espacio de Dirichlet

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En matemáticas , el espacio de Dirichlet en el dominio (llamado así por Peter Gustav Lejeune Dirichlet ), es el núcleo reproductor del espacio de Hilbert de funciones holomorfas , contenido dentro del espacio de Hardy , para el cual la integral de Dirichlet , definida por${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} ,\,{\mathcal {D}}(\Omega )}$ ${\displaystyle H^{2}(\Omega)}$

es finito (aquí dA denota el área medida por Lebesgue en el plano complejo ). Esta última es la integral que se da en el principio de Dirichlet para funciones armónicas . La integral de Dirichlet define una seminorma en . No es una norma en general, ya que siempre que f sea ​​una función constante .${\ estilo de visualización \ mathbb {C}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$${\displaystyle {\mathcal {D}}(f)=0}$

Para , definimos${\displaystyle f,\,g\in {\mathcal {D}}(\Omega )}$

Este es un producto semi-interior, y claramente . Podemos equipar con un producto interno dado por${\displaystyle {\mathcal {D}}(f,\,f)={\mathcal {D}}(f)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$

donde es el producto interior habitual en La norma correspondiente viene dada por${\displaystyle \langle \cdot ,\,\cdot \rangle _{H^{2}(\Omega )}}$${\displaystyle H^{2}(\Omega ).}$${\displaystyle \|\cdot \|_{{\mathcal {D}}(\Omega )}}$

Tenga en cuenta que esta definición no es única, otra opción común es tomar , para algunos fijos .${\displaystyle \|f\|^{2}=|f(c)|^{2}+{\mathcal {D}}(f)}$${\displaystyle c\in \Omega }$

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