En los sistemas de control , el control de modo deslizante ( SMC ) es un método de control no lineal que altera la dinámica de un sistema no lineal mediante la aplicación de una señal de control discontinua (o más rigurosamente, una señal de control con valores establecidos) que obliga al sistema a "deslizarse". a lo largo de una sección transversal del comportamiento normal del sistema. El estado - retroalimentación ley de control no es una función continua de tiempo. En cambio, puede cambiar de una estructura continua a otra en función de la posición actual en el espacio de estado. Por lo tanto, el control de modo deslizante es un control de estructura variable.método. Las múltiples estructuras de control están diseñadas para que las trayectorias siempre se muevan hacia una región adyacente con una estructura de control diferente, por lo que la trayectoria final no existirá por completo dentro de una estructura de control. En cambio, se deslizará a lo largo de los límites de las estructuras de control. El movimiento del sistema a medida que se desliza a lo largo de estos límites se denomina modo de deslizamiento [1] y el lugar geométrico que consta de los límites se denomina (hiper) superficie deslizante . En el contexto de la teoría de control moderna, cualquier sistema de estructura variable , como un sistema bajo SMC, puede verse como un caso especial de un sistema dinámico híbrido, ya que el sistema fluye a través de un espacio de estado continuo pero también se mueve a través de diferentes modos de control discretos.
Introducción
La Figura 1 muestra un ejemplo de trayectoria de un sistema bajo control de modo deslizante. La superficie de deslizamiento se describe mediante, y el modo de deslizamiento a lo largo de la superficie comienza después del tiempo finito en que las trayectorias del sistema han alcanzado la superficie. En la descripción teórica de los modos de deslizamiento, el sistema permanece confinado a la superficie de deslizamiento y solo necesita ser visto como deslizándose a lo largo de la superficie. Sin embargo, las implementaciones reales del control de modo deslizante se aproximan a este comportamiento teórico con una señal de control de conmutación de alta frecuencia y generalmente no determinista que hace que el sistema "vibre" en una vecindad estrecha de la superficie deslizante. El parloteo se puede reducir mediante el uso de bandas muertas o capas límite alrededor de la superficie de deslizamiento u otros métodos compensatorios. Aunque el sistema no es lineal en general, el comportamiento idealizado (es decir, sin parloteo) del sistema en la Figura 1 cuando se limita a laSurface es un sistema LTI con un origen exponencialmente estable .
Intuitivamente, el control del modo deslizante utiliza una ganancia prácticamente infinita para forzar las trayectorias de un sistema dinámico a deslizarse a lo largo del subespacio del modo deslizante restringido. Las trayectorias de este modo de deslizamiento de orden reducido tienen propiedades deseables (por ejemplo, el sistema se desliza naturalmente a lo largo de él hasta que se detiene en un equilibrio deseado ). La principal fortaleza del control de modo deslizante es su robustez . Debido a que el control puede ser tan simple como un cambio entre dos estados (por ejemplo, "encendido" / "apagado" o "adelante" / "retroceso"), no es necesario que sea preciso y no será sensible a las variaciones de parámetros que entran en el canal de control. Además, debido a que la ley de control no es una función continua , el modo deslizante se puede alcanzar en un tiempo finito (es decir, mejor que el comportamiento asintótico). Bajo ciertas condiciones comunes, la optimalidad requiere el uso de control bang-bang ; por tanto, el control de modo deslizante describe el controlador óptimo para un amplio conjunto de sistemas dinámicos.
