En la teoría de la bifurcación , una oscilación limitada que nace sin pérdida de estabilidad del conjunto estacionario se denomina oscilación oculta . En la teoría de control no lineal , el nacimiento de una oscilación oculta en un sistema de control invariante en el tiempo con estados acotados significa cruzar una frontera, en el dominio de los parámetros, donde la estabilidad local de los estados estacionarios implica estabilidad global (ver, por ejemplo, la conjetura de Kalman ) . Si una oscilación oculta (o un conjunto de tales oscilaciones ocultas que llenan un subconjunto compacto del espacio de fase del sistema dinámico ) atrae todas las oscilaciones cercanas, entonces se denomina atractor oculto . Parasistema dinámico con un punto de equilibrio único que es globalmente atractivo, el nacimiento de un atractor oculto corresponde a un cambio cualitativo en el comportamiento de la monoestabilidad a la biestabilidad. En el caso general, un sistema dinámico puede resultar multiestable y tener atractores locales coexistentes en el espacio de fase. Si bien los atractores triviales, es decir, los puntos de equilibrio estables , se pueden encontrar fácilmente analítica o numéricamente, la búsqueda de atractores periódicos y caóticos puede convertirse en un problema desafiante (ver, por ejemplo, la segunda parte del problema número 16 de Hilbert ).
Para identificar un atractor local en un experimento físico o numérico, es necesario elegir el estado de un sistema inicial en la cuenca de atracción del atractor y observar cómo el estado del sistema, a partir de este estado inicial, después de un proceso transitorio visualiza el atractor. La clasificación de los atractores como ocultos o autoexcitados refleja las dificultades de revelar cuencas de atracción y buscar los atractores locales en el espacio de fase .
Definición . [1] [2] [3] Un atractor se llama atractor oculto si su cuenca de atracción no se cruza con una cierta vecindad abierta de puntos de equilibrio; de lo contrario, se denomina atractor autoexcitado.
La clasificación de los atractores como ocultos o autoexcitados fue introducida por G. Leonov y N. Kuznetsov en relación con el descubrimiento del atractor Chua oculto [4] [5] [6] [7] por primera vez en 2009 años . De manera similar, una oscilación limitada arbitraria, que no necesariamente tiene una vecindad abierta como cuenca de atracción en el espacio de fase, se clasifica como una oscilación autoexcitada u oculta.
Atractores autoexcitados
Para un atractor autoexcitado, su cuenca de atracción está conectada con un equilibrio inestable y, por lo tanto, los atractores autoexcitados se pueden encontrar numéricamente mediante un procedimiento computacional estándar en el que después de un proceso transitorio, una trayectoria, que comienza en una vecindad de un equilibrio inestable, es atraído por el estado de oscilación y luego lo rastrea (ver, por ejemplo, proceso de auto-oscilación ). Así, los atractores autoexcitados, incluso coexistiendo en el caso de multiestabilidad , pueden ser fácilmente revelados y visualizados numéricamente. En el sistema de Lorenz , para los parámetros clásicos, el atractor está autoexcitado con respecto a todos los equilibrios existentes y puede ser visualizado por cualquier trayectoria desde sus alrededores; sin embargo, para algunos otros valores de parámetros hay dos atractores triviales que coexisten con un atractor caótico que es autoexcitado solo con respecto al equilibrio cero. Los atractores clásicos en los sistemas dinámicos de Van der Pol , Beluosov – Zhabotinsky , Rössler , Chua , Hénon son autoexcitados.
