En matemáticas , particularmente en análisis funcional , una seminorma es una norma de espacio vectorial que no necesita ser definida positiva . Los seminormas están íntimamente conectados con los conjuntos convexos : cada seminorma es la función de Minkowski de algún disco absorbente y, a la inversa, la función de Minkowski de cualquier conjunto de este tipo es una seminorma.
Un espacio vectorial topológico es localmente convexo si y solo si su topología es inducida por una familia de seminormas.
Definición
Dejar ser un espacio vectorial sobre los números reales o los números complejosUna función de valor real se llama seminorm si cumple las dos condiciones siguientes:
- Subaditividad / desigualdad triangular : para todos
- Homogeneidad absoluta : para todos y todos los escalares
Estas dos condiciones implican [prueba 1] que y que cada seminorma también tiene la siguiente propiedad:
- No negatividad : para todos
Algunos autores incluyen la no negatividad como parte de la definición de "seminorma" (y también a veces de "norma"), aunque esto no es necesario.
Por definición, una norma sobre es una seminorma que también separa puntos, lo que significa que tiene la siguiente propiedad adicional:
- Definido positivo /Separación de puntos : para todos Si luego
Un espacio seminorizado es un par que consiste en un espacio vectorial y un seminario en Si el seminorma p también es una norma, entonces llamamos al espacio seminormadoun espacio normado
Dado que la homogeneidad absoluta implica homogeneidad positiva, toda seminorma es un tipo de función llamada función sublineal . Un mapase llama función sublineal si es subaditiva (es decir, la condición 1 anterior) y positivamente homogénea (es decir, la condición 5 anterior). A diferencia de una seminorma, una función sublineal no es necesariamente no negativa. Las funciones sublineales se encuentran a menudo en el contexto del teorema de Hahn-Banach .
Pseudometría y topología inducida
A seminorma p en X induce una topología a través de la traducción invariante pseudometric d p : X × X → ℝ ; d p ( x , y ) = p ( x - y ) . Esta topología es de Hausdorff si y solo si d p es una métrica, lo que ocurre si y solo si p es una norma. [1]
De manera equivalente, todo espacio vectorial V con seminorma p induce un cociente espacial vectorial V / W , donde W es el subespacio de V que consta de todos los vectores v ∈ V con p ( v ) = 0 . V / W lleva una norma definida por p ( v + W ) = p ( v ) . La topología resultante, retraída a V , es precisamente la topología inducida por p .
Cualquier topología inducida por seminormas hace que X sea localmente convexa , como sigue. Si p es una seminorma en X y r es un número real, llame al conjunto { x ∈ X : p ( x ) < r } la bola abierta de radio r alrededor del origen; asimismo, la bola cerrada de radio r es { x ∈ X : p ( x ) ≤ r }. El conjunto de todos (resp. Cerrado) abierto p -balls en las formas de origen una base barrio de convexas equilibradas conjuntos que están abiertos (resp. Cerrado) en el p -topology en X .
Seminormas más fuertes, más débiles y equivalentes
Las nociones de seminormas más fuertes y más débiles son similares a las nociones de normas más fuertes y más débiles . Si p y q son seminormas en X , entonces se dice que q es más fuerte que p y que p es más débil de lo q si alguna de las siguientes condiciones equivalentes sostiene:
- La topología en X inducida por q es más fina que la topología inducida por p .
- Si ( x i )∞
yo = 1es una secuencia en X , entonces q ( x i ) → 0 implica p ( x i ) → 0 . [1] - Si ( x i ) i ∈ I es una red en X , entonces q ( x i ) → 0 implica p ( x i ) → 0 .
- p está acotado en { x ∈ X : q ( x ) <1 }. [1]
- Si inf { q ( x ): p ( x ) = 1, x ∈ X } = 0 , entonces p (x) = 0 para todo x . [1]
- Existe un verdadero K > 0 tal que p ≤ Kq en X . [1]
p y q son equivalentes si ambos son más débil (o ambos fuerte) que entre sí. Esto sucede si cumplen alguna de las siguientes condiciones:
- La topología en X inducida por q es la misma que la topología inducida por p .
