División por cero

Este artículo trata sobre el concepto en matemáticas y la excepción en informática. Para otros usos, consulte División por cero (desambiguación) .

El resultado obtenido por un número real cuando se divide por cero

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La función y  = 1 / x . Cuando x se acerca a 0 por la derecha, y se acerca al infinito. Cuando x se acerca a 0 desde la izquierda, y se acerca al infinito negativo.

En matemáticas , la división por cero es una división donde el divisor (denominador) es cero . Tal división puede expresarse formalmente comoa/0donde a es el dividendo (numerador). En aritmética ordinaria, la expresión no tiene significado, ya que no hay ningún número que, cuando se multiplica por 0, dé a (asumiendo a  ≠ 0), por lo que la división por cero no está definida . Dado que cualquier número multiplicado por cero es cero, la expresión0/0también es indefinido; cuando tiene la forma de un límite , es una forma indeterminada . Históricamente, una de las primeras referencias registradas a la imposibilidad matemática de asignar un valor aa/0está contenido en la crítica de George Berkeley al cálculo infinitesimal en 1734 en The Analyst ("fantasmas de cantidades diferidas"). ^[1]

Hay estructuras matemáticas en las que a/0se define por alguna una como en la esfera de Riemann y la recta real proyectivamente extendido ; sin embargo, tales estructuras no satisfacen todas las reglas ordinarias de la aritmética (los axiomas de campo ).

En informática , un error de programa puede resultar de un intento de dividir por cero. Dependiendo del entorno de programación y del tipo de número (por ejemplo , punto flotante , entero ) que se divide por cero, puede generar infinito positivo o negativo según el estándar de punto flotante IEEE 754 , generar una excepción , generar un mensaje de error , hacer que el programa falle terminar, dar como resultado un valor especial que no es un número , ^[2] o un bloqueo .

Aritmética elemental

Cuando la división se explica en el nivel aritmético elemental , a menudo se considera como dividir un conjunto de objetos en partes iguales. Como ejemplo, considere tener diez cookies, y estas cookies se distribuirán por igual a cinco personas en una mesa. Cada persona recibiría10/5= 2 galletas. Del mismo modo, si hay diez cookies y solo una persona en la mesa, esa persona recibirá10/1 = 10 galletas.

Entonces, para dividir por cero, ¿cuál es la cantidad de cookies que recibe cada persona cuando se distribuyen 10 cookies de manera uniforme entre 0 personas en una mesa? Se pueden señalar ciertas palabras en la pregunta para resaltar el problema. El problema con esta pregunta es el "cuándo". No hay forma de distribuir 10 cookies a nadie. Asi que10/0, al menos en aritmética elemental, se dice que no tiene sentido o no está definido.

Si hay, digamos, 5 cookies y 2 personas, el problema está en "distribuir uniformemente". En cualquier partición entera de 5 cosas en 2 partes, una de las partes de la partición tendrá más elementos que la otra, o habrá un resto (escrito como5/2= 2 r1). O bien, el problema con 5 galletas y 2 personas se puede resolver cortando una galleta por la mitad, lo que introduce la idea de fracciones (5/2 = 21/2). El problema con 5 cookies y 0 personas, por otro lado, no se puede resolver de ninguna manera que preserve el significado de "divide".

En álgebra elemental , otra forma de ver la división por cero es que la división siempre se puede verificar usando la multiplicación. Considerando el10/0ejemplo anterior, configurando x =10/0, si x es igual a diez dividido por cero, entonces x por cero es igual a diez, pero no hay x que, cuando se multiplica por cero, dé diez (o cualquier número que no sea cero). Si en lugar de x =10/0, x =0/0, entonces cada x satisface la pregunta '¿qué número x , multiplicado por cero, da cero?'