Una aplicación del controlador de modo deslizante es el control de accionamientos eléctricos operados por convertidores de potencia de conmutación. [2] : "Introducción" Debido al modo de funcionamiento discontinuo de esos convertidores, un controlador de modo deslizante discontinuo es una opción de implementación natural sobre los controladores continuos que pueden necesitar ser aplicados por medio de modulación por ancho de pulso o una técnica similar [nb 1 ] de aplicar una señal continua a una salida que sólo puede tomar estados discretos. El control de modo deslizante tiene muchas aplicaciones en robótica. En particular, este algoritmo de control se ha utilizado para rastrear el control de embarcaciones de superficie no tripuladas en mares agitados simulados con un alto grado de éxito. [3] [4]
El control de modo deslizante debe aplicarse con más cuidado que otras formas de control no lineal que tienen una acción de control más moderada. En particular, debido a que los actuadores tienen retrasos y otras imperfecciones, la acción de control del modo de deslizamiento duro puede provocar vibraciones, pérdida de energía, daños a la planta y excitación de dinámicas no modeladas. [5] : 554–556 Los métodos de diseño de control continuo no son tan susceptibles a estos problemas y pueden imitar los controladores de modo deslizante. [5] : 556–563
Esquema de control
Considere un sistema dinámico no lineal descrito por
|
dónde
es un vector de estado n- dimensional y
es un vector de entrada m -dimensional que se utilizará para la retroalimentación del estado . Las funciones y se asume que son continuos y lo suficientemente suaves para que el teorema de Picard-Lindelöf pueda usarse para garantizar esa solucióna la Ecuación ( 1 ) existe y es única .
Una tarea común es diseñar una ley de control de retroalimentación estatal. (es decir, un mapeo del estado actual en el tiempo t a la entrada) para estabilizar el sistema dinámico en la Ecuación ( 1 ) alrededor del origen . Es decir, según la ley de control, siempre que el sistema se inicie desde el origen, volverá a él. Por ejemplo, el componente del vector estatal puede representar la diferencia entre una salida y una señal conocida (por ejemplo, una señal sinusoidal deseable); si el control puede asegurar que vuelve rápidamente a , entonces la salida rastreará la sinusoide deseada. En el control de modo deslizante, el diseñador sabe que el sistema se comporta de manera deseable (por ejemplo, tiene un equilibrio estable ) siempre que esté restringido a un subespacio de su espacio de configuración . El control del modo deslizante fuerza las trayectorias del sistema hacia este subespacio y luego las mantiene allí para que se deslicen a lo largo de él. Este subespacio de orden reducido se conoce como una (hiper) superficie deslizante , y cuando la retroalimentación de circuito cerrado obliga a las trayectorias a deslizarse a lo largo de él, se denomina modo deslizante del sistema de circuito cerrado. Las trayectorias a lo largo de este subespacio se pueden comparar con las trayectorias a lo largo de los vectores propios (es decir, los modos) de los sistemas LTI ; sin embargo, el modo deslizante se refuerza al plegar el campo vectorial con realimentación de alta ganancia. Como una canica rodando por una grieta, las trayectorias se limitan al modo deslizante.
El esquema de control de modo deslizante implica
- Selección de una hipersuperficie o un colector (es decir, la superficie de deslizamiento) de modo que la trayectoria del sistema muestre un comportamiento deseable cuando se limita a este colector.
- Encontrar ganancias de retroalimentación para que la trayectoria del sistema se cruce y permanezca en el colector.
Debido a que las leyes de control del modo de deslizamiento no son continuas , tiene la capacidad de conducir trayectorias al modo de deslizamiento en un tiempo finito (es decir, la estabilidad de la superficie de deslizamiento es mejor que la asintótica). Sin embargo, una vez que las trayectorias alcanzan la superficie de deslizamiento, el sistema adquiere el carácter del modo de deslizamiento (por ejemplo, el origen solo puede tener estabilidad asintótica en esta superficie).
El diseñador de modo deslizante elige una función de conmutación que representa una especie de "distancia" que los estados están lejos de una superficie deslizante.
- Un estado que está fuera de esta superficie deslizante tiene .
- Un estado que se encuentra en esta superficie deslizante tiene .
La ley de control de modo deslizante cambia de un estado a otro según el signo de esta distancia. Entonces, el control del modo deslizante actúa como una presión rígida que siempre empuja en la dirección del modo deslizante donde. Deseablelas trayectorias se acercarán a la superficie de deslizamiento, y debido a que la ley de control no es continua (es decir, cambia de un estado a otro a medida que las trayectorias se mueven a través de esta superficie), la superficie se alcanza en un tiempo finito. Una vez que una trayectoria llega a la superficie, se deslizará a lo largo de ella y puede, por ejemplo, moverse hacia la superficie.origen. Entonces, la función de conmutación es como un mapa topográfico con un contorno de altura constante a lo largo del cual las trayectorias se ven obligadas a moverse.