- q es más fuerte que p y p es más fuerte que q . [1]
- Si ( x i )∞
yo = 1es una secuencia en X entonces q ( x i ) → 0 si y solo si p ( x i ) → 0 . - Existen números reales positivos r > 0 y R> 0 tales que rq ≤ p ≤ Rq .
Continuidad
- Continuidad de seminarios
Si p es una seminorma en un espacio vectorial topológico X , entonces los siguientes son equivalentes: [2]
- p es continuo.
- p es continuo en 0; [3]
- está abierto en X ; [3]
- es vecindad cerrada de 0 en X ; [3]
- p es uniformemente continuo en X ; [3]
- Existe una seminorma continua q en X tal que p ≤ q . [3]
En particular, si ( X , p ) es un espacio seminormado, entonces una seminorma q en X es continua si y solo si q está dominado por un múltiplo escalar positivo de p . [3]
Si X es un TVS real, f es un funcional lineal en X , yp es un seminorma continuo (o más generalmente, una función sublineal) en X , entonces f ≤ p en X implica que f es continuo. [4]
- Continuidad de mapas lineales
Si F : ( X , p ) → ( Y , q ) es un mapa entre espacios seminormados, entonces dejemos
- || F || p , q : = sup { q ( F ( x )): p ( x ) ≤ 1 }. [5]
Si F : ( X , p ) → ( Y , q ) es un mapa lineal entre espacios seminormados, entonces los siguientes son equivalentes:
- F es continuo;
- || F || p , q <∞ ; [5]
- Existe un K ≥ 0 real tal que p ≤ Kq ; [5]
- En este caso, || F || p , q ≤ K .
Si F es continuo, entonces q ( F ( x )) ≤ || F || p , q p ( x ) para todo x ∈ X . [5]
El espacio de todos los mapas lineales continuos F : ( X , p ) → ( Y , q ) entre espacios seminormados es en sí mismo un espacio seminormado bajo la seminorma || F || p , q . Esta seminorma es una norma si q es una norma. [5]
Propiedades topologicas
- Si X es un TVS yp es una seminorma continua en X , entonces el cierre de { x ∈ X : p ( x ) < r } en X es igual a { x ∈ X : p ( x ) ≤ r }. [3]
- El cierre de {0 } en un espacio localmente convexo X cuya topología está definida por una familia de seminormas continuas 𝒫 es igual a p −1 (0) . [6]
- Un subconjunto S en un espacio seminormado ( X , p ) está acotado si y solo si p ( S ) está acotado. [7]
- Si ( X , p ) es un espacio seminormado, entonces la topología convexa local que induce p en X convierte a X en un TVS pseudometrizable con una pseudométrica canónica dada por d ( x , y ): = p ( x - y ) para todo x , y ∈ X . [8]
- El cierre de {0 } en un espacio localmente convexo X cuya topología está definida por una familia de seminormas continuas 𝒫 es igual a p −1 (0) . [6]
- Un subconjunto S en un espacio seminormado ( X , p ) está acotado (von Neumann) si y solo si p ( S ) está acotado. [7]
- El producto de un número infinito de espacios seminormables es seminormable de nuevo si y sólo si todos, excepto un número finito de estos espacios, son triviales (es decir, de dimensión 0). [9]
Normabilidad
La normabilidad de los espacios vectoriales topológicos se caracteriza por el criterio de normabilidad de Kolmogorov .
Si X es un TVS localmente convexo de Hausdorff , los siguientes son equivalentes:
- X es normal.
- X tiene una vecindad limitada del origen.
- el fuerte dual de X es normable. [10]
- el fuerte dual de X es metrizable . [10]
Además, X es de dimensión finita si y solo si es normalizable (aquí denota dotado de la topología débil- * ).