Primeros intentos

El Brāhmasphuṭasiddhānta de Brahmagupta (c. 598–668) es el texto más antiguo en tratar el cero como un número por derecho propio y definir operaciones que involucran cero. ^[3] El autor no pudo explicar la división por cero en sus textos: se puede probar fácilmente que su definición conduce a absurdos algebraicos. Según Brahmagupta,

Un número positivo o negativo cuando se divide por cero es una fracción con el cero como denominador. El cero dividido por un número negativo o positivo es cero o se expresa como una fracción con cero como numerador y la cantidad finita como denominador. Cero dividido por cero es cero.

En 830, Mahāvīra intentó sin éxito corregir el error de Brahmagupta en su libro Ganita Sara Samgraha : "Un número permanece sin cambios cuando se divide por cero". ^[3]

Álgebra

Las cuatro operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) aplicadas a números enteros (enteros positivos), con algunas restricciones, en aritmética elemental se utilizan como marco para respaldar la extensión del ámbito de los números al que se aplican. Por ejemplo, para hacer posible restar cualquier número entero de otro, el reino de los números debe expandirse al conjunto completo de números enteros para incorporar los números enteros negativos. De manera similar, para soportar la división de cualquier número entero por cualquier otro, el ámbito de los números debe expandirse a los números racionales. Durante esta expansión gradual del sistema numérico, se tiene cuidado de asegurar que las "operaciones extendidas", cuando se aplican a los números más antiguos, no produzcan resultados diferentes. Hablando libremente, dado que la división por cero no tiene significado ( no está definido ) en la configuración de números enteros, esto sigue siendo cierto a medida que la configuración se expande a números reales o incluso complejos .

A medida que se amplía el ámbito de los números a los que se pueden aplicar estas operaciones, también se producen cambios en la forma en que se ven las operaciones. Por ejemplo, en el ámbito de los números enteros, la resta ya no se considera una operación básica ya que puede ser reemplazada por la suma de números con signo. ^[4] De manera similar, cuando el reino de los números se expande para incluir los números racionales, la división se reemplaza por la multiplicación por ciertos números racionales. De acuerdo con este cambio de punto de vista, la pregunta, "¿Por qué no podemos dividir por cero?", Se convierte en "¿Por qué un número racional no puede tener un denominador cero?". Responder a esta pregunta revisada requiere precisamente un examen detenido de la definición de números racionales.

En el enfoque moderno para construir el campo de los números reales, los números racionales aparecen como un paso intermedio en el desarrollo que se basa en la teoría de conjuntos. Primero, los números naturales (incluido el cero) se establecen sobre una base axiomática, como el sistema de axiomas de Peano, y luego esto se expande al anillo de números enteros . El siguiente paso es definir los números racionales teniendo en cuenta que esto debe hacerse utilizando solo los conjuntos y operaciones que ya se han establecido, a saber, la suma, la multiplicación y los enteros. Comenzando con el conjunto de pares ordenados de enteros, {( a , b ) } con b ≠ 0 , define una relación binariaen este conjunto por ( a , b ) ≃ ( c , d ) si y solo si ad = bc . Se muestra que esta relación es una relación de equivalencia y sus clases de equivalencia se definen luego como números racionales. Es en la prueba formal de que esta relación es una relación de equivalencia que se necesita el requisito de que la segunda coordenada no sea cero (para verificar la transitividad ). ^{[5] [6] [7]}

La explicación anterior puede ser demasiado abstracta y técnica para muchos propósitos, pero si se asume la existencia y propiedades de los números racionales, como se hace comúnmente en matemáticas elementales, la "razón" por la que la división por cero no está permitida queda oculta a la vista. Sin embargo, se puede dar una justificación (no rigurosa) en este contexto.

