En geometría , un rodillo desarrollable es un sólido convexo cuya superficie consiste en una sola cara continua desarrollable . [1] [2] Mientras ruedan sobre un plano , la mayoría de los rodillos desarrollables desarrollan toda su superficie de modo que todos los puntos de la superficie tocan el plano de rodadura. Todos los rodillos desarrollables tienen superficies regladas . Hasta la fecha se han descrito cuatro familias de rodillos desarrollables: los polisferéricos primarios, [3] los cascos convexos de los dos rodillos de disco (cascos convexos TDR), [4] los polígonos [5] [1] y los Platonicons. [2] [6]
Construcción
Cada familia de rodillos desarrollables se basa en un principio de construcción diferente. Los polisfericones primarios son una subfamilia de la familia de los polisfericones . [7] Se basan en cuerpos hechos mediante la rotación de polígonos regulares alrededor de una de sus diagonales más largas . Estos cuerpos se cortan en dos en su plano de simetría y las dos mitades se vuelven a unir después de girar en un ángulo de compensación entre sí. [5] Todos los polisferéricos primos tienen dos aristas formadas por uno o más arcos circulares y cuatro vértices. Todos ellos, pero el esfericón , tienen superficies que constan de un tipo de cónica de superficie y uno, o más, cónicos o cilíndricos troncocónicas superficies. [1] Los rodillos de dos discos están hechos de dos sectores simétricos circulares o elípticos congruentes . Los sectores están unidos entre sí de manera que los planos en los que se encuentran son perpendiculares entre sí y sus ejes de simetría coinciden. [4] Los cascos convexos de estas estructuras constituyen los miembros de la familia de cascos convexos TDR. Todos los miembros de esta familia tienen dos aristas (los dos arcos circulares o elípticos ). Pueden tener 4 vértices , como en el esfericón (que también es un miembro de esta familia) o ninguno, como en el oloide . Al igual que los polisferéricos principales, los polígonos se basan en polígonos regulares, pero constan de piezas idénticas de un solo tipo de cono sin partes truncadas. El cono se crea girando dos bordes adyacentes de un polígono regular (y en la mayoría de los casos también sus extensiones) alrededor del eje de simetría del polígono que pasa por su vértice común. Un policón basado en un n -gon (un polígono con n aristas) tiene n aristas y n + 2 vértices. El esférico, que también es miembro de esta familia, tiene bordes circulares. Los bordes del hexacón son parabólicos . Todos los demás bordes de los polígonos son hiperbólicos . [1] Como los polígonos, los Platonicons están hechos de un solo tipo de superficie cónica. Su particularidad es que cada uno de ellos circunscribe uno de los cinco sólidos platónicos . A diferencia de las otras familias, esta familia no es infinita. Se han descubierto 14 platónicos hasta la fecha. [2]
Movimiento de balanceo
A diferencia de los cuerpos simétricos axialmente que, si no están restringidos, pueden realizar un movimiento de rodadura lineal (como la esfera o el cilindro) o circular ( como el cono ), los rodillos desarrollables serpentean mientras ruedan. [1] Su movimiento es lineal solo en promedio. En el caso de los polígonos y platónicos, así como de algunos de los polisferéricos principales, la trayectoria de su centro de masa consiste en arcos circulares. En el caso de los polisferéricos primarios que tienen superficies que contienen partes cilíndricas, la trayectoria es una combinación de arcos circulares y líneas rectas. Aún no se ha obtenido una expresión general para la forma de la trayectoria del centro de masa de los cascos convexos del TDR. [4] Para mantener un movimiento de balanceo suave, el centro de masa de un cuerpo rodante debe mantener una altura constante. Todos los polisferéricos, polígonos y platonicones principales y algunos de los cascos convexos del TDR comparten esta propiedad. [1] [3] Algunos de los cascos convexos del TDR, como el oloide, no poseen esta propiedad. Para que un casco convexo TDR mantenga una altura constante, se debe cumplir lo siguiente:
Donde a y b son los ejes medio menor y mayor de los arcos elípticos, respectivamente, yc es la distancia entre sus centros. [4] Por ejemplo, en el caso de que la estructura esquelética del casco convexo TDR consista en dos segmentos circulares con radio r , para que el centro de masa se mantenga a una altura constante, la distancia entre los centros de los sectores debe ser igual ar . [8]
Referencias
- ↑ a b c d e f Hirsch, David (2020). "Los Polycons: El Sphericon (o Tetracon) ha encontrado su familia" . Revista de Matemáticas y Artes . 14 (4): 345–359. arXiv : 1901.10677 . doi : 10.1080 / 17513472.2020.1711651 . S2CID 119152692 .
- ^ a b c Seaton, KA "Platonicons: Los sólidos platónicos comienzan a rodar" . Publicación de teselaciones.
- ^ a b "Polisferéricos" . h-its.org . Instituto de Estudios Teóricos de Heidelberg.
- ^ a b c d Ucke, Christian. "El rodillo de dos discos: una combinación de física, arte y matemáticas" (PDF) . Ucke.de .
- ^ a b "Polycons" . h-it.de . Instituto de Estudios Teóricos de Heidelberg.
- ^ "Platonicons" . 2020.bridgesmathart.org . La organización de puentes.
- ^ Emmer, Michele (2005). La mente visual II . La prensa del MIT. pag. 668-669. ISBN 0-262-05076-5.
- ^ Stewart, AT (1966). "Rodillo de dos círculos" . Revista estadounidense de física . 34 (2): 166-167. doi : 10.1119 / 1.1972824 .
enlaces externos
* Serie Sphericon Una lista de los primeros miembros de la familia polysphericon y una discusión sobre sus diversos tipos.