Laminación

El balanceo es un tipo de movimiento que combina la rotación (comúnmente, de un objeto axialmente simétrico ) y la traslación de ese objeto con respecto a una superficie (ya sea uno u otro se mueve), de modo que, si existen condiciones ideales, los dos están en contacto. entre sí sin deslizarse .

La animación ilustra el movimiento de rodadura de una rueda como una superposición de dos movimientos: traslación con respecto a la superficie y rotación alrededor de su propio eje.

Rodar donde no hay deslizamiento se conoce como rodar puro . Por definición, no hay deslizamiento cuando existe un marco de referencia en el que todos los puntos de contacto del objeto rodante tienen la misma velocidad que sus contrapartes en la superficie sobre la que rueda el objeto; en particular, para un marco de referencia en el que el plano rodante está en reposo (ver animación), la velocidad instantánea de todos los puntos de contacto (por ejemplo, un segmento de línea de generación de un cilindro) del objeto rodante es cero.

En la práctica, debido a pequeñas deformaciones cerca del área de contacto, se produce cierto deslizamiento y disipación de energía. Sin embargo, la resistencia a la rodadura resultante es mucho menor que la fricción por deslizamiento y, por lo tanto, los objetos que ruedan normalmente requieren mucha menos energía para moverse que los que se deslizan. Como resultado, tales objetos se moverán más fácilmente si experimentan una fuerza con un componente a lo largo de la superficie, por ejemplo, la gravedad en una superficie inclinada, el viento, el empuje, la tracción o el par de un motor. A diferencia de los objetos cilíndricos axialmente simétricos, el movimiento de balanceo de un cono es tal que mientras rueda sobre una superficie plana, su centro de gravedad realiza un movimiento circular , en lugar de un movimiento lineal . Los objetos rodantes no son necesariamente simétricos axialmente. Dos rodillos simétricos no axialmente conocidos son el triángulo de Reuleaux y los cuerpos de Meissner . El oloide y el esférico son miembros de una familia especial de rodillos desarrollables que desarrollan toda su superficie al rodar por un plano. Los objetos con esquinas, como los dados , ruedan mediante sucesivas rotaciones sobre el borde o esquina que está en contacto con la superficie. La construcción de una superficie específica permite que incluso una rueda cuadrada perfecta ruede con su centroide a una altura constante sobre un plano de referencia.

Aplicaciones

La mayoría de los vehículos terrestres usan ruedas y, por lo tanto, ruedan para desplazarse. El deslizamiento debe mantenerse al mínimo (aproximándose a un balanceo puro); de lo contrario, podría producirse una pérdida de control y un accidente. Esto puede suceder cuando la carretera está cubierta de nieve, arena o aceite, al girar a alta velocidad o al intentar frenar o acelerar repentinamente.

Una de las aplicaciones más prácticas de los objetos rodantes es el uso de rodamientos de elementos rodantes , como rodamientos de bolas , en dispositivos giratorios. Hechos de metal, los elementos rodantes suelen estar encajados entre dos anillos que pueden girar independientemente uno del otro. En la mayoría de los mecanismos, el anillo interior está unido a un eje (o eje) estacionario. Por lo tanto, mientras el anillo interior está estacionario, el anillo exterior puede moverse libremente con muy poca fricción . Esta es la base de la que dependen casi todos los motores (como los que se encuentran en los ventiladores de techo, automóviles, taladros, etc.) para funcionar. La cantidad de fricción en las piezas del mecanismo depende de la calidad de los rodamientos de bolas y de la cantidad de lubricación que haya en el mecanismo.

Los objetos rodantes también se utilizan con frecuencia como herramientas de transporte . Una de las formas más básicas es colocar un objeto (generalmente plano) sobre una serie de rodillos o ruedas alineados . El objeto en las ruedas se puede mover a lo largo de ellas en línea recta, siempre que las ruedas se reemplacen continuamente en la parte delantera (ver historial de rodamientos ). Este método de transporte primitivo es eficaz cuando no se dispone de otra maquinaria. Hoy en día, la aplicación más práctica de objetos sobre ruedas son los automóviles , trenes y otros vehículos de transporte humano.

Física del balanceo simple

Las velocidades de los puntos de un objeto rodante son iguales a las de rotación alrededor del punto de contacto.

El caso más simple de rodar es el de rodar sin deslizarse a lo largo de una superficie plana con su eje paralelo a la superficie (o equivalentemente: perpendicular a la superficie normal ).

La trayectoria de cualquier punto es una trocoide ; en particular, la trayectoria de cualquier punto en el eje del objeto es una línea, mientras que la trayectoria de cualquier punto en el borde del objeto es una cicloide .

