Serie de Hilbert y polinomio de Hilbert

En álgebra conmutativa , la función de Hilbert , el polinomio de Hilbert y la serie de Hilbert de un álgebra conmutativa graduada generada finitamente sobre un campo son tres nociones fuertemente relacionadas que miden el crecimiento de la dimensión de los componentes homogéneos del álgebra.

Estas nociones se han extendido a álgebras filtradas y módulos graduados o filtrados sobre estas álgebras, así como a haces coherentes sobre esquemas proyectivos .

Las situaciones típicas en las que se utilizan estas nociones son las siguientes:

• El cociente por un ideal homogéneo de un anillo polinomial multivariado , clasificado por el grado total.
• El cociente por un ideal de un anillo polinomial multivariado, filtrado por el grado total.
• La filtración de un anillo local por los poderes de su ideal máximo . En este caso, el polinomio de Hilbert se denomina polinomio de Hilbert-Samuel .

La serie de Hilbert de un álgebra o un módulo es un caso especial de la serie de Hilbert-Poincaré de un espacio vectorial graduado .

El polinomio de Hilbert y la serie de Hilbert son importantes en la geometría algebraica computacional , ya que son la forma más fácil de calcular la dimensión y el grado de una variedad algebraica definida por ecuaciones polinomiales explícitas. Además, proporcionan invariantes útiles para familias de variedades algebraicas porque una familia plana${\displaystyle \pi :X\to S}$ tiene el mismo polinomio de Hilbert sobre cualquier punto cerrado ${\displaystyle s\in S}$. Esto se utiliza en la construcción del esquema de Hilbert y el esquema de cotización .

Definiciones y propiedades principales

Considere un álgebra conmutativa graduada S generada finitamente sobre un campo K , que es generado finitamente por elementos de grado positivo. Esto significa que

${\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}}$

y eso ${\displaystyle S_{0}=K}$.

La función de Hilbert

${\displaystyle HF_{S}:n\longmapsto \dim _{K}S_{n}}$

mapea el entero n a la dimensión del espacio del vector K S _n . La serie de Hilbert, que se denomina serie de Hilbert-Poincaré en el contexto más general de espacios vectoriales graduados, es la serie formal

${\displaystyle HS_{S}(t)=\sum _{n=0}^{\infty }HF_{S}(n)t^{n}.}$

Si S es generado por h elementos homogéneos de grados positivos${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{h}}$, entonces la suma de la serie de Hilbert es una fracción racional

${\displaystyle HS_{S}(t)={\frac {Q(t)}{\prod _{i=1}^{h}\left(1-t^{d_{i}}\right)}},}$

donde Q es un polinomio con coeficientes enteros.

Si S es generado por elementos de grado 1, entonces la suma de la serie de Hilbert puede reescribirse como

${\displaystyle HS_{S}(t)={\frac {P(t)}{(1-t)^{\delta }}},}$

donde P es un polinomio con coeficientes enteros, y${\displaystyle \delta }$es la dimensión Krull de S .

En este caso, la expansión en serie de esta fracción racional es

${\displaystyle HS_{S}(t)=P(t)\left(1+\delta t+\cdots +{\binom {n+\delta -1}{\delta -1}}t^{n}+\cdots \right)}$

donde

${\displaystyle {\binom {n+\delta -1}{\delta -1}}={\frac {(n+\delta -1)(n+\delta -2)\cdots (n+1)}{(\delta -1)!}}}$

es el coeficiente binomial para${\displaystyle n>-\delta ,}$ y es 0 en caso contrario.

Si

${\displaystyle P(t)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}t^{i},}$

el coeficiente de ${\displaystyle t^{n}}$ en ${\displaystyle HS_{S}(t)}$ es así

${\displaystyle HF_{S}(n)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}{\binom {n-i+\delta -1}{\delta -1}}.}$

Para ${\displaystyle n\geq i-\delta +1,}$el término del índice i en esta suma es un polinomio en n de grado${\displaystyle \delta -1}$ con coeficiente principal ${\displaystyle a_{i}/(\delta -1)!.}$ Esto muestra que existe un polinomio único ${\displaystyle HP_{S}(n)}$ con coeficientes racionales que es igual a ${\displaystyle HF_{S}(n)}$para n lo suficientemente grande. Este polinomio es el polinomio de Hilbert y tiene la forma

${\displaystyle HP_{S}(n)={\frac {P(1)}{(\delta -1)!}}n^{\delta -1}+{\text{ terms of lower degree in }}n.}$

El mínimo n ₀ tal que${\displaystyle HP_{S}(n)=HF_{S}(n)}$para n ≥ n ₀ se llama la regularidad de Hilbert . Puede ser menor que${\displaystyle \deg P-\delta +1}$.

