En matemáticas , el grado de una variedad afín o proyectiva de dimensión n es el número de puntos de intersección de la variedad con n hiperplanos en posición general . [1] Para un conjunto algebraico , los puntos de intersección deben contarse con su multiplicidad de intersección , debido a la posibilidad de múltiples componentes. Para las variedades (irreductibles), si se tienen en cuenta las multiplicidades y, en el caso afín, los puntos en el infinito, la hipótesis de la posición generalpuede ser reemplazado por la condición mucho más débil de que la intersección de la variedad tiene la dimensión cero (es decir, consta de un número finito de puntos). Ésta es una generalización del teorema de Bézout (para una demostración, vea la serie de Hilbert y el polinomio de Hilbert § Grado de una variedad proyectiva y teorema de Bézout ).
El grado no es una propiedad intrínseca de la variedad, ya que depende de una incrustación específica de la variedad en un espacio afín o proyectivo.
El grado de una hipersuperficie es igual al grado total de su ecuación definitoria. Una generalización del teorema de Bézout afirma que, si una intersección de n hipersuperficies proyectivas tiene codimensión n , entonces el grado de intersección es el producto de los grados de las hipersuperficies.
El grado de una variedad proyectiva es la evaluación en 1 del numerador de la serie de Hilbert de su anillo de coordenadas . De ello se deduce que, dadas las ecuaciones de la variedad, el grado puede calcularse a partir de una base de Gröbner del ideal de estas ecuaciones.
Para V incrustado en un espacio proyectivo P n y definido sobre algún campo K algebraicamente cerrado , el grado d de V es el número de puntos de intersección de V , definido sobre K , con un subespacio lineal L en posición general , tal que
Aquí dim ( V ) es la dimensión de V , y la codimensión de L será igual a esa dimensión. El grado d es una cantidad extrínseca, y no intrínseca como una propiedad de V . Por ejemplo, la línea proyectiva tiene una incrustación (esencialmente única) de grado n en P n .