La velocidad de cualquier punto del objeto rodante viene dada por ${\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }$, dónde ${\displaystyle \mathbf {r} }$es el desplazamiento entre la partícula y el punto de contacto (o línea) del objeto rodante con la superficie, y${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$es el vector de velocidad angular . Por lo tanto, a pesar de que el rodar es diferente de la rotación alrededor de un eje fijo , la velocidad instantánea de todas las partículas del objeto rodante es la misma que si estuviera girando alrededor de un eje que pasa por el punto de contacto con la misma velocidad angular.

Cualquier punto en el objeto rodante más alejado del eje que el punto de contacto se moverá temporalmente en dirección opuesta a la dirección del movimiento general cuando esté por debajo del nivel de la superficie rodante (por ejemplo, cualquier punto en la parte de la brida de un rueda del tren que está debajo del riel).

Energía

Dado que la energía cinética es completamente una función de la masa y la velocidad de un objeto, el resultado anterior se puede usar con el teorema del eje paralelo para obtener la energía cinética asociada con el rodar simple.

${\displaystyle K_{\text{rolling}}=K_{\text{translation}}+K_{\text{rotation}}}$

Derivación Dejar ${\displaystyle r}$ser la distancia entre el centro de masa y el punto de contacto; cuando la superficie es plana, este es el radio del objeto alrededor de su sección transversal más ancha. Dado que el centro de masa tiene una velocidad inmediata como si estuviera girando alrededor del punto de contacto, su velocidad es${\displaystyle v_{\text{c.o.m.}}=r\omega }$. Debido a la simetría, el centro de masa del objeto es un punto en su eje. Dejar${\displaystyle I_{\text{rotation}}}$ser inercia de rotación pura alrededor del eje de simetría, entonces, de acuerdo con el teorema del eje paralelo, la inercia de rotación asociada con el balanceo es${\displaystyle I_{\text{rolling}}=mr^{2}+I_{\text{rotation}}}$(lo mismo que la inercia rotacional de la rotación pura alrededor del punto de contacto). Usando la fórmula general para la energía cinética de rotación, tenemos: ${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\text{rolling}}&={\frac {1}{2}}I_{\text{rolling}}\omega ^{2}\\&={\frac {1}{2}}mr^{2}\omega ^{2}+{\frac {1}{2}}I_{\text{rotation}}\omega ^{2}\\&={\frac {1}{2}}m(r\omega )^{2}+{\frac {1}{2}}I_{\text{rotation}}\omega ^{2}\\&={\frac {1}{2}}mv_{\text{c.o.m.}}^{2}+{\frac {1}{2}}I_{\text{rotation}}\omega ^{2}\\&=K_{\text{translation}}+K_{\text{rotation}}\\\end{aligned}}}$

Fuerzas y aceleración

Diferenciar la relación entre velocidad lineal y angular ,${\displaystyle v_{\text{c.o.m.}}=r\omega }$, con respecto al tiempo da una fórmula que relaciona la aceleración lineal y angular ${\displaystyle a=r\alpha }$. Aplicando la segunda ley de Newton :

${\displaystyle a={\frac {F_{\text{net}}}{m}}=r\alpha ={\frac {r\tau }{I}}.}$

De ello se deduce que para acelerar el objeto, se requieren tanto una fuerza neta como un par . Cuando una fuerza externa sin torque actúa sobre el sistema objeto-superficie rodante, habrá una fuerza tangencial en el punto de contacto entre la superficie y el objeto rodante que proporciona el torque requerido siempre que el movimiento sea puramente rodante; esta fuerza suele ser la fricción estática , por ejemplo, entre la carretera y una rueda o entre una pista de bolos y una bola de bolos. Cuando la fricción estática no es suficiente, la fricción se convierte en fricción dinámica y se produce un deslizamiento. La fuerza tangencial es opuesta en dirección a la fuerza externa y, por lo tanto, la cancela parcialmente. La fuerza neta y la aceleración resultantes son:

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\text{net}}&={\frac {F_{\text{external}}}{1+{\frac {I}{mr^{2}}}}}={\frac {F_{\text{external}}}{1+\left({\frac {r_{\text{gyr.}}}{r}}\right)^{2}}}\\a&={\frac {F_{\text{external}}}{m+{\frac {I}{r^{2}}}}}\end{aligned}}}$