El producto de un número infinito de espacios seminormables es de nuevo seminormable si y sólo si todos, excepto un número finito de estos espacios, son triviales (es decir, de dimensión 0). [9]
Funcionales y seminarios de Minkowski
Las seminormas en un espacio vectorial X están íntimamente ligadas, a través de las funciones de Minkowski, a subconjuntos de X que son convexos , equilibrados y absorbentes . Dado tal subconjunto D de X , el funcional de Minkowski de D es una seminorma. Por el contrario, dada una p seminorma en X , los conjuntos { x ∈ X : p ( x ) <1 } y { x ∈ X : p ( x ) ≤ 1 } son convexos, equilibrados y absorbentes y, además, la funcional de Minkowski de estos dos conjuntos (así como cualquier conjunto que se encuentre "entre ellos") es p . [11]
Ejemplos de
- El seminorma trivial en X ( p ( x ) = 0 para todos los x ∈ X ) induce la topología indiscreta en X .
- Toda forma lineal f en un espacio vectorial define una seminorma por x → | f ( x ) | .
- Cada función sublineal de valor real f en X define una seminorma p ( x ) = max { f ( x ), f (- x ) }. [12]
- Cualquier suma finita de seminormas es seminormal.
- Si p y q son seminormas en X entonces también lo es ( p ∨ q ) ( x ) = max { p ( x ), q ( x ) }. [3]
- Si p y q son seminormas en X entonces también lo es ( p ∧ q ) ( x ): = inf { p ( y ) + q ( z ): x = y + z con y , z ∈ X }.
- p ∧ q ≤ p y p ∧ q ≤ q . [1]
- Además, el espacio de seminormas en X es una red distributiva con respecto a las operaciones anteriores.
Propiedades algebraicas
Sea X un espacio vectorial sobre 𝔽 donde 𝔽 son los números reales o complejos.
- Propiedades de los seminormas porque son funciones sublineales
Dado que cada seminorma es una función sublineal, los seminormas tienen todas las siguientes propiedades:
Si p : X → [0, ∞) es una función sublineal de valor real en X, entonces:
- Los seminormas satisfacen la desigualdad del triángulo inverso : | p ( x ) - p ( y ) | Leq p ( x - Y ) para todo x , y ∈ X . [13] [4]
- Para cualquier x ∈ X y r > 0 , [14] x + { y ∈ X : p ( y ) < r } = { y ∈ X : p ( x - y ) < r }.
- Dado que cada seminorma es una función sublineal, cada seminorma p en X es una función convexa . Por otra parte, para todos r > 0 , { x ∈ X : p ( x ) < r } es un absorbente de disco en X . [3]
- Toda función sublineal es una funcional convexa .
- p (0) = 0 .
- 0 ≤ max { p ( x ), p (- x ) } y p ( x ) - p ( y ) ≤ p ( x - y ) para todo x , y ∈ X . [13] [4]
- Si p es una función sublineal en un espacio vectorial real X, entonces existe una función lineal f en X tal que f ≤ p . [4]
- Si X es un espacio vectorial real, f es un funcional lineal en X , yp es una función sublineal en X , entonces f ≤ p en X si y solo si f −1 (1) ∩ { x ∈ X : p ( x ) <1} = ∅ . [4]
- Otras propiedades de los seminormas
Si p : X → [0, ∞) es una seminorma en X, entonces:
- p es una norma en X si y solo si { x ∈ X : p ( x ) <1 } no contiene un subespacio vectorial no trivial.
- p -1 (0) es un subespacio vectorial de X .
- Para cualquier r > 0 , [3]
- r { x ∈ X : p ( x ) <1} = { x ∈ X : p ( x )
}>x ∈ X :1/rp ( x ) <1 }.