Se deduce de las propiedades del sistema numérico que estamos usando (es decir, enteros, racionales, reales, etc.), si b ≠ 0 entonces la ecuacióna/B= c es equivalente a a = b × c . Asumiendo quea/0es un número c , entonces debe ser que a = 0 × c = 0 . Sin embargo, el único número c tendría que ser determinado por la ecuación 0 = 0 × c , pero cada número satisface esta ecuación, por lo que no podemos asignar un valor numérico a0/0. ^[8]

División como la inversa de la multiplicación

El concepto que explica la división en álgebra es que es el inverso de la multiplicación. Por ejemplo, ^[9]

${\displaystyle {\frac {6}{3}}=2}$

ya que 2 es el valor para el cual la cantidad desconocida en

${\displaystyle ?\times 3=6}$

es verdad. Pero la expresion

${\displaystyle {\frac {6}{0}}=\,x}$

requiere que se encuentre un valor para la cantidad desconocida en

${\displaystyle x\times 0=6.}$

Pero cualquier número multiplicado por 0 es 0, por lo que no hay ningún número que resuelva la ecuación.

La expresion

${\displaystyle {\frac {0}{0}}=\,x}$

requiere que se encuentre un valor para la cantidad desconocida en

${\displaystyle x\times 0=0.}$

Nuevamente, cualquier número multiplicado por 0 es 0, por lo que esta vez cada número resuelve la ecuación en lugar de que haya un solo número que se puede tomar como el valor de 0/0.

En general, no se puede asignar un solo valor a una fracción donde el denominador es 0, por lo que el valor permanece indefinido.

Falacias

Más información: falacia matemática

Una razón convincente para no permitir la división por cero es que, si se permitiera, surgirían muchos resultados absurdos (es decir, falacias ). Cuando se trabaja con cantidades numéricas, es fácil determinar cuándo se está realizando un intento ilegal de dividir por cero. Por ejemplo, considere el siguiente cálculo.

Con los supuestos:

${\displaystyle {\begin{aligned}0\times 1&=0,\\0\times 2&=0,\end{aligned}}}$

lo siguiente es cierto:

${\displaystyle 0\times 1=0\times 2.}$

Dividir ambos lados por cero da:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {0\times 1}{0}}&={\frac {0\times 2}{0}}\\[6px]{\frac {0}{0}}\times 1&={\frac {0}{0}}\times 2.\end{aligned}}}$

Simplificado, esto produce:

${\displaystyle 1=2.}$

La falacia aquí es la suposición de que dividir 0 entre 0 es una operación legítima con las mismas propiedades que dividir por cualquier otro número.

Sin embargo, es posible disfrazar una división por cero en un argumento algebraico , ^[3] dando lugar a pruebas inválidas de que, por ejemplo, 1 = 2 como las siguientes: ^[10]

Sea 1 = x .

Multiplica por x para obtener

${\displaystyle x=x^{2}.}$

Reste 1 de cada lado para obtener

${\displaystyle x-1=x^{2}-1.}$

Divide ambos lados por x - 1

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x-1}{x-1}}&={\frac {x^{2}-1}{x-1}}\\[6pt]&={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}},\end{aligned}}}$

que simplifica a

${\displaystyle 1=x+1.}$

Pero, como x = 1 ,

${\displaystyle 1=1+1=2.}$

La división disfrazada por cero ocurre desde que x - 1 = 0 cuando x = 1 .

Análisis

Línea real extendida

Ver también: la regla de l'Hôpital

A primera vista, parece posible definir a / 0 considerando el límite de a / b cuando b se acerca a 0.

Para cualquier positivo una , el límite de la derecha es

${\displaystyle \lim _{b\to 0^{+}}{a \over b}=+\infty }$

sin embargo, el límite de la izquierda es

${\displaystyle \lim _{b\to 0^{-}}{a \over b}=-\infty }$

y por lo que la está definido (el límite también está definida para negativo una ).${\displaystyle \lim _{b\to 0}{a \over b}}$

Además, no existe una definición obvia de 0/0 que pueda derivarse de considerar el límite de una relación. El límite

${\displaystyle \lim _{(a,b)\to (0,0)}{a \over b}}$

no existe. Límites de la forma

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{f(x) \over g(x)}}$

en el que tanto ƒ ( x ) y g ( x ) enfoque 0 como x se aproxima a 0, puede ser igual cualquier valor real o infinito, o puede no existir en absoluto, dependiendo de las funciones particulares ƒ y g . Estos y otros hechos similares muestran que la expresión 0/0 no puede definirse bien como límite.