La (hiper) superficie deslizante es de dimensión donde n es el número de estados eny m es el número de señales de entrada (es decir, señales de control) en. Para cada índice de control, hay un superficie de deslizamiento dada por
|
La parte vital del diseño de SMC es elegir una ley de control para que el modo de deslizamiento (es decir, esta superficie dada por ) existe y es accesible a lo largo de las trayectorias del sistema. El principio del control del modo de deslizamiento es restringir por la fuerza el sistema, mediante una estrategia de control adecuada, para permanecer en la superficie deslizante en la que el sistema exhibirá características deseables. Cuando el sistema está restringido por el control deslizante para permanecer en la superficie deslizante, la dinámica del sistema se rige por el sistema de orden reducido obtenido de la Ecuación ( 2 ).
Para forzar los estados del sistema satisfacer , uno debe:
- Asegúrese de que el sistema sea capaz de alcanzar de cualquier condición inicial
- Habiendo alcanzado , la acción de control es capaz de mantener el sistema en
Existencia de soluciones de circuito cerrado
Tenga en cuenta que debido a que la ley de control no es continua , ciertamente no es localmente Lipschitz continua , y por lo tanto la existencia y unicidad de soluciones para el sistema de circuito cerrado es no garantizados por el teorema de Picard-Lindelöf . Por tanto, las soluciones deben entenderse en el sentido de Filippov . [1] [6] En términos generales, el sistema de circuito cerrado resultante se mueve a lo largo dese aproxima por la dinámica suave sin embargo, este comportamiento fluido puede no ser realmente realizable. De manera similar, la modulación de ancho de pulso de alta velocidad o modulación delta-sigma produce salidas que solo asumen dos estados, pero la salida efectiva oscila a través de un rango de movimiento continuo. Estas complicaciones pueden evitarse mediante el uso de un método de diseño de control no lineal diferente que produzca un controlador continuo. En algunos casos, los diseños de control de modo deslizante pueden aproximarse a otros diseños de control continuo. [5]
Fundamento teórico
Los siguientes teoremas forman la base del control de estructura variable.
Teorema 1: Existencia de modo deslizante
Considere un candidato a la función de Lyapunov
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dónde es la norma euclidiana (es decir, es la distancia desde el colector deslizante donde ). Para el sistema dado por la ecuación ( 1 ) y la superficie de deslizamiento dada por la ecuación ( 2 ), una condición suficiente para la existencia de un modo de deslizamiento es que
en una vecindad de la superficie dada por.
En términos generales (es decir, para el caso de control escalar cuando), conseguir , la ley de control de retroalimentación es elegido para que y tienen signos opuestos. Es decir,
- hace negativo cuando es positivo.
- hace positivo cuando es negativo.
Tenga en cuenta que
y entonces la ley de control de retroalimentación tiene un impacto directo en .
Accesibilidad: obtención de colector deslizante en tiempo finito
Para asegurarse de que el modo deslizante se alcanza en tiempo finito, debe estar delimitado más fuertemente lejos de cero. Es decir, si desaparece demasiado rápido, la atracción hacia el modo deslizante solo será asintótica. Para asegurarse de que el modo deslizante se ingrese en un tiempo finito, [7]
dónde y son constantes.
Explicación por lema de comparación
Esta condición asegura que para la vecindad del modo deslizante ,
Entonces, para ,
que, por la regla de la cadena (es decir, con ), medio
dónde es la derivada superior derecha de y el simbolo denota proporcionalidad . Entonces, en comparación con la curva que está representado por la ecuación diferencial con condición inicial , debe ser el caso que para todo t . Además, porque, debe alcanzar en tiempo finito, lo que significa que V debe alcanzar(es decir, el sistema entra en modo deslizante) en un tiempo finito. [5] Porquees proporcional a la norma euclidiana de la función de conmutación , este resultado implica que la velocidad de aproximación al modo deslizante debe estar firmemente delimitada desde cero.
Consecuencias del control del modo deslizante
En el contexto del control del modo deslizante, esta condición significa que
dónde es la norma euclidiana . Para el caso de conmutación de función tiene un valor escalar, la condición suficiente se convierte en
- .
Tomando , la condición escalar suficiente se convierte en
que es equivalente a la condición de que
- .
