En matemáticas , en el área de la teoría analítica de números , la función eta de Dirichlet está definida por la siguiente serie de Dirichlet , que converge para cualquier número complejo que tenga una parte real> 0:
Esta serie de Dirichlet es la suma alterna correspondiente a la expansión de la serie de Dirichlet de la función zeta de Riemann , ζ (s), y por esta razón la función eta de Dirichlet también se conoce como función zeta alterna , también denotada como ζ * (s). Se cumple la siguiente relación:
Tanto la función eta de Dirichlet como la función zeta de Riemann son casos especiales de polilogaritmo .
Si bien la expansión de la serie de Dirichlet para la función eta es convergente solo para cualquier número complejo s con parte real> 0, es sumable en Abel para cualquier número complejo. Esto sirve para definir la función eta como una función completa (y la relación anterior muestra que la función zeta es meromórfica con un polo simple en s = 1, y quizás polos en los otros ceros del factor).
De manera equivalente, podemos comenzar por definir
que también se define en la región de la parte real positiva (representa la función Gamma ). Esto da la función eta como una transformada de Mellin .
Hardy dio una prueba simple de la ecuación funcional para la función eta, que es
A partir de esto, se tiene inmediatamente también la ecuación funcional de la función zeta, así como otro medio para extender la definición de eta a todo el plano complejo.
Ceros
Los ceros de la función eta incluyen todos los ceros de la función zeta: los enteros pares negativos (ceros simples equidistantes reales); los ceros a lo largo de la línea crítica, ninguno de los cuales se sabe que sea múltiple y más del 40% de los cuales ha demostrado ser simple, y los ceros hipotéticos en la franja crítica pero no en la línea crítica, que si existen, deben ocurrir en los vértices de rectángulos simétricos alrededor del eje x y la línea crítica y cuya multiplicidad se desconoce. [ cita requerida ] Además, el factor agrega un número infinito de ceros simples complejos, ubicados en puntos equidistantes de la línea , a donde n es cualquier número entero distinto de cero.
Bajo la hipótesis de Riemann , los ceros de la función eta se ubicarían simétricamente con respecto al eje real en dos rectas paralelas, y en la semirrecta perpendicular formada por el eje real negativo.
Problema de Landau con ζ ( s ) = η ( s ) / 0 y soluciones
En la ecuación η ( s ) = (1−2 1− s ) ζ ( s ), "el polo de ζ ( s ) en s = 1 es cancelado por el cero del otro factor" (Titchmarsh, 1986, p. 17), y como resultado η (1) no es ni infinito ni cero (ver § Valores particulares ). Sin embargo, en la ecuación
η debe ser cero en todos los puntos, donde el denominador es cero, si la función zeta de Riemann es analítica y finita allí. El problema de probar esto sin definir primero la función zeta fue señalado y dejado abierto por E. Landau en su tratado de 1909 sobre teoría de números: "Si la serie eta es diferente de cero o no en los puntos, es decir, si estos son polos de zeta o no, no es evidente aquí ".
Una primera solución al problema de Landau fue publicada casi 40 años después por DV Widder en su libro The Laplace Transform. Utiliza el siguiente primo 3 en lugar de 2 para definir una serie de Dirichlet similar a la función eta, a la que llamaremos función, definida para y con algunos ceros también en , pero no iguales a los de eta.
Si es real y estrictamente positiva, la serie converge ya que los términos reagrupados se alternan en signo y disminuyen en valor absoluto a cero. De acuerdo con un teorema sobre la convergencia uniforme de las series de Dirichlet probado por primera vez por Cahen en 1894, el la función es entonces analítica para , una región que incluye la línea . Ahora podemos definir correctamente, donde los denominadores no son cero,
o
Desde es irracional, los denominadores en las dos definiciones no son cero al mismo tiempo excepto por , y el La función está, pues, bien definida y analítica para excepto en . Finalmente obtenemos indirectamente que Cuándo :
Un elemental directo y -prueba independiente de la desaparición de la función eta en fue publicado por J. Sondow en 2003. Expresa el valor de la función eta como el límite de sumas especiales de Riemann asociadas a una integral conocida como cero, usando una relación entre las sumas parciales de la serie de Dirichlet que definen las funciones eta y zeta por .