Operaciones formales

Un cálculo formal es aquel que se lleva a cabo utilizando reglas de aritmética, sin considerar si el resultado del cálculo está bien definido. Por tanto, a veces es útil pensar en a / 0, donde a  ≠ 0, como si fuera . Este infinito puede ser positivo, negativo o sin signo, según el contexto. Por ejemplo, formalmente:${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle \lim \limits _{x\to 0}{{\frac {1}{x}}={\frac {\lim \limits _{x\to 0}{1}}{\lim \limits _{x\to 0}{x}}}}=\infty .}$

Como ocurre con cualquier cálculo formal, se pueden obtener resultados no válidos. Un cálculo lógicamente riguroso (en contraposición al formal) afirmaría sólo que

${\displaystyle \lim \limits _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x}}=+\infty {\text{ and }}\lim \limits _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x}}=-\infty .}$

Dado que los límites unilaterales son diferentes, el límite bilateral no existe en el marco estándar de los números reales. Además, la fracción 1/0 se deja indefinida en la línea real extendida , por lo tanto

${\displaystyle {\frac {\lim \limits _{x\to 0}1}{\lim \limits _{x\to 0}x}}}$

son expresiones sin sentido .

Línea real proyectada extendida

El conjunto es la línea real proyectada extendida , que es una compactificación de un punto de la línea real. Aquí significa un infinito sin signo , una cantidad infinita que no es ni positiva ni negativa. Esta cantidad satisface , lo que es necesario en este contexto. En esta estructura, se pueden definir para distinto de cero una , y cuando una no es . Es la forma natural de ver el rango de la función tangente y las funciones cotangentes de la trigonometría : tan ( x ) se acerca al punto único en el infinito cuando x se acerca a o${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle -\infty =\infty }$${\displaystyle a/0=\infty }$${\displaystyle a/\infty =0}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle +\pi /2}$${\displaystyle -\pi /2}$ desde cualquier dirección.

Esta definición conduce a muchos resultados interesantes. Sin embargo, la estructura algebraica resultante no es un campo y no se debe esperar que se comporte como tal. Por ejemplo, no está definido en esta extensión de la línea real.${\displaystyle \infty +\infty }$

Esfera de Riemann

El conjunto es la esfera de Riemann , que es de gran importancia en el análisis complejo . Aquí también hay un infinito sin signo, o, como se le llama a menudo en este contexto, el punto en el infinito . Este conjunto es análogo a la línea real proyectada extendida, excepto que se basa en el campo de números complejos . En la esfera de Riemann, y , pero y no están definidos.${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle 1/0=\infty }$${\displaystyle 1/\infty =0}$${\displaystyle 0/0}$${\displaystyle 0\times \infty }$

Recta numérica real no negativa extendida

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Los números reales negativos pueden ser desechados, y el infinito introdujeron, conduce al conjunto de [0, ∞], donde la división por cero puede ser naturalmente define como un / 0 = ∞ para positivo  una . Si bien esto hace que la división se defina en más casos de lo habitual, la resta se deja sin definir en muchos casos, porque no hay números negativos.

Matemáticas superiores

Aunque la división por cero no se puede definir de forma sensata con números reales y enteros, es posible definirla de forma coherente, u operaciones similares, en otras estructuras matemáticas.

Análisis no estándar

En los números hiperreales y surrealistas , la división por cero sigue siendo imposible, pero es posible la división por infinitesimales distintos de cero .

Teoría de la distribución

En la teoría de la distribución, se puede extender la función a una distribución en todo el espacio de números reales (en efecto, utilizando valores principales de Cauchy ). Sin embargo, no tiene sentido pedir un "valor" de esta distribución en x  = 0; una respuesta sofisticada se refiere al soporte singular de la distribución.${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{x}}}$

Álgebra lineal

En álgebra matricial (o álgebra lineal en general), se puede definir una pseudo-división, estableciendo a / b  =  ab ⁺ , en la que b ⁺ representa la pseudoinversa de b . Se puede probar que si b ⁻¹ existe, entonces b ⁺ = b ⁻¹ . Si b es igual a 0, entonces b ⁺ = 0.

