El grupo de renormalización de matriz de densidad ( DMRG ) es una técnica variacional numérica ideada para obtener la física de baja energía de sistemas cuánticos de muchos cuerpos con alta precisión. Como método variacional , DMRG es un algoritmo eficiente que intenta encontrar la función de onda del estado del producto de la matriz de menor energía de un hamiltoniano. Fue inventado en 1992 por Steven R. White y hoy en día es el método más eficiente para sistemas unidimensionales. [1]
La idea detrás de DMRG
El principal problema de la física cuántica de muchos cuerpos es el hecho de que el espacio de Hilbert crece exponencialmente con el tamaño [ se necesita más explicación ] . Por ejemplo, una cadena de espín-1/2 de longitud L tiene 2 L grados de libertad. El DMRG es un método variacional iterativo que reduce los grados efectivos de libertad a los más importantes para un estado objetivo. El estado objetivo es a menudo el estado fundamental . [ non sequitur ]
Después de un ciclo de calentamiento [ definición necesaria ] , el método divide el sistema en dos subsistemas o bloques, que no necesitan tener el mismo tamaño, y dos sitios intermedios. Se ha elegido un conjunto de estados representativos para el bloque durante el calentamiento. Este conjunto de bloque izquierdo + dos sitios + bloque derecho se conoce como superbloque . Ahora se puede encontrar un candidato para el estado fundamental del superbloque, que es una versión reducida del sistema completo. Puede tener una precisión bastante pobre, pero el método es iterativo y mejora con los pasos a continuación.
El estado de base candidato que se ha encontrado se proyecta en el subespacio de Hilbert para cada bloque utilizando una matriz de densidad , de ahí el nombre. Por tanto, se actualizan los estados relevantes para cada bloque. [ se necesita más explicación ]
Ahora uno de los bloques crece a expensas del otro y se repite el procedimiento. Cuando el bloque en crecimiento alcanza el tamaño máximo, el otro comienza a crecer en su lugar. Cada vez que volvemos a la situación original (tamaños iguales), decimos que se ha completado un barrido . Normalmente, unos pocos barridos son suficientes para obtener una precisión de una parte en 10 10 para una celosía 1D.
La primera aplicación del DMRG, por Steven White y Reinhard Noack, fue un modelo de juguete : encontrar el espectro de una partícula de espín 0 en una caja 1D. Este modelo había sido propuesto por Kenneth G. Wilson como prueba para cualquier nuevo método de grupo de renormalización , porque todos fracasaron con este simple problema. El DMRG superó los problemas de los métodos de grupos de renormalización anteriores conectando dos bloques con los dos sitios en el medio en lugar de simplemente agregar un solo sitio a un bloque en cada paso, así como utilizando la matriz de densidad para identificar los estados más importantes a ser guardado al final de cada paso. Después de tener éxito con el modelo de juguete , el método DMRG se probó con éxito en el modelo de Heisenberg (cuántico) .
Guía de implementación
Una implementación práctica del algoritmo DMRG es un trabajo largo [ opinión ] . Algunos de los principales trucos computacionales son estos:
- El estado fundamental del superbloque se obtiene mediante el algoritmo de Lanczos de diagonalización matricial. Otra opción es el método Arnoldi , especialmente cuando se trata de matrices no hermitianas.
- El algoritmo de Lanczos generalmente comienza con la mejor suposición de la solución. Si no hay conjeturas disponibles, se elige un vector aleatorio. En DMRG, el estado fundamental obtenido en un cierto paso de DMRG, adecuadamente transformado, es una suposición razonable y, por lo tanto, funciona significativamente mejor que un vector inicial aleatorio en el siguiente paso de DMRG.
- En sistemas con simetrías, es posible que tengamos números cuánticos conservados, como el espín total en un modelo de Heisenberg (cuántico) . Es conveniente encontrar el estado fundamental dentro de cada uno de los sectores en los que se divide el espacio de Hilbert.