- r { x ∈ X : p ( x ) <1} = { x ∈ X : p ( x )
- Si D es un conjunto que satisface { x ∈ X : p ( x ) <1} ⊆ D ⊆ { x ∈ X : p ( x ) ≤ 1 } entonces D está absorbiendo en X y p = p D , donde p D es el Funcional de Minkowski asociado con D (es decir, el calibre de D ). [2]
- En particular, si D es como arriba yq es cualquier seminorma en X , entonces q = p si y solo si { x ∈ X : q ( x ) <1} ⊆ D ⊆ { x ∈ X : q ( x ) ≤ 1 }. [2]
- Si ( X , || ⋅ ||) es un espacio normado, entonces || x - y || = || x - z || + || z - y || para todos x , y , z ∈ X . [15]
- Toda norma es una función convexa y, en consecuencia, encontrar un máximo global de una función objetivo basada en normas a veces es manejable.
Teorema de Hahn-Banach para seminarios
Seminorms ofrece una formulación particularmente limpia del teorema de Hahn-Banach :
- Si M es un subespacio vectorial de un espacio seminormado ( X , p ) y si f es un funcional lineal continuo en M , entonces f puede extenderse a un funcional lineal continuo F en X que tiene la misma norma que f . [5]
Una propiedad de extensión similar también es válida para seminarios:
Teorema [17] [18] (Extensión de seminormas) - Si M es un subespacio vectorial de X , p es una seminorma en M y r es una seminorma en X tal que p ≤ q | M , entonces existe una seminorma P en X tal que P | M = p y P ≤ q . (ver nota a pie de página como prueba) [16]
Desigualdades en seminarios
Si p : X → [0, ∞) es una seminorma en X, entonces:
- Si f es un funcional lineal en un espacio vectorial real o complejo X y si p es una seminorma en X , entonces | f | ≤ p en X si y solo si Re f ≤ p en X (ver nota a pie de página como prueba). [19] [20]
- Si q es una seminorma en X , entonces p ≤ q si y solo si q ( x ) ≤ 1 implica p ( x ) ≤ 1 . [21]
- Si q es un seminorma en X y un > 0 y b > 0 son tales que p ( x ) < un implica q ( x ) ≤ b , a continuación, aq ( x ) ≤ pb ( x ) para todo x ∈ X . [18]
- Si f es una funcional lineal en X , entonces f ≤ p en X si y solo si f −1 (1) ∩ { x ∈ X : p ( x ) <1} = ∅ . [4] [21]
- Si f es una funcional lineal en X y a > 0 y b > 0 son tales que p ( x ) < a implica f ( x ) ≠ b , entonces a | f ( x ) | ≤ pb ( x ) para todo x ∈ X . [18]
- Si X es un espacio vectorial sobre los reales yf es un funcional lineal no 0 en X , entonces f ≤ p si y solo si ∅ = f −1 (1) ∩ { x ∈ X : p ( x ) <1 } . [21]
- Supongamos que una y b son números reales positivos y q , p 1 , ..., p n son seminormas en X . Si para todo x ∈ X , p i ( x ) < a implica q ( x ) < b para todo i , entonces aq ≤ b Σn
yo = 1 p i . [22]
Relación con otros conceptos similares a las normas
Un espacio vectorial topológico es seminormable si y solo si tiene una vecindad del origen acotada convexa. [23] Por lo tanto, un TVS localmente convexo es seminormable si y solo si tiene un conjunto abierto acotado no vacío. [24]
Sea p : X → ℝ una función no negativa. Los siguientes son equivalentes:
- p es una seminorma.
- p es una F -minorma convexa .
- p es una G- semicircular balanceada convexa . [25]
Si se cumple alguna de las condiciones anteriores, las siguientes son equivalentes:
- p es una norma;
- { x ∈ X : p ( x ) <1 } no contiene un subespacio vectorial no trivial. [22]
- Existe una norma en X , con respecto a la cual, { x ∈ X : p ( x ) <1 } está acotado.
Si p es una función sublineal en un espacio vectorial real X, entonces las siguientes son equivalentes: [4]
- p es un funcional lineal ;
- para cada x ∈ X , p ( x ) + p (- x ) ≤ 0 ;
- para todo x ∈ X , p ( x ) + p (- x ) = 0 ;
Generalizaciones
El concepto de norma en álgebras de composición no no comparten las propiedades usuales de una norma.
