En la teoría de sistemas de control , el método de función descriptiva (DF), desarrollado por Nikolay Mitrofanovich Krylov y Nikolay Bogoliubov en la década de 1930, [1] [2] y ampliado por Ralph Kochenburger [3] es un procedimiento aproximado para analizar ciertos problemas de control no lineales . Se basa en la cuasi-linealización, que es la aproximación del sistema no lineal bajo investigación mediante una función de transferencia lineal invariante en el tiempo (LTI) que depende de la amplitudde la forma de onda de entrada. Por definición, una función de transferencia de un verdadero sistema LTI no puede depender de la amplitud de la función de entrada porque un sistema LTI es lineal . Por lo tanto, esta dependencia de la amplitud genera una familia de sistemas lineales que se combinan en un intento de capturar características sobresalientes del comportamiento del sistema no lineal. La función de descripción es uno de los pocos métodos ampliamente aplicables para diseñar sistemas no lineales y se usa ampliamente como una herramienta matemática estándar para analizar ciclos límite en controladores de bucle cerrado , como controles de procesos industriales, servomecanismos y osciladores electrónicos .
El método
Considere la retroalimentación en torno a una no linealidad discontinua (pero continua por partes) (por ejemplo, un amplificador con saturación o un elemento con efectos de banda muerta ) en cascada con un sistema lineal estable lento. La región continua en la que se presenta la retroalimentación a la no linealidad depende de la amplitud de la salida del sistema lineal. A medida que decae la amplitud de salida del sistema lineal, la no linealidad puede moverse a una región continua diferente. Este cambio de una región continua a otra puede generar oscilaciones periódicas . Los que describen intentos método de la función para predecir características de esas oscilaciones (por ejemplo, su frecuencia fundamental) suponiendo que el sistema lento actúa como un paso bajo o de paso de banda de filtro que se concentra toda la energía en torno a una sola frecuencia. Incluso si la forma de onda de salida tiene varios modos, el método aún puede proporcionar intuición sobre propiedades como la frecuencia y posiblemente la amplitud; en este caso, se puede pensar que el método de función descriptiva describe el modo deslizante del sistema de retroalimentación.
Usando esta suposición de paso bajo, la respuesta del sistema puede describirse mediante una de una familia de formas de onda sinusoidales ; en este caso, el sistema se caracterizaría por una función de descripción de entrada sinusoidal (SIDF) dar respuesta del sistema a una entrada que consta de una onda sinusoidal de amplitud A y frecuencia . Este SIDF es una modificación de la función de transferencia. utilizado para caracterizar sistemas lineales. En un sistema cuasi-lineal, cuando la entrada es una onda sinusoidal, la salida será una onda sinusoidal de la misma frecuencia pero con una amplitud escalada y una fase desplazada dada por. Muchos sistemas son aproximadamente cuasi-lineales en el sentido de que, aunque la respuesta a una onda sinusoidal no es una onda sinusoidal pura, la mayor parte de la energía en la salida es de hecho a la misma frecuencia.como entrada. Esto se debe a que dichos sistemas pueden poseer características intrínsecas de paso bajo o paso de banda , de modo que los armónicos se atenúan naturalmente, o porque se agregan filtros externos para este propósito. Una aplicación importante de la técnica SIDF es estimar la amplitud de oscilación en osciladores electrónicos sinusoidales .
Otros tipos de funciones descriptivas que se han utilizado son los DF para entradas de nivel y para entradas de ruido gaussiano. Aunque no es una descripción completa del sistema, los DF a menudo son suficientes para responder preguntas específicas sobre control y estabilidad. Los métodos DF son los mejores para analizar sistemas con no linealidades relativamente débiles. Además, las funciones de descripción de entrada sinusoidal de orden superior (HOSIDF), describen la respuesta de una clase de sistemas no lineales en armónicos de la frecuencia de entrada de una entrada sinusoidal. Los HOSIDF son una extensión del SIDF para sistemas donde las no linealidades son significativas en la respuesta.
