En matemáticas , una integral abeliana , llamada así por el matemático noruego Niels Henrik Abel , es una integral en el plano complejo de la forma
dónde es una función racional arbitraria de las dos variables y , que están relacionados por la ecuación
dónde es un polinomio irreducible en,
cuyos coeficientes , son funciones racionales de. El valor de una integral abeliana depende no sólo de los límites de integración, sino también del camino por el que se toma la integral; es, pues, una función multivalor de.
Las integrales abelianas son generalizaciones naturales de integrales elípticas , que surgen cuando
dónde es un polinomio de grado 3 o 4. Otro caso especial de una integral abeliana es una integral hiperelíptica , donde, en la fórmula anterior, es un polinomio de grado mayor que 4.
Historia
La teoría de las integrales abelianas se originó con un artículo de Abel [1] publicado en 1841. Este artículo fue escrito durante su estancia en París en 1826 y presentado a Augustin-Louis Cauchy en octubre del mismo año. Esta teoría, desarrollada más tarde por otros, [2] fue uno de los logros más importantes de las matemáticas del siglo XIX y ha tenido un gran impacto en el desarrollo de las matemáticas modernas. En un lenguaje más abstracto y geométrico, está contenido en el concepto de variedad abeliana , o más precisamente en la forma en que una curva algebraica puede mapearse en variedades abelianas. La integral Abeliana estaba conectado posteriormente a la prominente matemático David Hilbert 's 16a problema y sigue siendo considerado uno de los principales retos para la contemporánea análisis matemático .
Vista moderna
En la teoría de superficies de Riemann , una integral abeliana es una función relacionada con la integral indefinida de un diferencial del primer tipo . Supongamos que se nos da una superficie de Riemanny sobre él una forma diferencial 1 que es holomórfico en todas partesy fijar un punto en , desde el cual integrarse. Podemos considerar
como una función de varios valores , o (mejor) una función honesta del camino elegido dibujado en de a . Desdeen general, se conectarán de forma múltiple , se debe especificar, pero el valor de hecho sólo dependerá de la clase de homología de.
En el caso de una superficie de Riemann compacta del género 1, es decir, una curva elíptica , tales funciones son las integrales elípticas . Por tanto, hablando lógicamente, una integral abeliana debería ser una función como.
Tales funciones se introdujeron por primera vez para estudiar integrales hiperelípticas , es decir, para el caso en quees una curva hiperelíptica . Este es un paso natural en la teoría de la integración para el caso de integrales que involucran funciones algebraicas. , dónde es un polinomio de grado. Abel dio las primeras ideas importantes de la teoría; Posteriormente se formuló en términos de la variedad jacobiana. . Elección deda lugar a una función holomórfica estándar
de variedades complejas . Tiene la propiedad definitoria de que las formas 1 holomórficas en, De los cuales hay g los independientes si g es el género de la S , desmontaje posterior a una base de las diferencias de la primera clase en S .
Notas
- ^ Abel 1841 .
- ^ Appell y Goursat 1895 , p. 248.
Referencias
- Abel, Niels H. (1841). "Mémoire sur une propriété générale d'une classe très étendue de fonctions trascendantes" . Mémoires présentés par divers savants à l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France (en francés). París. págs. 176–264.
- Appell, Paul ; Goursat, Édouard (1895). Théorie des fonctions algébriques et de leurs intégrales (en francés). París: Gauthier-Villars.
- Felicidad, Gilbert A. (1933). Funciones algebraicas . Providencia: Sociedad Matemática Estadounidense .
- Forsyth, Andrew R. (1893). Teoría de funciones de una variable compleja . Providencia: Cambridge University Press .
- Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1978). Principios de geometría algebraica . Nueva York: John Wiley & Sons .
- Neumann, Carl (1884). Theorie der Abel'schen Integrale de Vorlesungen über Riemann (2ª ed.). Leipzig: BG Teubner .