Álgebra abstracta

Cualquier sistema numérico que forme un anillo conmutativo —por ejemplo, los números enteros, los números reales y los números complejos— puede extenderse a una rueda en la que la división por cero siempre es posible; sin embargo, en tal caso, "división" tiene un significado ligeramente diferente. ^{[ aclaración necesaria ]}

Los conceptos aplicados a la aritmética estándar son similares a los de estructuras algebraicas más generales, como anillos y campos . En un campo, cada elemento distinto de cero es invertible bajo multiplicación; como antes, la división plantea problemas solo cuando se intenta dividir por cero. Esto también es cierto en un campo sesgado (que por esta razón se llama anillo de división ). Sin embargo, en otros anillos, la división por elementos distintos de cero también puede plantear problemas. Por ejemplo, el anillo Z / 6 Z de números enteros mod 6. El significado de la expresión debe ser la solución x de la ecuación . Pero en el ring Z / 6 Z${\displaystyle \textstyle {\frac {2}{2}}}$${\displaystyle 2x=2}$, 2 es un divisor de cero . Esta ecuación tiene dos soluciones distintas, x = 1 y x = 4 , por lo que la expresión no está definida .${\displaystyle \textstyle {\frac {2}{2}}}$

En la teoría de campos, la expresión es solo una abreviatura de la expresión formal ab ⁻¹ , donde b ⁻¹ es el inverso multiplicativo de b . Dado que los axiomas de campo solo garantizan la existencia de tales inversas para elementos distintos de cero, esta expresión no tiene significado cuando b es cero. Los textos modernos, que definen los campos como un tipo especial de anillo, incluyen el axioma 0 ≠ 1 para los campos (o su equivalente) de modo que el anillo cero se excluye de ser un campo. En el anillo cero, es posible la división por cero, lo que muestra que los otros axiomas de campo no son suficientes para excluir la división por cero en un campo.${\displaystyle \textstyle {\frac {a}{b}}}$

Aritmética informática

La mayoría de las calculadoras, como esta TI-86 de Texas Instruments , detendrán la ejecución y mostrarán un mensaje de error cuando el usuario o un programa en ejecución intente dividir por cero.

La división por cero en la calculadora de Android 2.2.1 muestra el símbolo del infinito.

El estándar de coma flotante IEEE , compatible con casi todas las unidades modernas de coma flotante , especifica que cada operación aritmética de coma flotante, incluida la división por cero, tiene un resultado bien definido. El estándar admite cero con signo , así como infinito y NaN ( no un número ). Hay dos ceros: +0 ( cero positivo ) y −0 ( cero negativo ) y esto elimina cualquier ambigüedad al dividir. En aritmética IEEE 754 , a  ÷ +0 es infinito positivo cuando a es positivo, infinito negativo cuando aes negativo y NaN cuando a  = ± 0. Los signos de infinito cambian cuando se divide por −0 .

La justificación de esta definición es preservar el signo del resultado en caso de subdesarrollo aritmético . ^[11] Por ejemplo, en el cálculo de precisión simple 1 / ( x / 2), donde x = ± 2 ⁻¹⁴⁹ , el cálculo x / 2 se desborda y produce ± 0 con el signo que coincide con x , y el resultado será ± ∞ con signo que coincide con x . El signo coincidirá con el del resultado exacto ± ²¹⁵⁰ , pero la magnitud del resultado exacto es demasiado grande para representarlo, por lo que se usa infinito para indicar desbordamiento.

La división de enteros por cero generalmente se maneja de manera diferente al punto flotante ya que no hay una representación de enteros para el resultado. Algunos procesadores generan una excepción cuando se intenta dividir un número entero entre cero, aunque otros simplemente continuarán y generarán un resultado incorrecto para la división. El resultado depende de cómo se implemente la división y puede ser cero o, a veces, el número entero más grande posible.

