Los campos de pendiente (también llamados campos de dirección [1] ) son una representación gráfica de las soluciones a una ecuación diferencial de primer orden [2] de una función escalar. Las soluciones de un campo de pendiente son funciones dibujadas como curvas sólidas. Un campo de pendiente muestra la pendiente de una ecuación diferencial en ciertos intervalos verticales y horizontales en el plano xy, y se puede utilizar para determinar la pendiente tangente aproximada en un punto de una curva, donde la curva es una solución a la ecuación diferencial.
Definición
Caso estándar
El campo de pendiente se puede definir para el siguiente tipo de ecuaciones diferenciales
- ,
que se puede interpretar geométricamente como dar la pendiente de la tangente a la gráfica de la solución de la ecuación diferencial ( curva integral ) en cada punto ( x , y ) como una función de las coordenadas del punto. [3]
Puede verse como una forma creativa de graficar una función de valor real de dos variables reales como una imagen plana. Específicamente, para un par dado, un vector con los componentes se dibuja en el punto sobre el -avión. A veces, el vectorse normaliza para que la trama se vea mejor para un ojo humano. Un conjunto de pares hacer una cuadrícula rectangular se usa típicamente para el dibujo.
A menudo se utiliza una isoclina (una serie de líneas con la misma pendiente) para complementar el campo de pendiente. En una ecuación de la forma, la isoclina es una línea en el -plano obtenido configurando igual a una constante.
Caso general de un sistema de ecuaciones diferenciales
Dado un sistema de ecuaciones diferenciales,
el campo de pendiente es una matriz de marcas de pendiente en el espacio de fase (en cualquier número de dimensiones dependiendo del número de variables relevantes; por ejemplo, dos en el caso de una EDO lineal de primer orden , como se ve a la derecha). Cada marca de pendiente está centrada en un punto y es paralelo al vector
- .
El número, la posición y la longitud de las marcas de pendiente pueden ser arbitrarios. Las posiciones se eligen generalmente de modo que los puntoshaz una cuadrícula uniforme. El caso estándar, descrito anteriormente, representa. El caso general del campo de pendiente para sistemas de ecuaciones diferenciales no es fácil de visualizar para.
Aplicacion General
Con las computadoras, los campos de pendientes complicados se pueden hacer rápidamente sin tedio, por lo que una aplicación práctica reciente es usarlos simplemente para tener una idea de lo que debería ser una solución antes de buscar una solución general explícita. Por supuesto, las computadoras también pueden resolver uno, si existe.
Si no hay una solución general explícita, las computadoras pueden usar campos de pendiente (incluso si no se muestran) para encontrar soluciones gráficas numéricamente. Ejemplos de tales rutinas son el método de Euler , o mejor, los métodos de Runge-Kutta .
Software para trazar campos de pendientes
Diferentes paquetes de software pueden trazar campos de pendientes.
Código de campo de dirección en GNU Octave / MATLAB
funn = @ ( x , y ) y - x ; % función f (x, y) = yx [ x , y ] = cuadrícula de malla ( - 5 : 0.5 : 5 ); intervalos de% para xey pendientes = funn ( x , y ); % matriz de valores de pendiente dy = pendientes ./ sqrt ( 1 + pendientes . ^ 2 ); % normalizar el elemento de línea ... dx = unidades ( longitud ( dy )) ./ sqrt ( 1 + pendientes . ^ 2 ); % ... magnitudes para dy y dx h = carcaj ( x , y , dx , dy , 0.5 ); % trazar el campo de dirección set ( h , "maxheadsize" , 0.1 ); % alterar el tamaño de la cabeza
Código de ejemplo para Maxima
/ * campo para y '= xy (haga clic en un punto para obtener una curva integral) * /plotdf (x * y, [x, -2,2], [y, -2,2]);
Código de ejemplo para Mathematica
(* campo para y '= xy *)VectorPlot [{ 1 , x * y }, { x , -2 , 2 }, { y , -2 , 2 }]
Código de ejemplo para SageMath [4]
var ('x, y')campo_de_plancha_parcela (x * y, (x, -2,2), (y, -2,2))
Ejemplos de
Campo de pendiente
Curvas integrales
Isoclinas (azul), campo de pendiente (negro) y algunas curvas solución (rojo)
Ver también
Referencias
- ^ Boyce, William (2001). Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de valores en la frontera (7 ed.). Wiley. pag. 3. ISBN 9780471319993.
- ^ Vladimir A. Dobrushkin (2014). Ecuaciones diferenciales aplicadas: el curso primario . Prensa CRC. pag. 13. ISBN 978-1-4987-2835-5.
- ^ Andrei D. Polyanin; Alexander V. Manzhirov (2006). Manual de Matemáticas para Ingenieros y Científicos . Prensa CRC. pag. 453. ISBN 978-1-58488-502-3.
- ^ https://doc.sagemath.org/html/en/reference/plotting/sage/plot/plot_field.html
- Blanchard, Paul; Devaney, Robert L .; y Hall, Glen R. (2002). Ecuaciones diferenciales (2ª ed.). Brooks / Cole: Thompson Learning. ISBN 0-534-38514-1