Categoría distributiva

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En matemáticas , una categoría es distributiva si tiene productos finitos y coproductos finitos tales que para cada elección de objetos , el mapa canónico${\ Displaystyle A, B, C}$

es un isomorfismo , y para todos los objetos , el mapa canónico es un isomorfismo (donde 0 denota el objeto inicial ). De manera equivalente, si para cada objeto el endofunctor definido por conserva coproductos hasta isomorfismos . ^[1] Se deduce que los mapas canónicos antes mencionados son iguales para cada elección de objetos. ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle 0 \ to A \ times 0}$${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle A \ times -}$${\ Displaystyle B \ mapsto A \ times B}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f}$

En particular, si el funtor tiene un adjunto derecho (es decir, si la categoría es cerrada cartesiana ), necesariamente conserva todos los colimits y, por lo tanto, cualquier categoría cerrada cartesiana con coproductos finitos (es decir, cualquier categoría cerrada bicartesiana ) es distributiva.${\ Displaystyle A \ times -}$

donde denota el coproducto en Set , es decir, la unión disjunta , y denota una biyección . En el caso de que A , B y C sean conjuntos finitos , este resultado refleja la propiedad distributiva : los conjuntos anteriores tienen cardinalidad .${\ Displaystyle \ amalg}$${\ Displaystyle \ cong}$${\ Displaystyle | A | \ cdot (| B | + | C |) = | A | \ cdot | B | + | A | \ cdot | C |}$

Una categoría aún más simple que tiene tanto productos como coproductos pero no es distributiva es la categoría de conjuntos puntiagudos . ^[2]

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