Una conjetura es que la dimensión de Lyapunov de un atractor autoexcitado no excede la dimensión de Lyapunov de uno de los equilibrios inestables, cuya variedad inestable se cruza con la cuenca de atracción y visualiza el atractor. [8]
Atractores ocultos
Los atractores ocultos tienen cuencas de atracción, que no están conectadas con los equilibrios y están "escondidas" en algún lugar del espacio de fase. Por ejemplo, los atractores ocultos son atractores en los sistemas sin equilibrios: por ejemplo, sistemas dinámicos electromecánicos rotativos con efecto Sommerfeld (1902), en los sistemas con un solo equilibrio, que es estable: por ejemplo, contraejemplos a la conjetura de Aizerman (1949) y la conjetura de Kalman (1957) sobre la monoestabilidad de los sistemas de control no lineales. Uno de los primeros problemas teóricos relacionados es la segunda parte del problema número 16 de Hilbert sobre el número y la disposición mutua de ciclos límite en sistemas polinomiales bidimensionales donde los ciclos límite estables anidados son atractores periódicos ocultos. La noción de atractor oculto se ha convertido en un catalizador para el descubrimiento de atractores ocultos en muchos modelos dinámicos aplicados. [1] [9] [10]
En general, el problema con los atractores ocultos es que no existen métodos generales sencillos para rastrear o predecir tales estados para la dinámica del sistema (ver, por ejemplo, [11] ). Mientras que para los sistemas bidimensionales las oscilaciones ocultas se pueden investigar utilizando métodos analíticos (ver, por ejemplo, los resultados de la segunda parte del problema 16 de Hilbert ), para el estudio de la estabilidad y las oscilaciones en sistemas multidimensionales no lineales complejos se utilizan a menudo métodos numéricos. En el caso multidimensional, es poco probable que la integración de trayectorias con datos iniciales aleatorios proporcione una localización de un atractor oculto, ya que una cuenca de atracción puede ser muy pequeña y la dimensión del atractor en sí misma puede ser mucho menor que la dimensión del sistema considerado. Por lo tanto, para la localización numérica de atractores ocultos en el espacio multidimensional es necesario desarrollar procedimientos computacionales analítico-numéricos especiales, [1] [12] [8] que permitan elegir datos iniciales en el dominio de atracción de oscilación oculta ( que no contiene vecindarios de equilibrios) y luego realizar el cálculo de la trayectoria. Existen métodos efectivos correspondientes basados en la homotopía y la continuación numérica : se construye una secuencia de sistemas similares, de modo que para el primer sistema (inicial) los datos iniciales para el cálculo numérico de la solución oscilante (oscilación inicial) se pueden obtener analíticamente, y luego la La transformación de esta oscilación inicial en la transición de un sistema a otro se sigue numéricamente.
La clasificación de los atractores como autoexistentes u ocultos fue una premisa fundamental para el surgimiento de la teoría de las oscilaciones ocultas, que representa el desarrollo moderno de la teoría de las oscilaciones de Andronov. Es clave para determinar los límites exactos de la estabilidad global, partes de las cuales son clasificadas por N. Kuznetsov como triviales (es decir, determinadas por bifurcaciones locales) o como ocultas (es decir, determinadas por bifurcaciones no locales y por el nacimiento de ocultos oscilaciones). [13] [14]
Referencias
- ^ a b c Leonov GA; Kuznetsov NV (2013). "Atractores ocultos en sistemas dinámicos. Desde oscilaciones ocultas en problemas de Hilbert-Kolmogorov, Aizerman y Kalman hasta atractores caóticos ocultos en circuitos de Chua" . Revista Internacional de Bifurcación y Caos en Ciencias Aplicadas e Ingeniería . 23 (1): 1330002–219. Código Bibliográfico : 2013IJBC ... 2330002L . doi : 10.1142 / S0218127413300024 .
- ^ Bragin VO; Vagaitsev VI; Kuznetsov NV; Leonov GA (2011). "Algoritmos para encontrar oscilaciones ocultas en sistemas no lineales. Las conjeturas de Aizerman y Kalman y circuitos de Chua" (PDF) . Revista Internacional de Ciencias de la Computación y Sistemas . 50 (5): 511–543. doi : 10.1134 / S106423071104006X . S2CID 21657305 .
- ^ Leonov, GA; Kuznetsov, NV; Mokaev, TN (2015). "Órbitas homoclínicas y atractores autoexcitados y ocultos en un sistema similar a Lorenz que describe el movimiento del fluido convectivo". Temas especiales de la revista European Physical Journal . 224 (8): 1421-1458. arXiv : 1505.04729 . doi : 10.1140 / epjst / e2015-02470-3 . S2CID 119227870 .