Derivación Suponga que el objeto experimenta una fuerza externa ${\displaystyle F_{\text{external}}}$que no ejerce par (tiene brazo de momento 0 ), fricción estática en el punto de contacto (${\displaystyle F_{\text{friction}}}$) proporciona el par y las otras fuerzas involucradas se cancelan. ${\displaystyle F_{\text{friction}}}$ es tangencial al objeto y la superficie en el punto de contacto y opuesta en la dirección a ${\displaystyle F_{\text{external}}}$. Usando la convención de signos por la cual esta fuerza es positiva, la fuerza neta es: ${\displaystyle F_{\text{net}}=F_{\text{external}}-F_{\text{friction}}}$ ${\displaystyle (1)}$ Porque no hay resbalón ${\displaystyle r\alpha =a}$sostiene. Sustituyendo${\displaystyle \alpha }$ y ${\displaystyle a}$para la versión lineal y rotacional de la segunda ley de Newton , luego resolviendo para${\displaystyle F_{\text{friction}}}$: ${\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {\tau }{I}}&={\frac {F_{\text{net}}}{m}}\\r{\frac {rF_{\text{friction}}}{I}}&={\frac {F_{\text{net}}}{m}}\\F_{\text{friction}}&={\frac {IF_{\text{net}}}{mr^{2}}}\\\end{aligned}}}$ En expansión ${\displaystyle F_{\text{friction}}}$ en ${\displaystyle (1)}$: ${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\text{net}}&=F_{\text{external}}-{\frac {IF_{\text{net}}}{mr^{2}}}\\&=F_{\text{external}}-{\frac {I}{mr^{2}}}F_{\text{net}}\\&={\frac {F_{\text{external}}}{1+{\frac {I}{mr^{2}}}}}\\\end{aligned}}}$ La última igualdad es la primera fórmula para ${\displaystyle F_{\text{net}}}$; usándolo junto con la segunda ley de Newton, luego reduciendo , la fórmula para${\displaystyle a}$ es obtenido: ${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {F_{\text{net}}}{m}}\\&={\frac {\left({\frac {F_{\text{external}}}{1+{\frac {I}{mr^{2}}}}}\right)}{m}}\\&={\frac {F_{\text{external}}}{m\left(1+{\frac {I}{mr^{2}}}\right)}}\\&={\frac {F_{\text{external}}}{m+{\frac {I}{r^{2}}}}}\\\end{aligned}}}$ El radio de giro se puede incorporar en la primera fórmula para${\displaystyle F_{\text{net}}}$ como sigue: ${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\text{gyr.}}&={\sqrt {\frac {I}{m}}}\\r_{\text{gyr.}}^{2}&={\frac {I}{m}}\\{\frac {I}{mr^{2}}}&={\frac {\left({\frac {I}{m}}\right)}{r^{2}}}\\&={\frac {r_{\text{gyr.}}^{2}}{r^{2}}}\\&=\left({\frac {r_{\text{gyr.}}}{r}}\right)^{2}\\\end{aligned}}}$ Sustituyendo la última igualdad anterior en la primera fórmula para ${\displaystyle F_{\text{net}}}$ la segunda fórmula para ello: ${\displaystyle F_{\text{net}}={\frac {F_{\text{external}}}{1+\left({\frac {r_{\text{gyr.}}}{r}}\right)^{2}}}}$

${\displaystyle {\tfrac {I}{r^{2}}}}$ tiene dimensión de masa, y es la masa la que tendría una inercia rotacional ${\displaystyle I}$ a distancia ${\displaystyle r}$desde un eje de rotación. Por lo tanto, el término${\displaystyle {\tfrac {I}{r^{2}}}}$puede pensarse como la masa con inercia lineal equivalente a la inercia rotacional del objeto rodante (alrededor de su centro de masa). La acción de la fuerza externa sobre un objeto en rotación simple puede conceptualizarse como una aceleración de la suma de la masa real y la masa virtual que representa la inercia rotacional, que es${\displaystyle m+{\tfrac {I}{r^{2}}}}$. Dado que el trabajo realizado por la fuerza externa se divide entre superar la inercia traslacional y rotacional, la fuerza externa da como resultado una fuerza neta más pequeña por el factor multiplicativo adimensional${\displaystyle 1/\left(1+{\tfrac {I}{mr^{2}}}\right)}$ dónde ${\displaystyle {\tfrac {I}{mr^{2}}}}$ representa la relación entre la masa virtual mencionada y la masa real del objeto y es igual a ${\displaystyle \left({\tfrac {r_{\text{gyr.}}}{r}}\right)^{2}}$ dónde ${\displaystyle r_{\text{gyr.}}}$es el radio de giro correspondiente a la inercia rotacional del objeto en rotación pura (no la inercia rotacional en rotación pura). El cuadrado de la potencia se debe al hecho de que la inercia rotacional de una masa puntual varía proporcionalmente al cuadrado de su distancia al eje.

"> Reproducir medios

Cuatro objetos en puro rodar corriendo por un avión sin aire. De atrás hacia adelante: concha esférica (rojo), esfera sólida (naranja), anillo cilíndrico (verde) y cilindro sólido (azul). El tiempo para llegar a la línea de llegada es completamente una función de la distribución de masa del objeto, la pendiente y la aceleración gravitacional. Ver detalles , versión GIF animada .