En matemáticas , el teorema de la dimensión para espacios vectoriales establece que todas las bases de un espacio vectorial tienen la misma cantidad de elementos. Este número de elementos puede ser finito o infinito (en este último caso, es un número cardinal ), y define la dimensión del espacio vectorial.
Formalmente, el teorema de la dimensión para espacios vectoriales establece que
- Dado un espacio vectorial V , dos bases cualesquiera tienen la misma cardinalidad .
Como la base es un conjunto generador que es linealmente independiente , el teorema es una consecuencia del siguiente teorema, que también es útil:
- En un espacio vectorial V , si G es un grupo electrógeno, y I es un conjunto linealmente independientes, entonces la cardinalidad de I no es mayor que la cardinalidad de G .
En particular, si V se genera de forma finita , entonces todas sus bases son finitas y tienen el mismo número de elementos.
Si bien la prueba de la existencia de una base para cualquier espacio vectorial en el caso general requiere el lema de Zorn y de hecho es equivalente al axioma de elección , la unicidad de la cardinalidad de la base requiere solo el lema del ultrafiltro , [1] que es estrictamente más débil (la prueba que se da a continuación, sin embargo, asume tricotomía , es decir, que todos los números cardinales son comparables, un enunciado que también es equivalente al axioma de elección). El teorema se puede generalizar a módulos R arbitrarios para anillos R que tienen un número base invariante .
En el caso de generación finita, la demostración usa solo argumentos elementales de álgebra y no requiere el axioma de elección ni sus variantes más débiles.
Prueba
Sea V un espacio vectorial, { a i : i ∈ I } sea un conjunto de elementos de V linealmente independientes y { b j : j ∈ J } sea un conjunto generador . Uno tiene que probar que la cardinalidad de que no es más grande que el de J .
Si J es finito, esto resulta del lema de intercambio de Steinitz . (De hecho, el lema de intercambio de Steinitz implica que cada subconjunto finito de I tiene una cardinalidad no mayor que la de J , por lo tanto, I es finito con una cardinalidad no mayor que la de J ). Si J es finito, también es posible una demostración basada en la teoría de matrices. . [2]
Suponga que J es infinito. Si soy finito, no hay nada que probar. Por tanto, podemos suponer que yo también es infinito. Supongamos que la cardinalidad de I es mayor que el de J . [nota 1] Tenemos que demostrar que esto conduce a una contradicción.
Según el lema de Zorn , todo conjunto linealmente independiente está contenido en un conjunto máximo K linealmente independiente . Esta máxima implica que K abarca V y, por lo tanto, es una base (la máxima implica que cada elemento de V es linealmente dependiente de los elementos de K y, por lo tanto, es una combinación lineal de elementos de K ). Como la cardinalidad de K es mayor o igual que la cardinalidad de I , se puede reemplazar { a i : i ∈ I } con K , es decir, se puede suponer, sin pérdida de generalidad, que { a i : i ∈ I } es una base.
Por tanto, cada b j se puede escribir como una suma finita
dónde es un subconjunto finito de Como J es infinito,tiene la misma cardinalidad que J . [nota 1] Por lo tantotiene cardinalidad menor que el de Me . Entonces hay algunos que no aparece en ninguna . El correspondiente se puede expresar como una combinación lineal finita de s, que a su vez se puede expresar como una combinación lineal finita de s, sin involucrar . Por eso es linealmente dependiente del otro s, que proporciona la contradicción deseada.
Teorema de extensión del kernel para espacios vectoriales
Esta aplicación del teorema de la dimensión a veces se denomina teorema de la dimensión . Dejar
- T : U → V
ser una transformación lineal . Luego
- dim ( rango ( T )) + dim ( kernel ( T )) = dim ( U ),
es decir, la dimensión de U es igual a la dimensión del rango de la transformación más la dimensión del kernel . Consulte el teorema de rango-nulidad para una discusión más completa.