Advertencias
Aunque el método de función descriptiva puede producir resultados razonablemente precisos para una amplia clase de sistemas, puede fallar gravemente en otros. Por ejemplo, el método puede fallar si el sistema enfatiza armónicos más altos de la no linealidad. Tzypkin ha presentado estos ejemplos para sistemas bang-bang . [4] Un ejemplo bastante similar es un oscilador de circuito cerrado que consiste en un disparador Schmitt no inversor seguido de un integrador inversor que retroalimenta su salida a la entrada del disparador Schmitt. La salida del disparador Schmitt será una forma de onda cuadrada , mientras que la del integrador (que la sigue) tendrá una forma de onda triangular con picos que coinciden con las transiciones en la onda cuadrada. Cada una de estas dos etapas del oscilador retrasa la señal exactamente 90 grados (en relación con su entrada). Si se realizara un análisis DF en este circuito, la onda triangular en la entrada del disparador Schmitt sería reemplazada por su fundamental (onda sinusoidal), que al pasar a través del disparador causaría un cambio de fase de menos de 90 grados (porque la onda sinusoidal lo activaría antes de lo que lo hace la onda triangular), por lo que el sistema parecería no oscilar de la misma manera (simple). [5]
Además, en el caso de que se cumplan las condiciones para las conjeturas de Aizerman o Kalman , no hay soluciones periódicas describiendo el método de función, [6] [7] pero se conocen contraejemplos con atractores periódicos ocultos . Pueden construirse contraejemplos del método de función descriptiva para sistemas dinámicos discontinuos cuando un segmento en reposo destruye los ciclos límite previstos. [8] Por lo tanto, la aplicación del método de función descriptiva requiere una justificación adicional. [9] [10]
Referencias
- ^ Krylov, NM; N. Bogoliubov (1943). Introducción a la mecánica no lineal . Princeton, EE.UU .: Princeton Univ. Prensa. ISBN 0691079854. Archivado desde el original el 20 de junio de 2013.
- ^ Blaquiere, Austin (2 de diciembre de 2012). Análisis de sistemas no lineales . Ciencia de Elsevier. pag. 177. ISBN 978-0323151665.
- ^ Kochenburger, Ralph J. (enero de 1950). "Un método de respuesta de frecuencia para analizar y sintetizar servomecanismos de contactor". Trans. AIEE . Instituto Americano de Ingenieros Eléctricos. 69 (1): 270–284. doi : 10.1109 / t-aiee.1950.5060149 .
- ^ Tsypkin, Yakov Z. (1984). Sistemas de control de relés . Cambridge: Univ Press.
- ^ Boris Lurie; Paul Enright (2000). Control de retroalimentación clásica: con MATLAB . Prensa CRC. págs. 298–299. ISBN 978-0-8247-0370-7.
- ^ Leonov GA; Kuznetsov NV (2011). "Algoritmos para la búsqueda de oscilaciones ocultas en los problemas de Aizerman y Kalman" (PDF) . Matemáticas Doklady . 84 (1): 475–481. doi : 10.1134 / S1064562411040120 .,
- ^ "Conjeturas de Aizerman y Kalman y método descriptivo de la función" (PDF) .
- ^ Leonov GA; Kuznetsov NV (2018). "Sobre el problema de Keldysh de la supresión del aleteo". Actas de la conferencia AIP . 1959 : art. num. 020002. arXiv : 1803.06920 . doi : 10.1063 / 1.5034578 .
- ^ Bragin VO; Vagaitsev VI; Kuznetsov NV; Leonov GA (2011). "Algoritmos para encontrar oscilaciones ocultas en sistemas no lineales. Las conjeturas de Aizerman y Kalman y circuitos de Chua" (PDF) . Revista Internacional de Ciencias de la Computación y Sistemas . 50 (4): 511–543. doi : 10.1134 / S106423071104006X .
- ^ Leonov GA; Kuznetsov NV (2013). "Atractores ocultos en sistemas dinámicos. Desde oscilaciones ocultas en problemas de Hilbert-Kolmogorov, Aizerman y Kalman hasta atractores caóticos ocultos en circuitos de Chua" . Revista Internacional de Bifurcación y Caos . 23 (1): 1330002–219. Código bibliográfico : 2013IJBC ... 2330002L . doi : 10.1142 / S0218127413300024 .
Otras lecturas
- N. Krylov y N. Bogolyubov: Introducción a la mecánica no lineal , Princeton University Press, 1947
- A. Gelb y WE Vander Velde: Funciones descriptivas de entradas múltiples y diseño de sistemas no lineales , McGraw Hill, 1968.
- James K. Roberge, Amplificadores operacionales: teoría y práctica, capítulo 6: Sistemas no lineales , 1975; copia gratuita cortesía de MIT OpenCourseWare 6.010 (2013); ver también (1985) grabación de video de la conferencia de Roberge sobre la descripción de funciones
- PWJM Nuij, OH Bosgra, M. Steinbuch, Entrada sinusoidal de orden superior que describe funciones para el análisis de sistemas no lineales con respuestas armónicas, sistemas mecánicos y procesamiento de señales, 20 (8), 1883-1904, (2006)
enlaces externos
- Enciclopedia de ingeniería eléctrica: descripción de funciones