Con un poco de álgebra simple realizada en sumas finitas, podemos escribir para cualquier complejo s
Ahora si y , el factor multiplicando es cero, y
donde Rn ( f ( x ), a , b ) denota una suma de Riemann especial que se aproxima a la integral de f ( x ) sobre [ a , b ]. Para t = 0, es decir, s = 1, obtenemos
De lo contrario, si , luego , cuyos rendimientos
Asumiendo , para cada punto dónde , ahora podemos definir por continuidad de la siguiente manera,
La aparente singularidad de zeta en ahora se elimina, y se ha demostrado que la función zeta es analítica en todas partes en , excepto en dónde
Representaciones integrales
A number of integral formulas involving the eta function can be listed. The first one follows from a change of variable of the integral representation of the Gamma function (Abel, 1823), giving a Mellin transform which can be expressed in different ways as a double integral (Sondow, 2005). This is valid for
The Cauchy–Schlömilch transformation (Amdeberhan, Moll et al., 2010) can be used to prove this other representation, valid for . Integration by parts of the first integral above in this section yields another derivation.
The next formula, due to Lindelöf (1905), is valid over the whole complex plane, when the principal value is taken for the logarithm implicit in the exponential.
This corresponds to a Jensen (1895) formula for the entire function , valid over the whole complex plane and also proven by Lindelöf.
"This formula, remarquable by its simplicity, can be proven easily with the help of Cauchy's theorem, so important for the summation of series" wrote Jensen (1895). Similarly by converting the integration paths to contour integrals one can obtain other formulas for the eta function, such as this generalisation (Milgram, 2013) valid for and all :
The zeros on the negative real axis are factored out cleanly by making (Milgram, 2013) to obtain a formula valid for :
Algoritmos numéricos
Most of the series acceleration techniques developed for alternating series can be profitably applied to the evaluation of the eta function. One particularly simple, yet reasonable method is to apply Euler's transformation of alternating series, to obtain
Note that the second, inside summation is a forward difference.
Borwein's method
Peter Borwein used approximations involving Chebyshev polynomials to produce a method for efficient evaluation of the eta function.[2] If
then
where for the error term γn is bounded by
The factor of in the error bound indicates that the Borwein series converges quite rapidly as n increases.
Valores particulares
- η(0) = 1⁄2, the Abel sum of Grandi's series 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·.
- η(−1) = 1⁄4, the Abel sum of 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·.
- For k an integer > 1, if Bk is the k-th Bernoulli number then
Also:
- , this is the alternating harmonic series
- OEIS: A072691
The general form for even positive integers is:
Taking the limit , one obtains .
Derivados
The derivative with respect to the parameter s is for
- .
Referencias
- ^ http://nbviewer.ipython.org/github/empet/Math/blob/master/DomainColoring.ipynb
- ^ Borwein, Peter (2000). "An efficient algorithm for the Riemann zeta function". In Théra, Michel A. (ed.). Constructive, Experimental, and Nonlinear Analysis (PDF). Conference Proceedings, Canadian Mathematical Society. 27. Providence, RI: American Mathematical Society, on behalf of the Canadian Mathematical Society. pp. 29–34. ISBN 978-0-8218-2167-1.
- Jensen, J. L. W. V. (1895). "Remarques relatives aux réponses de MM. Franel et Kluyver". L'Intermédiaire des Mathématiciens. II: 346].
- Lindelöf, Ernst (1905). Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions. Gauthier-Villars. p. 103.
- Widder, David Vernon (1946). The Laplace Transform. Princeton University Press. p. 230.
- Landau, Edmund, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Erster Band, Berlin, 1909, p. 160. (Second edition by Chelsea, New York, 1953, p. 160, 933)
- Titchmarsh, E. C. (1986). The Theory of the Riemann Zeta Function, Second revised (Heath-Brown) edition. Oxford University Press.
- Conrey, J. B. (1989). "More than two fifths of the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. 399: 1–26. doi:10.1515/crll.1989.399.1.
- Knopp, Konrad (1990) [1922]. Theory and Application of Infinite Series. Dover. ISBN 0-486-66165-2.
- Borwein, P., An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function, Constructive experimental and nonlinear analysis, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29–34.
- Sondow, Jonathan (2002). "Double integrals for Euler's constant and ln 4/π and an analog of Hadjicostas's formula". arXiv:math.CO/0211148. Amer. Math. Monthly 112 (2005) 61–65, formula 18.
- Sondow, Jonathan. "Zeros of the Alternating Zeta Function on the Line R(s)=1". arXiv:math/0209393. Amer. Math. Monthly, 110 (2003) 435–437.
- Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal (2003). "Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function" (PDF).
- Amdeberhan, T.; Glasser, M. L.; Jones, M. C; Moll, V. H.; Posey, R.; Varela, D. (2010). "The Cauchy–Schlomilch Transformation". arXiv:1004.2445. p. 12.
- Milgram, Michael S. (2012). "Integral and Series Representations of Riemann's Zeta Function, Dirichlet's Eta Function and a Medley of Related Results". Journal of Mathematics. 2013: 1–17. arXiv:1208.3429. doi:10.1155/2013/181724..