El polinomio de Hilbert es un polinomio numérico , ya que las dimensiones son números enteros, pero el polinomio casi nunca tiene coeficientes enteros ( Schenck 2003 , págs. 41).

Todas estas definiciones pueden extenderse a módulos graduados generados finitamente sobre S , con la única diferencia de que aparece un factor t ^m en la serie de Hilbert, donde m es el grado mínimo de los generadores del módulo, que puede ser negativo.

La función de Hilbert , la serie de Hilbert y el polinomio de Hilbert de un álgebra filtrada son los del álgebra graduada asociada.

El polinomio de Hilbert de una variedad proyectiva V en P ⁿ se define como el polinomio de Hilbert de la coordenadas homogéneas anillo de V .

Álgebra graduada y anillos polinomiales

Los anillos polinomiales y sus cocientes por ideales homogéneos son álgebras graduadas típicas. Por el contrario, si S es un álgebra graduada generada sobre el campo K por n elementos homogéneos g ₁ , ..., g _n de grado 1, entonces el mapa que envía X _i sobre g _i define un homomorfismo de anillos graduados de${\displaystyle R_{n}=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$en S . Su núcleo es un ideal homogéneo I y esto define un isomorfismo de álgebra graduada entre${\displaystyle R_{n}/I}$y S .

Así, las álgebras graduadas generadas por elementos de grado 1 son exactamente, hasta un isomorfismo, los cocientes de anillos polinomiales por ideales homogéneos. Por tanto, el resto de este artículo se limitará a los cocientes de anillos polinomiales por ideales.

Propiedades de la serie Hilbert

Aditividad

Las series de Hilbert y el polinomio de Hilbert son aditivas en relación con las secuencias exactas . Más precisamente, si

${\displaystyle 0\;\rightarrow \;A\;\rightarrow \;B\;\rightarrow \;C\;\rightarrow \;0}$

es una secuencia exacta de módulos graduados o filtrados, entonces tenemos

${\displaystyle HS_{B}=HS_{A}+HS_{C}}$

y

${\displaystyle HP_{B}=HP_{A}+HP_{C}.}$

Esto se sigue inmediatamente de la misma propiedad para la dimensión de los espacios vectoriales.

Cociente por un divisor distinto de cero

Sea A un álgebra graduada yf un elemento homogéneo de grado d en A que no es un divisor de cero . Entonces nosotros tenemos

${\displaystyle HS_{A/(f)}(t)=(1-t^{d})\,HS_{A}(t)\,.}$

Se sigue de la aditividad en la secuencia exacta

${\displaystyle 0\;\rightarrow \;A^{[d]}\;{\xrightarrow {f}}\;A\;\rightarrow \;A/f\rightarrow \;0\,,}$

donde la flecha etiquetada f es la multiplicación por f , y${\displaystyle A^{[d]}}$es el módulo graduado que se obtiene de A desplazando los grados por d , para que la multiplicación por f tenga grado 0. Esto implica que${\displaystyle HS_{A^{[d]}}(t)=t^{d}\,HS_{A}(t)\,.}$

Serie de Hilbert y polinomio de Hilbert de un anillo polinomial

La serie de Hilbert del anillo polinomial ${\displaystyle R_{n}=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ en ${\displaystyle n}$ indeterminado es

${\displaystyle HS_{R_{n}}(t)={\frac {1}{(1-t)^{n}}}\,.}$

De ello se deduce que el polinomio de Hilbert es

${\displaystyle HP_{R_{n}}(k)={{k+n-1} \choose {n-1}}={\frac {(k+1)\cdots (k+n-1)}{(n-1)!}}\,.}$

La prueba de que la serie de Hilbert tiene esta forma simple se obtiene aplicando recursivamente la fórmula anterior para el cociente por un divisor distinto de cero (aquí ${\displaystyle x_{n}}$) y remarcando que ${\displaystyle HS_{K}(t)=1\,.}$

Forma y dimensión de la serie Hilbert

Un álgebra graduada A generada por elementos homogéneos de grado 1 tiene dimensión de Krull cero si el ideal homogéneo máximo, que es el ideal generado por los elementos homogéneos de grado 1, es nilpotente . Esto implica que la dimensión de A como un espacio de vectores K es finita y que la serie de Hilbert de A es un polinomio P ( t ) tal que P (1) es igual a la dimensión de A como un espacio de vectores K.