Es decir, el sistema siempre debe moverse hacia la superficie de conmutación. y su velocidad hacia la superficie de conmutación debe tener un límite inferior distinto de cero. Así que aunque puede volverse cada vez más pequeño se acerca al superficie, debe estar siempre delimitado firmemente lejos de cero. Para garantizar esta condición, los controladores de modo deslizante son discontinuos a lo largo delcolector; que cambian de un valor distinto de cero a otro como trayectorias cruzan el colector.
Teorema 2: Región de atracción
Para el sistema dado por la ecuación ( 1 ) y la superficie de deslizamiento dada por la ecuación ( 2 ), el subespacio para el que La superficie es alcanzable está dada por
Es decir, cuando las condiciones iniciales provienen íntegramente de este espacio, el candidato a la función de Lyapunov es una función de Lyapunov y Las trayectorias seguramente se moverán hacia la superficie del modo deslizante donde . Además, si se satisfacen las condiciones de accesibilidad del teorema 1, el modo deslizante entrará en la región dondeestá más fuertemente acotado de cero en tiempo finito. Por lo tanto, el modo deslizante se alcanzará en un tiempo finito.
Teorema 3: Movimiento deslizante
Dejar
ser no singular . Es decir, el sistema tiene una especie de controlabilidad que asegura que siempre haya un control que pueda mover una trayectoria para acercarse al modo deslizante. Luego, una vez que el modo deslizantese logra, el sistema permanecerá en ese modo deslizante. A lo largo de trayectorias de modo deslizante, es constante, por lo que las trayectorias en modo deslizante se describen mediante la ecuación diferencial
- .
Si una - el equilibrio es estable con respecto a esta ecuación diferencial, entonces el sistema se deslizará a lo largo de la superficie del modo deslizante hacia el equilibrio.
La ley de control equivalente en el modo deslizante se puede encontrar resolviendo
para la ley de control equivalente . Es decir,
y entonces el control equivalente
Es decir, aunque el control real no es continuo , el cambio rápido a través del modo deslizante dondeobliga al sistema a actuar como si estuviera impulsado por este control continuo.
Asimismo, las trayectorias del sistema en el modo deslizante se comportan como si
El sistema resultante coincide con la ecuación diferencial del modo deslizante
, la superficie del modo deslizante , y las condiciones de trayectoria de la fase de alcance ahora se reducen a la condición más simple derivada anteriormente. Por tanto, se puede suponer que el sistema sigue el método más simplecondición después de algún transitorio inicial durante el período mientras el sistema encuentra el modo deslizante. El mismo movimiento se mantiene aproximadamente cuando la igualdad sólo se sostiene aproximadamente.
De estos teoremas se deduce que el movimiento de deslizamiento es invariante (es decir, insensible) a perturbaciones suficientemente pequeñas que ingresan al sistema a través del canal de control. Es decir, siempre que el control sea lo suficientemente grande para garantizar que y está delimitado uniformemente desde cero, el modo deslizante se mantendrá como si no hubiera ninguna perturbación. La propiedad de invariancia del control del modo deslizante para ciertas perturbaciones e incertidumbres del modelo es su característica más atractiva; es muy robusto .
Como se analiza en un ejemplo a continuación, una ley de control de modo deslizante puede mantener la restricción
para estabilizar asintóticamente cualquier sistema de la forma
Cuándo tiene un límite superior finito. En este caso, el modo deslizante es donde
(es decir, donde ). Es decir, cuando el sistema está restringido de esta manera, se comporta como un sistema lineal estable simple y, por lo tanto, tiene un equilibrio globalmente estable exponencialmente en el origen.
