La dilatación (generalmente representada por ⊕ ) es una de las operaciones básicas en morfología matemática . Desarrollado originalmente para imágenes binarias , se ha expandido primero a imágenes en escala de grises y luego a celosías completas . La operación de dilatación suele utilizar un elemento estructurador para sondear y expandir las formas contenidas en la imagen de entrada.
Dilatación binaria
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/8/8d/Dilation.png/220px-Dilation.png)
En morfología binaria, la dilatación es un operador invariante de desplazamiento ( invariante de traducción ), equivalente a la adición de Minkowski .
Una imagen binaria se ve en morfología matemática como un subconjunto de un espacio euclidiano R d o la cuadrícula entera Z d , para alguna dimensión d . Sea E un espacio euclidiano o una cuadrícula entera, A una imagen binaria en E y B un elemento estructurante considerado como un subconjunto de R d .
La dilatación de A por B está definida por
donde A b es la traslación de A por b .
La dilatación es conmutativa, también dada por .
Si B tiene un centro en el origen, entonces la dilatación de A por B puede ser entendido como el lugar geométrico de los puntos cubiertos por B cuando el centro de B se mueve dentro de A . La dilatación de un cuadrado de tamaño 10, centrado en el origen, por un disco de radio 2, también centrado en el origen, es un cuadrado de lado 14, con esquinas redondeadas, centrado en el origen. El radio de las esquinas redondeadas es 2.
La dilatación también se puede obtener mediante , donde B s denota la simétrica de B , es decir,.
Ejemplo
Suponga que A es la siguiente matriz de 11 x 11 y B es la siguiente matriz de 3 x 3:
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Para cada píxel en A que tenga un valor de 1, superponga B, con el centro de B alineado con el píxel correspondiente en A.
Cada píxel de cada B superpuesto se incluye en la dilatación de A por B.
La dilatación de A por B viene dada por esta matriz de 11 x 11.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0
Propiedades de la dilatación binaria
Estas son algunas propiedades del operador de dilatación binaria
- Es invariante en la traducción .
- Está aumentando , es decir, si, luego .
- Es conmutativo .
- Si el origen de E pertenece al elemento estructurante B , entonces es extenso , es decir,.
- Es asociativo , es decir,.
- Es distributiva sobre la unión del conjunto.
Dilatación en escala de grises
En morfología en escala de grises , las imágenes son funciones que mapean un espacio euclidiano o cuadrícula E en, dónde es el conjunto de reales , es un elemento mayor que cualquier número real, y es un elemento menor que cualquier número real.
Los elementos de estructuración en escala de grises también son funciones del mismo formato, llamadas "funciones de estructuración".
Denotando una imagen por f ( x ) y la función de estructuración por b ( x ), la dilatación en escala de grises de f por b está dada por
donde "sup" denota el supremo .
Funciones de estructuración planas
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/7/70/Grayscale_Morphological_Dilation.gif/220px-Grayscale_Morphological_Dilation.gif)
Es común utilizar elementos estructurantes planos en aplicaciones morfológicas. Las funciones de estructuración planas son funciones b ( x ) en la forma
dónde .
En este caso, la dilatación se simplifica enormemente y está dada por
(Supongamos que x = ( px , qx ), z = ( pz , qz ), entonces x - z = ( px - pz , qx - qz )).
En el caso discreto y acotado ( E es una cuadrícula y B está acotado), el operador superior puede ser reemplazado por el máximo . Por lo tanto, la dilatación es un caso particular de filtros de estadísticas de orden , que devuelven el valor máximo dentro de una ventana móvil (el soporte simétrico de la función de estructuración B ).
Dilatación en celosías completas
Las celosías completas son conjuntos parcialmente ordenados , donde cada subconjunto tiene un mínimo y un supremo . En particular, contiene un elemento mínimo y un elemento mayor (también denominado "universo").
Dejar ser una celosía completa, con infimum y supremum simbolizados por y , respectivamente. Su universo y elemento mínimo están simbolizados por U y, respectivamente. Además, dejaser una colección de elementos de L .
Una dilatación es cualquier operador que distribuye sobre el supremo y conserva el mínimo elemento. Es decir, lo siguiente es cierto:
Ver también
Bibliografía
- Análisis de imágenes y morfología matemática por Jean Serra, ISBN 0-12-637240-3 (1982)
- Análisis de imágenes y morfología matemática, Volumen 2: Avances teóricos de Jean Serra, ISBN 0-12-637241-1 (1988)
- Una introducción al procesamiento de imágenes morfológicas por Edward R. Dougherty, ISBN 0-8194-0845-X (1992)