Si la dimensión de Krull de A es positiva, hay un elemento homogéneo f de grado uno que no es divisor de cero (de hecho, casi todos los elementos de grado uno tienen esta propiedad). La dimensión de Krull de A / (f) es la dimensión de Krull de A menos uno.

La aditividad de la serie de Hilbert muestra que ${\displaystyle HS_{A/(f)}(t)=(1-t)\,HS_{A}(t)}$. Repitiendo esto varias veces igual a la dimensión de Krull de A , obtenemos finalmente un álgebra de dimensión 0 cuya serie de Hilbert es un polinomio P ( t ) . Este muestra que la serie de Hilbert de A es

${\displaystyle HS_{A}(t)={\frac {P(t)}{(1-t)^{d}}}}$

donde el polinomio P ( t ) es tal que P (1) ≠ 0 y d es la dimensión Krull de A .

Esta fórmula para la serie de Hilbert implica que el grado del polinomio de Hilbert es d , y que su coeficiente principal es${\displaystyle {\frac {P(1)}{d!}}}$.

Grado de variedad proyectiva y teorema de Bézout

La serie de Hilbert nos permite calcular el grado de una variedad algebraica como el valor en 1 del numerador de la serie de Hilbert. Esto proporciona también una demostración bastante simple del teorema de Bézout .

Para mostrar la relación entre el grado de un conjunto algebraico proyectivo y la serie de Hilbert, considere un conjunto algebraico proyectivo V , definido como el conjunto de ceros de un ideal homogéneo ${\displaystyle I\subset k[x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}]}$, donde k es un campo, y sea${\displaystyle R=k[x_{0},\ldots ,x_{n}]/I}$ser el anillo de las funciones regulares en el conjunto algebraico.

En esta sección, no se necesita la irreductibilidad de los conjuntos algebraicos ni la primacía de los ideales. Además, como las series de Hilbert no se modifican ampliando el campo de coeficientes, se supone que el campo k , sin pérdida de generalidad, está algebraicamente cerrado.

La dimensión d de V es igual a la dimensión de Krull menos uno de R , y el grado de V es el número de puntos de intersección, contados con multiplicidades, de V con la intersección de${\displaystyle d}$hiperplanos en posición general . Esto implica la existencia, en R , de una secuencia regular ${\displaystyle h_{0},\ldots ,h_{d}}$de d + 1 polinomios homogéneos de grado uno. La definición de una secuencia regular implica la existencia de secuencias exactas.

${\displaystyle 0\longrightarrow \left(R/\langle h_{0},\ldots ,h_{k-1}\rangle \right)^{[1]}{\stackrel {h_{k}}{\longrightarrow }}R/\langle h_{1},\ldots ,h_{k-1}\rangle \longrightarrow R/\langle h_{1},\ldots ,h_{k}\rangle \longrightarrow 0,}$

por ${\displaystyle k=0,\ldots ,d.}$ Esto implica que

${\displaystyle HS_{R/\langle h_{0},\ldots ,h_{d-1}\rangle }(t)=(1-t)^{d}\,HS_{R}(t)={\frac {P(t)}{1-t}},}$

donde ${\displaystyle P(t)}$es el numerador de la serie de Hilbert de R .

El anillo ${\displaystyle R_{1}=R/\langle h_{0},\ldots ,h_{d-1}\rangle }$ tiene la dimensión uno de Krull, y es el anillo de funciones regulares de un conjunto algebraico proyectivo ${\displaystyle V_{0}}$de dimensión 0 que consta de un número finito de puntos, que pueden ser múltiples puntos. Como${\displaystyle h_{d}}$ pertenece a una secuencia regular, ninguno de estos puntos pertenece al hiperplano de la ecuación ${\displaystyle h_{d}=0.}$El complemento de este hiperplano es un espacio afín que contiene${\displaystyle V_{0}.}$ Esto hace ${\displaystyle V_{0}}$un conjunto algebraico afín , que tiene${\displaystyle R_{0}=R_{1}/\langle h_{d}-1\rangle }$como su anillo de funciones regulares. El polinomio lineal${\displaystyle h_{d}-1}$ no es un divisor de cero en ${\displaystyle R_{1},}$ y uno tiene así una secuencia exacta

${\displaystyle 0\longrightarrow R_{1}{\stackrel {h_{d}-1}{\longrightarrow }}R_{1}\longrightarrow R_{0}\longrightarrow 0,}$

lo que implica que

${\displaystyle HS_{R_{0}}(t)=(1-t)HS_{R_{1}}(t)=P(t).}$

Aquí estamos usando la serie de Hilbert de álgebras filtradas , y el hecho de que la serie de Hilbert de un álgebra graduada es también su serie de Hilbert como álgebra filtrada.