Debido a los resultados algebraicos incorrectos de asignar cualquier valor a la división por cero, muchos lenguajes de programación de computadoras (incluidos los utilizados por las calculadoras ) prohíben explícitamente la ejecución de la operación y pueden detener prematuramente un programa que lo intenta, a veces reportando un "Dividir por cero " error. En estos casos, si se desea algún comportamiento especial para la división por cero, la condición debe probarse explícitamente (por ejemplo, utilizando una instrucción if ). Algunos programas (especialmente aquellos que usan aritmética de punto fijodonde no hay hardware de punto flotante dedicado disponible) usará un comportamiento similar al estándar IEEE, usando números grandes positivos y negativos para aproximar infinitos. En algunos lenguajes de programación, un intento de dividir por cero da como resultado un comportamiento indefinido . El lenguaje de programación gráfica Scratch 2.0 y 3.0 utilizado en muchas escuelas devuelve Infinity o −Infinity según el signo del dividendo.

En la aritmética en complemento a dos , los intentos de dividir el número entero con signo más pequeño entre -1 tienen problemas similares y se manejan con el mismo rango de soluciones, desde condiciones de error explícitas hasta comportamiento indefinido .

La mayoría de las calculadoras devolverán un error o afirmarán que 1/0 no está definido; sin embargo, algunas calculadoras gráficas TI y HP evaluarán (1/0) ² a ∞.

Microsoft Math y Mathematica regresan ComplexInfinitypor 1/0. Maple y SageMath devuelven un mensaje de error para 1/0 e infinito para 1 / 0.0 (0.0 le dice a estos sistemas que usen aritmética de punto flotante en lugar de aritmética algebraica).

Algunas calculadoras modernas permiten la división por cero en casos especiales, donde será útil para los estudiantes y, presumiblemente, entendida en contexto por los matemáticos. Algunas calculadoras, la calculadora Desmos en línea es un ejemplo, permiten arcotangente (1/0). A los estudiantes a menudo se les enseña que la función cotangente inversa, arcotangente , debe calcularse tomando la arccotangente del recíproco, por lo que una calculadora puede permitir una arcangente (1/0), dando la salida , que es el valor correcto de arcotangente 0. El La justificación matemática es que el límite cuando x llega a cero de la arcangente 1 / x es .${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$

Accidentes históricos

• El 21 de septiembre de 1997, una división por error cero en el "Administrador de base de datos remota" a bordo del USS Yorktown (CG-48) derribó todas las máquinas de la red, provocando que el sistema de propulsión del barco fallara. ^{[12] [13]}

Ver también

• Asíntota
• Definido e indefinido
• División por cero , un cuento de Ted Chiang
• Forma indeterminada
• Divisor cero

Referencias

Notas

1. Cajori, Florian (1929), "Absurdos debidos a la división por cero: una nota histórica", The Mathematics Teacher , 22 (6): 366-368, JSTOR  27951153.
2. "Documentación de Perl BigInt" . Perl :: doc . Perl 5 Porteadores. Archivado desde el original el 26 de septiembre de 2019 . Consultado el 1 de marzo de 2020 .
3. Kaplan, Robert (1999). La nada que es: una historia natural de cero . Nueva York: Oxford University Press. págs.  68–75 . ISBN 978-0-19-514237-2.
4. Klein , 1925 , pág. 24
5. Schumacher 1996 , p. 149
6. Hamilton , 1982 , p. 19
7. Henkin y col. 2012 , pág. 292
8. Manojo 1997 , p. 14
9. Prindle, Anthony; Prindle, Katie (2009). EZ Math (edición revisada). Serie educativa de Barron. pag. 35 . ISBN 978-0-7641-4132-4. Extracto de la página 35
10. Manojo 1997 , p. 15
11. Cody, WJ (marzo de 1981). "Análisis de propuestas para el estándar de coma flotante". Computadora . 14 (3): 65. doi : 10.1109 / CM.1981.220379 . Con el cuidado apropiado para estar seguro de que los signos algebraicos no están determinados por el error de redondeo, el modo afín preserva las relaciones de orden mientras arregla el desbordamiento. Así, por ejemplo, el recíproco de un número negativo que se desborda sigue siendo negativo.
12. "Hundido por Windows NT" . Noticias por cable . 1998-07-24.
13. William Kahan (14 de octubre de 2011). "Remedios desesperadamente necesarios para la falta de depuración de grandes cálculos de punto flotante en ciencia e ingeniería" (PDF) .