Ejemplos de diseño de control
- Considere una planta descrita por la ecuación ( 1 ) con una sola entrada u (es decir,). La función de conmutación se elige para ser la combinación lineal
|
- donde el peso para todos . La superficie de deslizamiento es el simplex donde . Cuando las trayectorias se ven obligadas a deslizarse a lo largo de esta superficie,
- y entonces
- que es un sistema de orden reducido (es decir, el nuevo sistema es de orden porque el sistema está limitado a este -Modo deslizante dimensional simplex). Esta superficie puede tener propiedades favorables (por ejemplo, cuando la dinámica de la planta se ve obligada a deslizarse a lo largo de esta superficie, se mueve hacia el origen ). Tomando la derivada de la función de Lyapunov en la ecuación ( 3 ), tenemos
- Para asegurar , la ley de control de retroalimentación debe ser elegido para que
- Por lo tanto, el producto porque es el producto de un número negativo y positivo. Tenga en cuenta que
|
- La ley de control es elegido para que
- dónde
- hay algún control (por ejemplo, posiblemente extremo, como "encendido" o "adelante") que asegura la Ecuación ( 5 ) (es decir,) es negativo en
- hay algún control (por ejemplo, posiblemente extremo, como "desactivado" o "inverso") que asegura la Ecuación ( 5 ) (es decir,) es positivo en
- La trayectoria resultante debe moverse hacia la superficie de deslizamiento donde . Debido a que los sistemas reales tienen retraso, las trayectorias del modo deslizante a menudo vibran hacia adelante y hacia atrás a lo largo de esta superficie deslizante (es decir, la trayectoria verdadera puede no seguir suavemente , pero siempre volverá al modo deslizante después de salir).
- Considere el sistema dinámico
- que se puede expresar en un espacio de estado bidimensional (con y ) como
- También asuma que (es decir, tiene un límite superior finito k que se conoce). Para este sistema, elija la función de conmutación
- Por el ejemplo anterior, debemos elegir la ley de control de retroalimentación así que eso . Aquí,
- Cuándo (es decir, cuando ), para hacer , la ley de control debe elegirse para que
- Cuándo (es decir, cuando ), para hacer , la ley de control debe elegirse para que
- Sin embargo, por la desigualdad del triángulo ,
- y por la suposición sobre ,
- Para que el sistema pueda estabilizarse por retroalimentación (para volver al modo deslizante) mediante la ley de control
- que se puede expresar en forma cerrada como
- Suponiendo que las trayectorias del sistema se ven obligadas a moverse de modo que , luego
- Entonces, una vez que el sistema alcanza el modo deslizante, la dinámica bidimensional del sistema se comporta como este sistema unidimensional, que tiene un equilibrio globalmente estable exponencialmente en .
Soluciones de diseño automatizadas
Aunque existen varias teorías para el diseño de sistemas de control de modo deslizante, existe una falta de una metodología de diseño altamente efectiva debido a las dificultades prácticas encontradas en los métodos analíticos y numéricos. Sin embargo, un paradigma de computación reutilizable, como un algoritmo genético , puede utilizarse para transformar un "problema irresoluble" de diseño óptimo en un "problema polinomial no determinista" prácticamente solucionable. Esto da como resultado diseños automatizados por computadora para el control de modelos deslizantes. [8]
Observador en modo deslizante
El control de modo deslizante se puede utilizar en el diseño de observadores estatales . Estos observadores no lineales de alta ganancia tienen la capacidad de llevar las coordenadas de la dinámica del error del estimador a cero en un tiempo finito. Además, los observadores de modo conmutado tienen una resistencia al ruido de medición atractiva que es similar a un filtro de Kalman . [9] [10] Para simplificar, el ejemplo aquí utiliza una modificación de modo deslizante tradicional de un observador Luenberger para un sistema LTI . En estos observadores en modo deslizante, el orden de la dinámica del observador se reduce en uno cuando el sistema entra en modo deslizante. En este ejemplo particular, el error del estimador para un solo estado estimado se lleva a cero en un tiempo finito, y después de ese tiempo los otros errores del estimador decaen exponencialmente a cero. Sin embargo, como lo describió por primera vez Drakunov, [11] se puede construir un observador de modo deslizante para sistemas no lineales que lleve el error de estimación para todos los estados estimados a cero en un tiempo finito (y arbitrariamente pequeño).
Aquí, considere el sistema LTI
donde el vector del estado , es un vector de entradas, y la salida y es un escalar igual al primer estado delvector de estado. Dejar
dónde
- es un escalar que representa la influencia del primer estado en sí mismo,
- es un vector de fila correspondiente a la influencia del primer estado en los otros estados,
- es una matriz que representa la influencia de los otros estados sobre sí mismos, y
- es un vector de columna que representa la influencia de los otros estados en el primer estado.