Por lo tanto ${\displaystyle R_{0}}$es un anillo de Artinian , que es una k espacio-vector de dimensión P (1) , y Jordan-Hölder teorema se puede usar para demostrar que P (1) es el grado de la conjunto algebraico V . De hecho, la multiplicidad de un punto es el número de ocurrencias del ideal máximo correspondiente en una serie de composición .

Para probar el teorema de Bézout, se puede proceder de manera similar. Si${\displaystyle f}$ es un polinomio homogéneo de grado ${\displaystyle \delta }$, que no es un divisor de cero en R , la secuencia exacta

${\displaystyle 0\longrightarrow R^{[\delta ]}{\stackrel {f}{\longrightarrow }}R\longrightarrow R/\langle f\rangle \longrightarrow 0,}$

muestra que

${\displaystyle HS_{R/\langle f\rangle }(t)=\left(1-t^{\delta }\right)HS_{R}(t).}$

Al observar los numeradores, esto demuestra la siguiente generalización del teorema de Bézout:

Teorema : si f es un polinomio homogéneo de grado${\displaystyle \delta }$, que no es un divisor de cero en R , entonces el grado de intersección de V con la hipersuperficie definida por${\displaystyle f}$es el producto del grado de V por${\displaystyle \delta .}$

En una forma más geométrica, esto puede reformularse como:

Teorema : si una hipersuperficie proyectiva de grado d no contiene ningún componente irreducible de un conjunto algebraico de grado δ , entonces el grado de su intersección es dδ .

El teorema de Bézout habitual se deduce fácilmente partiendo de una hipersuperficie e intersecándola con otras n - 1 hipersuperficies, una tras otra.

Intersección completa

Un conjunto algebraico proyectivo es una intersección completa si su ideal definitorio es generado por una secuencia regular . En este caso, existe una fórmula explícita simple para la serie de Hilbert.

Dejar ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}}$ser k polinomios homogéneos en${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$, de los respectivos grados ${\displaystyle \delta _{1},\ldots ,\delta _{k}.}$ Configuración ${\displaystyle R_{i}=R/\langle f_{1},\ldots ,f_{i}\rangle ,}$ uno tiene las siguientes secuencias exactas

${\displaystyle 0\;\rightarrow \;R_{i-1}^{[\delta _{i}]}\;{\xrightarrow {f_{i}}}\;R_{i-1}\;\rightarrow \;R_{i}\;\rightarrow \;0\,.}$

La aditividad de la serie de Hilbert implica así

${\displaystyle HS_{R_{i}}(t)=(1-t^{\delta _{i}})HS_{R_{i-1}}(t)\,.}$

Una simple recursividad da

${\displaystyle HS_{R_{k}}(t)={\frac {(1-t^{\delta _{1}})\cdots (1-t^{\delta _{k}})}{(1-t)^{n}}}={\frac {(1+t+\cdots +t^{\delta _{1}})\cdots (1+t+\cdots +t^{\delta _{k}})}{(1-t)^{n-k}}}\,.}$

Esto muestra que la intersección completa definida por una secuencia regular de k polinomios tiene una codimensión de k , y que su grado es el producto de los grados de los polinomios en la secuencia.

Relación con resoluciones libres

Cada módulo graduado M sobre un anillo regular graduado R tiene una resolución libre graduada , lo que significa que existe una secuencia exacta

${\displaystyle 0\to L_{k}\to \cdots \to L_{1}\to M\to 0,}$

donde el ${\displaystyle L_{i}}$son módulos libres graduados y las flechas son mapas lineales graduados de grado cero.

La aditividad de la serie de Hilbert implica que

${\displaystyle HS_{M}(t)=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}HS_{L_{i}}(t).}$

Si ${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ es un anillo polinomial, y si se conocen los grados de los elementos base del ${\displaystyle L_{i},}$ entonces las fórmulas de los apartados anteriores permiten deducir ${\displaystyle HS_{M}(t)}$ desde ${\displaystyle HS_{R}(t)=1/(1-t)^{n}.}$De hecho, estas fórmulas implican que, si un módulo libre graduado L tiene una base de h elementos homogéneos de grados${\displaystyle \delta _{1},\ldots ,\delta _{h},}$ entonces su serie de Hilbert es

${\displaystyle HS_{L}(t)={\frac {t^{\delta _{1}}+\cdots +t^{\delta _{h}}}{(1-t)^{n}}}.}$

Estas fórmulas pueden verse como una forma de calcular las series de Hilbert. Esto rara vez es el caso, ya que, con los algoritmos conocidos, el cálculo de la serie de Hilbert y el cálculo de una resolución libre parten de la misma base de Gröbner , a partir de la cual la serie de Hilbert puede calcularse directamente con una complejidad computacional que no es mayor. que eso la complejidad del cálculo de la resolución libre.