Un álgebra de composición ( A , *, N ) consiste en un álgebra sobre un campo A , una involución * y una forma cuadrática N , que se llama la "norma". En varios casos, N es una forma cuadrática isotrópica de modo que A tiene al menos un vector nulo , contrariamente a la separación de puntos requerida para la norma habitual discutida en este artículo.
Un ultraseminorm o una seminorma no de Arquímedes es un seminorma p : X → ℝ que también satisface p ( x + y ) ≤ max { p ( x ), p ( y ) } para todos los x , y ∈ X .
Debilitamiento de la subaditividad: cuasi-seminormas
Un mapa p : X → ℝ se llama cuasi-seminorma si es (absolutamente) homogéneo y existe un b ≤ 1 tal que
p ( x + y ) ≤ b ( p ( x ) + p ( y )) para todo x , y ∈ X .
El valor más pequeño de b para el que esto se cumple se llama multiplicador de p .
Un cuasi-seminorma que separa los puntos se llama un cuasi-norma en X .
Debilitamiento de la homogeneidad: k -seminormas
Un mapa p : X → ℝ se llama k -seminorma si es subaditivo y existe una k tal que 0 < k ≤ 1 y para todo x ∈ X y escalares s ,
p ( sx ) = | s | k p ( x )
A k -seminorm que los puntos se separa se llama un k -norma en X .
Tenemos la siguiente relación entre cuasi-seminormas y k -seminormas :
- Suponga que q es una cuasi seminorma en un espacio vectorial X con multiplicador b . Si 0 < √ k
2 b, entonces existe k -seminorme p en X equivalente a q .
Ver también
- Norma asimétrica : generalización del concepto de norma
- Espacio de Banach: espacio vectorial normalizado que está completo
- Teorema de Hahn-Banach
- Norma Gowers
- Espacio vectorial topológico localmente convexo : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
- Distancia de Mahalanobis
- Norma de la matriz - Norma sobre un espacio vectorial de las matrices
- Espacio vectorial topológico metrizable : un espacio vectorial topológico cuya topología se puede definir mediante una métrica
- Minkowski funcional
- Norma (matemáticas) - Longitud en un espacio vectorial
- Espacio vectorial normado: espacio vectorial en el que se define una distancia
- Relación de normas y métricas
- Función sublineal
- Espacio vectorial topológico: espacio vectorial con una noción de proximidad
Notas
- ^ Suponga es un seminario y deja Entonces la homogeneidad absoluta implica La desigualdad del triángulo ahora implica Porque era un vector arbitrario en resulta que lo que implica que (restando de ambos lados). Por lo tanto lo que implica (multiplicando por ). Si denota el vector cero en tiempo denotar el escalar cero, entonces la homogeneidad absoluta implica que
Referencias
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- ^ Narici y Beckenstein 2011 , págs. 107-113.
- ^ Sea S el casco convexo de { m ∈ M : p ( x ) ≤ 1} ∪ { x ∈ X : q ( x ) ≤ 1 }. Tenga en cuenta que S es un absorbente de discos en X así que q sea el Minkowski funcional de S . Entonces p = P en M y P ≤ q en X .
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , págs.150 .
- ↑ a b c Wilansky , 2013 , págs. 18-21.
- ^ Obvio si X es un espacio vectorial real. Para la dirección no trivial, se supone que Re f ≤ p en X y dejar que x ∈ X . Sean r ≥ 0 y t números reales tales que f ( x ) = re it . Entonces | f ( x ) | = R = f ( e - que x ) = Re ( f ( e - que x )) ≤ p ( e - que x ) = p ( x ) .
- ↑ Wilansky , 2013 , p. 20.
- ↑ a b c Narici y Beckenstein , 2011 , págs. 149-153.
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enlaces externos
- Funciones sublineales
- El teorema del sándwich para funcionales sublineales y superlineales