El objetivo es diseñar un observador de estado de alta ganancia que calcule el vector de estado usando solo información de la medición . Por lo tanto, dejemos que el vectorser las estimaciones de los n estados. El observador toma la forma
dónde es una función no lineal del error entre el estado estimado y la salida , y es un vector de ganancia del observador que tiene un propósito similar al del observador lineal típico de Luenberger . Del mismo modo, dejemos
dónde es un vector de columna. Además, dejeser el error del estimador de estado. Es decir,. La dinámica de error es entonces
dónde es el error del estimador para la primera estimación de estado. La ley de control no lineal v puede diseñarse para hacer cumplir el colector deslizante
entonces esa estimación rastrea el estado real después de un tiempo finito (es decir, ). Por lo tanto, la función de conmutación de control de modo deslizante
Para alcanzar el colector deslizante, y siempre debe tener signos opuestos (es decir, para esencialmente todos). Sin emabargo,
dónde es la colección de los errores del estimador para todos los estados no medidos. Para asegurar eso, dejar
dónde
Es decir, la constante positiva M debe ser mayor que una versión escalada de los errores máximos posibles del estimador para el sistema (es decir, los errores iniciales, que se supone que están acotados para que M pueda seleccionarse lo suficientemente grande; al). Si M es suficientemente grande, se puede suponer que el sistema logra (es decir, ). Porque es constante (es decir, 0) a lo largo de esta variedad, también. Por tanto, el control discontinuo puede ser reemplazado con el control continuo equivalente dónde
Entonces
Este control equivalente representa la contribución del otro estados a la trayectoria del estado de salida . En particular, la fila actúa como un vector de salida para el subsistema de error
Entonces, para asegurar el error del estimador para los estados no medidos converge a cero, el vector debe ser elegido de modo que el matriz es Hurwitz (es decir, la parte real de cada uno de sus valores propios debe ser negativa). Por tanto, siempre que sea observable , esteEl sistema se puede estabilizar exactamente de la misma manera que un observador de estado lineal típico cuandose ve como la matriz de salida (es decir, " C "). Eso es elEl control equivalente proporciona información de medición sobre los estados no medidos que pueden acercar continuamente sus estimaciones asintóticamente a ellos. Mientras tanto, el control discontinuoobliga a la estimación del estado medido a tener un error cero en un tiempo finito. Además, el ruido blanco de medición simétrica de media cero (p. Ej., Ruido gaussiano ) solo afecta la frecuencia de conmutación del control v y, por lo tanto, el ruido tendrá poco efecto en el control del modo deslizante equivalente.. Por lo tanto, el observador de modo deslizante tiene características similares al filtro de Kalman . [10]
La versión final del observador es así
dónde
- y
Es decir, aumentando el vector de control con la función de conmutación , el observador de modo deslizante se puede implementar como un sistema LTI. Es decir, la señal discontinuase ve como una entrada de control al sistema LTI de 2 entradas.
Para simplificar, este ejemplo asume que el observador en modo deslizante tiene acceso a una medición de un solo estado (es decir, salida ). Sin embargo, se puede utilizar un procedimiento similar para diseñar un observador en modo deslizante para un vector de combinaciones ponderadas de estados (es decir, cuando la salidautiliza una matriz genérica C ). En cada caso, el modo deslizante será el colector donde la salida estimada sigue la salida medida con error cero (es decir, el colector donde ).
Ver también
- Control de estructura variable
- Sistema de estructura variable
- Sistema híbrido
- Control no lineal
- Control robusto
- Control optimo
- Control bang-bang: el control de modo deslizante se implementa a menudo como un control bang-bang. En algunos casos, dicho control es necesario para la optimización .
- Puente en H : una topología que combina cuatro interruptores que forman las cuatro patas de una "H". Se puede usar para impulsar un motor (u otro dispositivo eléctrico) hacia adelante o hacia atrás cuando solo hay una fuente disponible. Se utiliza a menudo en actuadores en sistemas controlados de modo deslizante.
- Amplificador de conmutación : utiliza control de modo de conmutación para impulsar salidas continuas
- Modulación delta-sigma : otro método (de retroalimentación) para codificar un rango continuo de valores en una señal que cambia rápidamente entre dos estados (es decir, una especie de control de modo deslizante especializado)
- Modulación por densidad de pulsos : una forma generalizada de modulación delta-sigma.
- Modulación por ancho de pulso : otro esquema de modulación que produce un movimiento continuo mediante la conmutación discontinua.
Notas
- ^ Otras técnicas de modulación de tipo pulso incluyen la modulación delta-sigma .