Cálculo de la serie de Hilbert y el polinomio de Hilbert

El polinomio de Hilbert es fácilmente deducible de la serie de Hilbert (ver arriba ). Esta sección describe cómo se puede calcular la serie de Hilbert en el caso de un cociente de un anillo polinomial, filtrado o clasificado por el grado total.

Por lo tanto, sea K un campo,${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ser un anillo polinomio y I ser un ideal en R . Deje H sea el ideal homogénea generada por las partes homogéneas de grado más alto de los elementos de I . Si I es homogénea, a continuación, H = I . Finalmente dejó que B sea una base de Gröbner de I para una ordenación monomio refinar el grado total ordenación parcial y G el (homogéneo) ideal generado por los principales monomios de los elementos de B .

El cálculo de la serie de Hilbert se basa en el hecho de que el álgebra filtrada R / I y las álgebras graduadas R / H y R / G tienen la misma serie de Hilbert .

Así, el cálculo de la serie de Hilbert se reduce, mediante el cálculo de una base de Gröbner, al mismo problema para un ideal generado por monomios, que suele ser mucho más fácil que el cálculo de la base de Gröbner. La complejidad computacional de todo el cálculo depende principalmente de la regularidad, que es el grado del numerador de la serie de Hilbert. De hecho, la base de Gröbner puede calcularse mediante álgebra lineal sobre los polinomios de grado acotado por la regularidad.

El cálculo de las series de Hilbert y los polinomios de Hilbert están disponibles en la mayoría de los sistemas de álgebra computacional . Por ejemplo, tanto en Maple como en Magma, estas funciones se denominan HilbertSeries y HilbertPolynomial .

Generalización a haces coherentes

En geometría algebraica , los anillos graduados generados por elementos de grado 1 producen esquemas proyectivos por construcción Proj, mientras que los módulos graduados generados finitamente corresponden a poleas coherentes. Si${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es una gavilla coherente sobre un esquema proyectivo X , definimos el polinomio de Hilbert de${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ como una función ${\displaystyle p_{\mathcal {F}}(m)=\chi (X,{\mathcal {F}}(m))}$, donde χ es la característica de Euler de gavilla coherente, y${\displaystyle {\mathcal {F}}(m)}$un toque de Serre . La característica de Euler en este caso es un número bien definido por el teorema de finitud de Grothendieck .

De hecho, esta función es un polinomio. ^[1] Para m grande coincide con tenue${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {F}}(m))}$por el teorema de desaparición de Serre . Si M es un módulo graduado generado finitamente y${\displaystyle {\tilde {M}}}$ la gavilla coherente asociada concuerdan las dos definiciones del polinomio de Hilbert.

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Dado que la categoría de gavillas coherentes en una variedad proyectiva ${\displaystyle X}$es equivalente a la categoría de módulos graduados módulo un número finito de piezas graduadas, podemos usar los resultados de la sección anterior para construir polinomios de Hilbert de roldanas coherentes. Por ejemplo, una intersección completa${\displaystyle X}$ de varios grados ${\displaystyle (d_{1},d_{2})}$ tiene la resolución

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-d_{1}-d_{2}){\xrightarrow {\begin{bmatrix}f_{2}\\-f_{1}\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-d_{1})\oplus {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-d_{2}){\xrightarrow {\begin{bmatrix}f_{1}&f_{2}\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{X}\to 0}$

Ver también

• Regularidad Castelnuovo-Mumford
• Esquema de Hilbert
• Esquema de cotización

Citas

1. Ravi Vakil (2015). Fundamentos de la geometría algebraica (PDF) ., Teorema 18.6.1

Referencias

• Harris, Joe (1992). Geometría algebraica, un primer curso . Springer Science . ISBN 978-0-387-97716-4.
• Eisenbud, David (1995), álgebra conmutativa. Con miras a la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas, 150 , Nueva York: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1 , ISBN 0-387-94268-8, MR  1322960.
• Schenck, Hal (2003), geometría algebraica computacional , Cambridge : Cambridge University Press , CiteSeerX  10.1.1.57.7472 , ISBN 978-0-521-53650-9, MR  0011360
• Stanley, Richard (1978), "Funciones de Hilbert de álgebras graduadas", Advances in Mathematics , 28 (1), pp. 57-83, doi : 10.1016 / 0001-8708 (78) 90045-2 , MR  0485835.