de generalizar la ecuación de Pell.

La identidad de dos cuadrados

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}}$

había sido conocido desde los tiempos de Diofanto . A finales del siglo XVII explicaba por qué la norma del producto de dos números complejos es igual al producto de sus normas . Casi al mismo tiempo, Euler demostró que también existe una identidad similar de cuatro cuadrados . Posteriormente resultó estar relacionado con la norma de cuaterniones descubierta por William Rowan Hamilton . En 1818, Degen presentó a la Academia de Ciencias de San Petersburgo, donde había trabajado Euler, su identidad de ocho cuadrados de exactamente la misma estructura que las dos identidades anteriores. ^[5] Al año siguiente fue elegido como «miembro correspondiente» de la misma sociedad académica.

Su trabajo sobre la identidad de ocho cuadrados se publicó por primera vez en 1822. ^[6] Casi treinta años después, su identidad fue redescubierta por John T. Graves y Arthur Cayley como obedecía la norma de los octoniones . Estos fueron una extensión de los cuaterniones de Hamilton. En 1898, Adolf Hurwitz demostró que tales identidades que involucran 2 ^k cuadrados solo pueden existir para k = 0, 1, 2 y 3 .

El encuentro con Abel

En 1821 Niels Henrik Abel era un estudiante muy talentoso en su último año en la escuela de la catedral de Oslo . Estaba convencido de que había encontrado una forma de resolver la ecuación quíntica . Ninguno de sus maestros o profesores de la Universidad de Oslo pudo encontrar nada malo en su trabajo. El profesor de astronomía Christopher Hansteen recomendó entonces que el artículo debería ser publicado por la Academia de Ciencias de Copenhague. Llegó así a manos de Degen para ser evaluado. ^[2]Una vez más, no pudo señalar ningún error, pero pidió que este nuevo método se probara primero con un ejemplo práctico. En una carta a Hansteen propuso la ecuación x ⁵ - 2 x ⁴ + 3 x ² - 4 x + 5 = 0. Terminó la carta con el deseo de que

... el tiempo y los esfuerzos que, en mi opinión, dedica el Sr. Abel a este tema bastante estéril, deberían ser invertidos en un problema cuyo desarrollo tendrá las mayores consecuencias para el Análisis Matemático y sus aplicaciones a las investigaciones prácticas. Me refiero a trascendentales elípticos. Un investigador serio con las calificaciones adecuadas para la investigación de este tipo de ninguna manera se limitaría a las muchas propiedades extrañas y hermosas de estas funciones más notables, sino que podría descubrir un Estrecho de Magallanes que conduzca a las amplias extensiones de un vasto Océano Analítico.

Este pronto resultaría ser un consejo muy profético. El propio Abel pronto descubrió un error en sus investigaciones de la ecuación quíntica, pero continuó trabajando en la existencia de soluciones. Dos años más tarde pudo demostrar que en general no tienen soluciones algebraicas .

La recomendación de Degen de concentrarse en cambio en la integral elíptica probablemente causó cierta impresión en el joven estudiante. En el verano de 1823, Abel realizó una breve visita a Copenhague, donde conoció a Degen. En una carta a su amigo y ex profesor Bernt Michael Holmboe en Oslo, escribió que había construido funciones elípticas invirtiendo las integrales correspondientes . Al año siguiente en una carta a Degen pudo informar que estas nuevas funciones tenían dos períodos . ^[7]Aunque este descubrimiento marca el comienzo de una nueva y muy importante rama de las matemáticas modernas, Abel esperó la publicación de sus resultados. Eso sucedió por primera vez en 1827. Mientras tanto, Degen había muerto y, por lo tanto, desconocía los hermosos descubrimientos que Abel había hecho y que había profetizado.

Referencias

1. Salmonsens Konservationsleksikon, Carl Ferdinand Degen , Projekt Runeberg , 2. edición digitalizada (1916).
2. A. Stubhaug, Niels Henrik Abel y su Times , Springer-Verlag, Berlín (2000). ISBN  3-540-66834-9 .
3. CF Degen, Canon Pellianus Sive Tabula simplicissimam Aequationis Celebratissimae , Bonnier, København (1817). Versión electrónica de Göttinger Digitalisierungszentrum.
4. DH Lehmer, Guía de tablas en la teoría de los números , Consejo Nacional de Investigación, Washington DC (1941).
5. A. Rice y E. Brown, conmutatividad y colinealidad: un estudio de caso histórico de la interconexión de ideas matemáticas. Parte I Archivado el 20 de octubre de 2016 en Wayback Machine , Revista de la Sociedad Británica de Historia de las Matemáticas 31 (1), 1-14 (2016).
6. CF Degen, Adumbratio Demonstrationis Theorematis Arithmetici Maxime Universalis , Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg, pour les années 1817 et 1818, 8 , 207-219 (1822).
7. O. Ore, Niels Henrik Abel - Matemático extraordinario , AMS Chelsea Publishing, Providence, RI (2008). ISBN 978-0821846445 .