Referencias
- ^ a b Zinober, ASI , ed. (1990). Control determinista de sistemas inciertos . Londres: Peter Peregrinus Press. ISBN 978-0-86341-170-0.
- ^ Utkin, Vadim I. (1993). "Principios de diseño de control de modo deslizante y aplicaciones a accionamientos eléctricos". Transacciones IEEE sobre electrónica industrial . 40 (1): 23–36. CiteSeerX 10.1.1.477.77 . doi : 10.1109 / 41.184818 .
- ^ "Navegación autónoma y evitación de obstáculos de embarcaciones no tripuladas en estados de mar agitado simulados - Universidad de Villanova"
- ^ Mahini; et al. (2013). "Una configuración experimental para la operación autónoma de buques de superficie en mares agitados". Robotica . 31 (5): 703–715. doi : 10.1017 / s0263574712000720 .
- ^ a b c d Khalil, HK (2002). Sistemas no lineales (3ª ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall . ISBN 978-0-13-067389-3.
- ^ Filippov, AF (1988). Ecuaciones diferenciales con lados derechos discontinuos . Kluwer. ISBN 978-90-277-2699-5.
- ^ Perruquetti, W .; Barbot, JP (2002). Control de modo deslizante en ingeniería . Marcel Dekker Tapa dura. ISBN 978-0-8247-0671-5.
- ^ Li, Yun; et al. (1996). "Enfoque automático de algoritmo genético para el diseño de sistemas de control de modo deslizante" . Revista Internacional de Control . 64 (3): 721–739. CiteSeerX 10.1.1.43.1654 . doi : 10.1080 / 00207179608921865 .
- ^ Utkin, Vadim; Guldner, Jürgen; Shi, Jingxin (1999). Control de modo deslizante en sistemas electromecánicos . Filadelfia, PA: Taylor & Francis, Inc. ISBN 978-0-7484-0116-1.
- ^ a b Drakunov, SV (1983). "Un filtro cuasioptimal adaptativo con parámetros discontinuos". Automatización y Telemando . 44 (9): 1167-1175.
- ^ Drakunov, SV (1992). "Observadores de modo deslizante basados en un método de control equivalente" . [1992] Actas de la 31ª Conferencia del IEEE sobre Decisión y Control . Actas de la 31ª Conferencia IEEE sobre Decisión y Control (CDC) . págs. 2368-2370 . doi : 10.1109 / CDC.1992.371368 . ISBN 978-0-7803-0872-5. S2CID 120072463 .
- Utkin, VI (1992). Modos deslizantes en control y optimización . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-53516-6.
- Edwards, C .; Spurgeon, S. (1998). Control de modo deslizante: teoría y aplicaciones . Londres: Taylor y Francis. ISBN 978-0-7484-0601-2.
- Shtessel, Y .; Edwards, C .; Fridman, L .; Levante, A. (2014). Control y observación del modo deslizante . Basilea: Birkhauser. ISBN 978-0-81764-8923.
- Fridman, L .; Moreno, J .; Bandyopadhyay, B .; Kamal Asif Chalanga, S .; Chalanga, S. (2020). Algoritmos anidados continuos: la quinta generación de controladores de modo deslizante. En: Avances recientes en modos deslizantes:. A partir de Control Inteligente a la mecatrónica, X. Yu, O. Efe (Eds.), Pp 5-35, . Estudios en Sistemas, Decisión y Control. 24 . Londres: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-3-319-18290-2_2 . ISBN 978-3-319-18289-6.
Otras lecturas
- Drakunov SV, Utkin VI. (1992). "Control de modo deslizante en sistemas dinámicos". Revista Internacional de Control . 55 (4): 1029–1037. doi : 10.1080 / 00207179208934270 . hdl : 10338.dmlcz / 135339 .
- Zinober, Alan SI, ed. (1994). Estructura variable y control de Lyapunov . Apuntes de clases en Ciencias de la Información y Control. 193 . Londres: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / BFb0033675 . ISBN 978-3-540-19869-7.
- Steinberger, M .; Horn, M .; Fridman, L., eds. (2020). Sistemas de estructura variable y control de modo deslizante . Estudios en Sistemas, Decisión y Control. 271 . Londres: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / BFb0033675 . ISBN 978-3-030-36620-9.