Fuentes

• Bunch, Bryan (1997) [1982], Falacias y paradojas matemáticas , Dover, ISBN 978-0-486-29664-7
• Klein, Felix (1925), Matemáticas elementales desde un punto de vista avanzado / Aritmética, Álgebra, Análisis , traducido por Hedrick, ER; Noble, CA (3.a ed.), Dover
• Hamilton, AG (1982), Números, conjuntos y axiomas , Cambridge University Press, ISBN 978-0521287616
• Henkin, Leon; Smith, Norman; Varineau, Verne J .; Walsh, Michael J. (2012), Retracing Elementary Mathematics , Literary Licensing LLC, ISBN 978-1258291488
• Patrick Suppes 1957 (edición de Dover de 1999), Introducción a la lógica , Publicaciones de Dover, Inc., Mineola, Nueva York. ISBN 0-486-40687-3 (pbk.). Este libro está impreso y disponible. La §8.5 de Suppes, El problema de la división por cero comienza de esta manera: "Que no todo es para lo mejor en este mejor de todos los mundos posibles, incluso en matemáticas, está bien ilustrado por el molesto problema de definir la operación de división en la teoría elemental. de la aritmética "(p. 163). En su §8.7 Cinco enfoques de la división por cero , comenta que "... no hay una solución uniformemente satisfactoria" (p. 166) 
• Schumacher, Carol (1996), Capítulo cero: Nociones fundamentales de las matemáticas abstractas , Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-82653-1
• Charles Seife 2000, Zero: The Biography of a Dangerous Idea , Penguin Books, NY, ISBN 0-14-029647-6 (pbk.). Este libro galardonado es muy accesible. Junto con la fascinante historia de (para algunos) una noción aborrecible y para otros un bien cultural, describe cómo el cero se aplica mal con respecto a la multiplicación y la división. 
• Alfred Tarski 1941 (edición de Dover de 1995), Introducción a la lógica y a la metodología de las ciencias deductivas , Dover Publications, Inc., Mineola, Nueva York. ISBN 0-486-28462-X (pbk.). Las definiciones §53 de Tarski, cuyo definiendum contiene el signo de identidad, discute cómo se cometen los errores (al menos con respecto a cero). Termina su capítulo "(Aquí se omitirá una discusión de este problema bastante difícil [exactamente un número que satisface un definiens]. *)" (P. 183). El * apunta al ejercicio # 24 (p. 189) en el que pide una prueba de lo siguiente: "En la sección 53, la definición del número '0' se estableció a modo de ejemplo. Para estar seguro de que esta definición no conducir a una contradicción,debe ir precedido del siguiente teorema: Existe exactamente un número x tal que, para cualquier número y, uno tiene: y + x = y "

Lectura adicional

• Jakub Czajko (julio de 2004) " Sobre el espacio-tiempo cantoriano sobre sistemas numéricos con división por cero ", Caos, solitones y fractales , volumen 21, número 2, páginas 261–271.
• Ben Goldacre (7 de diciembre de 2006). "Profesor de matemáticas divide por cero, dice BBC" .
• Continuar con la continuidad Metaphysica 6, págs. 91-109, un artículo de filosofía de 2005, reintrodujo la idea (india antigua) de un número entero aplicable igual a 1/0, en un estilo más moderno (cantoriano).