- Un ejemplo: modelo dmrg de Heisenberg
Aplicaciones
El DMRG se ha aplicado con éxito para obtener las propiedades de baja energía de las cadenas de espín: modelo de Ising en un campo transversal, modelo de Heisenberg , etc., sistemas fermiónicos, como el modelo de Hubbard , problemas con impurezas como el efecto Kondo , sistemas de bosones , y la física de los puntos cuánticos unidos con cables cuánticos . También se ha ampliado para trabajar en gráficos de árbol y ha encontrado aplicaciones en el estudio de dendrímeros . Para sistemas 2D con una de las dimensiones mucho mayor que la otra DMRG también es precisa y ha demostrado ser útil en el estudio de escaleras.
El método se ha ampliado para estudiar la física estadística del equilibrio en 2D y para analizar los fenómenos de no equilibrio en 1D.
El DMRG también se ha aplicado al campo de la química cuántica para estudiar sistemas fuertemente correlacionados.
El producto matricial ansatz
El éxito del DMRG para sistemas 1D está relacionado con el hecho de que es un método variacional dentro del espacio de estados de productos matriciales . Estos son estados de la forma
dónde son los valores del, por ejemplo, z -componente del espín en una cadena de espín, y A s i son matrices de dimensión arbitraria m . A medida que m → ∞, la representación se vuelve exacta. Esta teoría fue expuesta por S. Rommer y S. Ostlund en [1] .
Extensiones de DMRG
En 2004 , se desarrolló el método de diezmado de bloques de evolución temporal para implementar la evolución en tiempo real de los estados de los productos Matrix. La idea se basa en la simulación clásica de una computadora cuántica . Posteriormente, se ideó un nuevo método para calcular la evolución en tiempo real dentro del formalismo DMRG. Véase el artículo de A. Feiguin y SR White [2] .
En los últimos años se han presentado algunas propuestas para extender el método a 2D y 3D, ampliando la definición de los Estados de Producto Matrix. Véase este artículo de F. Verstraete e I. Cirac, [3] .
Otras lecturas
- El papel original, de SR White, [4] o [5]
- Una revisión amplia, por Karen Hallberg , [6] .
- Dos reseñas de Ulrich Schollwöck, una que analiza la formulación original [7] y otra en términos de estados del producto de la matriz [8]
- El Ph.D. tesis de Javier Rodríguez Laguna [9] .
- Una introducción a DMRG y su extensión dependiente del tiempo [10] .
- Una lista de impresiones electrónicas de DMRG en arxiv.org [11] .
- Un artículo de revisión sobre DMRG para química cuántica ab initio [12] .
- Un vídeo de introducción sobre DMRG para la química cuántica ab initio [13] .
Software relacionado
- El kit de herramientas de productos de matriz : un conjunto de herramientas GPL gratuito para manipular estados de productos de matriz finitos e infinitos escritos en C ++ [14]
- Uni10 : una biblioteca que implementa numerosos algoritmos de red tensorial (DMRG, TEBD, MERA, PEPS ...) en C ++
- Powder with Power: una distribución gratuita de código DMRG dependiente del tiempo escrito en Fortran [15]
- El Proyecto ALPS: una distribución gratuita de código DMRG independiente del tiempo y códigos Quantum Monte Carlo escritos en C ++ [16]
- DMRG ++ : una implementación gratuita de DMRG escrita en C ++ [17]
- La biblioteca ITensor (Intelligent Tensor): una biblioteca gratuita para realizar cálculos DMRG basados en tensor y estado de producto matricial escritos en C ++ [18]
- OpenMPS : una implementación DMRG de código abierto basada en los estados de productos de Matrix escritos en Python / Fortran2003. [19]
- Programa Snake DMRG: programa de código abierto DMRG, tDMRG y DMRG de temperatura finita escrito en C ++ [20]
- CheMPS2 : código DMRG adaptado por espín de código abierto (GPL) para química cuántica ab initio escrito en C ++ [21]
- Bloque : marco DMRG de código abierto para química cuántica y modelo hamiltonianos. Soporta SU (2) y simetrías generales no abelianas. Escrito en C ++.
Ver también
- Montecarlo cuántico
- DMRG del modelo Heisenberg
- Aniquilación de bloques que evoluciona en el tiempo
- Interacción de configuración
Referencias
- ^ Nakatani, Naoki (2018), "Estados de producto de matriz y algoritmo de grupo de renormalización de matriz de densidad" , Módulo de referencia en química, ciencias moleculares e ingeniería química , Elsevier, ISBN 978-0-12-409547-2, consultado el 21 de abril de 2021