- ^ Kuznetsov NV; Leonov GA; Vagaitsev VI (2010). "Método analítico-numérico para la localización de atractores del sistema de Chua generalizado". Volúmenes de las actas de la IFAC . 43 (11): 29–33. doi : 10.3182 / 20100826-3-TR-4016.00009 .
- ^ Leonov GA; Vagaitsev VI; Kuznetsov NV (2011). "Localización de atractores ocultos de Chua" (PDF) . Letras de física . 375 (23): 2230–2233. Código bibliográfico : 2011PhLA..375.2230L . doi : 10.1016 / j.physleta.2011.04.037 .
- ^ Leonov GA; Vagaitsev VI; Kuznetsov NV (2012). "Atractor oculto en sistemas Chua lisos" (PDF) . Physica D . 241 (18): 1482–1486. Código bibliográfico : 2012PhyD..241.1482L . doi : 10.1016 / j.physd.2012.05.016 .
- ^ a b Kuznetsov, NV; Leonov, GA; Mokaev, TN; Prasad, A .; Shrimali, MD (2018). "Dimensión de Lyapunov de tiempo finito y atractor oculto del sistema Rabinovich". Dinámica no lineal . 92 (2): 267–285. arXiv : 1504.04723 . doi : 10.1007 / s11071-018-4054-z . S2CID 54706479 .
- ^ Kuznetsov NV; Leonov GA (2014). "Atractores ocultos en sistemas dinámicos: sistemas sin equilibrios, multiestabilidad y atractores coexistentes". Volúmenes de Actas de la IFAC (Actas del Congreso Mundial de la IFAC) . 47 (3): 5445–5454. doi : 10.3182 / 20140824-6-ZA-1003.02501 .
- ^ Kuznetsov, NV; Leonov, GA; Yuldashev, MV; Yuldashev, RV (2017). "Atractores ocultos en modelos dinámicos de circuitos de bucle bloqueado en fase: limitaciones de la simulación en MATLAB y SPICE" . Comunicaciones en ciencia no lineal y simulación numérica . 51 : 39–49. Código bibliográfico : 2017CNSNS..51 ... 39K . doi : 10.1016 / j.cnsns.2017.03.010 .
- ^ Chen, G .; Kuznetsov, NV; Leonov, GA; Mokaev, TN (2015). "Atractores ocultos en un camino: sistemas Glukhovsky-Dolzhansky, Lorenz y Rabinovich". Revista Internacional de Bifurcación y Caos en Ciencias Aplicadas e Ingeniería . 27 (8): art. num. 1750115. arXiv : 1705.06183 . doi : 10.1142 / S0218127417501152 . S2CID 21425647 .
- ^ Kuznetsov NV (2020). "Teoría de oscilaciones ocultas y estabilidad de los sistemas de control" (PDF) . Revista Internacional de Ciencias de la Computación y Sistemas . 59 (5): 647–668. doi : 10.1134 / S1064230720050093 .
- ^ Kuznetsov, NV; Mokaev, TN; Kuznetsova, OA; Kudryashova, EV (2020). "El sistema de Lorenz: límite oculto de la estabilidad práctica y la dimensión de Lyapunov" . Dinámica no lineal . 102 (2): 713–732. doi : 10.1007 / s11071-020-05856-4 .
Libros
- Sistemas caóticos con multiestabilidad y atractores ocultos (Eds .: Wang, Kuznetsov, Chen), Springer, 2021 ( doi: 10.1007 / 978-3-030-75821-9 )
- Sistemas dinámicos no lineales con atractores ocultos y autoexcitados (Eds .: Pham, Vaidyanathan, Volos et al.), Springer, 2018 ( doi: 10.1007 / 978-3-319-71243-7 )
enlaces externos
- Atractores ocultos en sistemas dinámicos: sistemas sin equilibrios, multiestabilidad y coexistencia de atractores. Problemas fundamentales (problema de Hilbert 16t, conjeturas de Aizerman y Kalman) y modelos de ingeniería (PLL, sistemas de control de aeronaves, sistemas de perforación, circuitos Chua)