En álgebra y teoría de números , una distribución es una función en un sistema de conjuntos finitos en un grupo abeliano que es análogo a una integral: es, por tanto, el análogo algebraico de una distribución en el sentido de función generalizada .
Los ejemplos originales de distribuciones ocurren, sin nombre, como funciones φ en Q / Z que satisfacen [1]
Estas distribuciones se denominan distribuciones ordinarias. [2] También ocurren en la teoría de la integración p -ádica en la teoría de Iwasawa . [3]
Sea ... → X n +1 → X n → ... un sistema proyectivo de conjuntos finitos con sobreyecciones, indexados por los números naturales, y sea X su límite proyectivo . Damos a cada X n la topología discreta , de modo que X es compacto . Sea φ = (φ n ) una familia de funciones sobre X n tomando valores en un grupo abeliano V y compatible con el sistema proyectivo:
para alguna función de peso w . La familia φ es entonces una distribución en el sistema proyectivo X .
Una función f en X es "localmente constante", o una "función escalonada" si factoriza a través de algún X n . Podemos definir una integral de una función escalonada contra φ como
La definición se extiende a sistemas proyectivos más generales, como los indexados por los enteros positivos ordenados por divisibilidad. Como un caso especial importante tener en cuenta el sistema proyectivo Z / n Z indexado por números enteros positivos ordenado por la divisibilidad. Identificamos esto con el sistema (1 / n ) Z / Z con límite de Q / Z .
Para x en R dejamos que ⟨ x ⟩ denotar la parte fraccionaria de x normalizada a 0 ≤ ⟨ x ⟩ <1, y dejamos { x } denota la parte fraccionaria normalizada a 0 <{ x } ≤ 1.
Ejemplos de
Función zeta de Hurwitz
El teorema de la multiplicación para la función zeta de Hurwitz
da una relación de distribución
Por tanto, para s dados , el mapaes una distribución en Q / Z .
Distribución de Bernoulli
Recuerde que los polinomios de Bernoulli B n están definidos por
para n ≥ 0, donde b k son los números de Bernoulli , con función generadora
Satisfacen la relación de distribución
Por lo tanto, el mapa
definido por
es una distribucion. [4]
Unidades ciclotómicas
Las unidades ciclotómicas satisfacen las relaciones de distribución . Vamos a ser un elemento de Q / Z privilegiada para p y vamos g una denotan exp (2πi una ) -1. Entonces para a 0 tenemos [5]
Distribución universal
Uno considera las distribuciones en Z con valores en algún grupo abeliano V y busca la distribución "universal" o más general posible.
Distribuciones de Stickelberger
Deje que h sea una distribución normal de Q / Z toma valores en un campo F . Deje G ( N ) denota el grupo multiplicativo de Z / N Z , y para cualquier función f en G ( N ) que se extienden f a una función en Z / N Z tomando f a ser cero fuera de G ( N ). Defina un elemento del álgebra de grupos F [ G ( N )] por
Las álgebras grupo forman un sistema proyectiva con límite X . Entonces, las funciones g N forman una distribución en Q / Z con valores en X , la distribución de Stickelberger asociada con h .
medidas p-ádicas
Considere el caso especial cuando el grupo de valores V de una distribución φ en X toma valores en un campo local K , finito sobre Q p , o más generalmente, en un espacio de Banach de dimensión finita p -ádico W sobre K , con valoración | · |. Llamamos φ una medida si | φ | es limitado en subconjuntos abiertos compactas de X . [6] Let D sea el anillo de los enteros de K y L un retículo en W , es decir, una libre de D -submodule de W con K ⊗ L = W . Hasta escalar una medida podrá ser llevado a tener valores de L .
Operadores y medidas de Hecke
Deje que D sea un número entero fijo privilegiada para p y considerar Z D , el límite del sistema Z / p n D . Considere cualquier función propia del operador de Hecke T p con valor propio λ p primo ap . Se describe un procedimiento para derivar una medida de Z D .
Fijar un número entero N privilegiada para p y para D . Deje que F sea el D -módulo de todas las funciones de números racionales con denominador primos entre sí a N . Para cualquier primo l que no divida N , definimos el operador de Hecke T l por
Deje que f sea una función propia de T p con valor propio λ p de D . La ecuación cuadrática X 2 - λ p X + p = 0 tiene raíces π 1 , π 2 con π 1 una unidad y π 2 divisible por p . Definición de una secuencia de un 0 = 2, un 1 = π 1 + π 2 = λ p y
así que eso
Referencias
- Kubert, Daniel S .; Lang, Serge (1981). Unidades modulares . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 244 . Springer-Verlag . ISBN 0-387-90517-0. Zbl 0492.12002 .
- Lang, Serge (1990). Campos ciclotómicos I y II . Textos de Posgrado en Matemáticas . 121 (segunda edición combinada). Springer Verlag . ISBN 3-540-96671-4. Zbl 0704.11038 .
- Mazur, B .; Swinnerton-Dyer, P. (1974). "Aritmética de curvas de Weil". Inventiones Mathematicae . 25 : 1–61. doi : 10.1007 / BF01389997 . Zbl 0281.14016 .