El analista (subtitulado Un discurso dirigido a un matemático infiel: donde se examina si el objeto, los principios y las inferencias del análisis moderno se conciben de manera más distintiva o se deducen de manera más evidente que los misterios religiosos y los puntos de fe ) es un libro publicado por George Berkeley en 1734. Se cree que el "matemático infiel" fue Edmond Halley , aunque otros han especulado que Sir Isaac Newton era la intención. Ver ( Burton 1997 , 477).
Antecedentes y objetivo
Desde sus primeros días como escritor, Berkeley había tomado su pluma satírica para atacar a los entonces llamados ' librepensadores ' (secularistas, escépticos, agnósticos, ateos, etc.) en resumen, cualquiera que dudara de las verdades de la religión cristiana recibida. o pidió una disminución de la religión en la vida pública). En 1732, en la última entrega de este esfuerzo, Berkeley publicó su Alciphron , una serie de diálogos dirigidos a diferentes tipos de "librepensadores". Uno de los arquetipos que Berkeley abordó fue el científico secular, que descartó los misterios cristianos como supersticiones innecesarias y declaró su confianza en la certeza de la razón y la ciencia humanas. En contra de sus argumentos, Berkeley montó una sutil defensa de la validez y utilidad de estos elementos de la fe cristiana.
Alciphron fue muy leído y causó cierto revuelo. Pero fue un comentario brusco que se burló de los argumentos de Berkeley por parte del astrónomo real "librepensador" Sir Edmund Halley lo que llevó a Berkeley a tomar su bolígrafo de nuevo e intentar una nueva táctica. El resultado fue El analista , concebido como una sátira que ataca los fundamentos de las matemáticas con el mismo vigor y estilo con el que los "librepensadores" atacaban rutinariamente las verdades religiosas.
Berkeley trató de desarmar las matemáticas, afirmó descubrir numerosos vacíos en la demostración, atacó el uso de infinitesimales, la diagonal del cuadrado unitario, la existencia misma de los números, etc. El punto general no era tanto burlarse de las matemáticas o de los matemáticos, sino más bien para mostrar que los matemáticos, como los cristianos, se basaban en "misterios" incomprensibles en los fundamentos de su razonamiento. Además, la existencia de estas "supersticiones" no fue fatal para el razonamiento matemático, de hecho fue una ayuda. Lo mismo ocurre con los fieles cristianos y sus "misterios". Berkeley concluyó que la certeza de las matemáticas no es mayor que la certeza de la religión.
Contenido
The Analyst fue un ataque directo a los fundamentos del cálculo , específicamente a la noción de fluxiones de Newton y a la noción de cambio infinitesimal de Leibniz . En la sección 16, Berkeley critica
... la forma falaz de proceder a un cierto punto en la suposición de un incremento, y luego cambiar de inmediato su suposición a la de ningún incremento. . . Ya que si esta segunda suposición se hubiera hecho antes de la división común por o , todo se habría desvanecido a la vez, y no debe haber obtenido nada de su suposición. Mientras que por este artificio de dividir primero y luego cambiar su suposición, retiene 1 y nx n-1 . Pero, a pesar de todo este discurso para taparlo, la falacia sigue siendo la misma. [1]
Su pasaje citado con más frecuencia:
¿Y qué son estas fluxiones? ¿Las velocidades de los incrementos evanescentes? ¿Y cuáles son estos mismos Incrementos evanescentes? No son Cantidades finitas ni Cantidades infinitamente pequeñas, ni tampoco nada. ¿No podemos llamarlos los fantasmas de las cantidades que partieron? [2]
Berkeley no cuestionó los resultados del cálculo; reconoció que los resultados eran ciertos. La idea central de su crítica fue que el cálculo no era lógicamente más riguroso que la religión. En cambio, cuestionó si los matemáticos "se someten a la Autoridad, toman las cosas en la Confianza" [3] tal como lo hacían los seguidores de principios religiosos. Según Burton, Berkeley introdujo una ingeniosa teoría de la compensación de errores que estaba destinada a explicar la exactitud de los resultados del cálculo. Berkeley sostuvo que los practicantes del cálculo introdujeron varios errores que cancelaron, dejando la respuesta correcta. En sus propias palabras, "en virtud de un doble error se llega, aunque no a la ciencia, sino a la verdad". [4]
Análisis
La idea de que Newton fue el destinatario previsto del discurso se pone en duda por un pasaje que aparece hacia el final del libro: "Pregunta 58: Si es realmente un efecto del Pensamiento, que los mismos Hombres admiran al gran autor por su Fluxions, y se burla de él por su religión? " [5]
Aquí Berkeley ridiculiza a los que celebran a Newton (el inventor de "fluxions", aproximadamente equivalente a los diferenciales de versiones posteriores del cálculo diferencial) como un genio mientras se burla de su conocida religiosidad. Dado que Berkeley está llamando aquí explícitamente la atención sobre la fe religiosa de Newton, eso parece indicar que no pretendía que sus lectores identificaran al "matemático infiel (es decir, falto de fe)" con Newton.
La historiadora de las matemáticas Judith Grabiner comenta: “Las críticas de Berkeley al rigor del cálculo fueron ingeniosas, poco amables y, con respecto a las prácticas matemáticas que estaba criticando, esencialmente correctas” ( Grabiner 1997 ). Si bien sus críticas a las prácticas matemáticas fueron sólidas, su ensayo ha sido criticado por motivos lógicos y filosóficos.
Por ejemplo, David Sherry sostiene que la crítica de Berkeley al cálculo infinitesimal consiste en una crítica lógica y una crítica metafísica. La crítica lógica es la de una fallacia suppositionis , que significa ganar puntos en un argumento por medio de un supuesto y, manteniendo esos puntos, concluir el argumento con un supuesto contradictorio. La crítica metafísica es un desafío a la existencia misma de conceptos como fluxiones, momentos e infinitesimales, y tiene sus raíces en la filosofía empirista de Berkeley que no tolera expresión sin referente ( Sherry 1987 ). Andersen (2011) mostró que la doctrina de Berkeley de la compensación de errores contiene una circularidad lógica. Es decir, Berkeley se basa en la determinación de Apolonio de la tangente de la parábola en la propia determinación de Berkeley de la derivada de la función cuadrática.
Influencia
Dos años después de esta publicación, Thomas Bayes publicó de forma anónima "Una introducción a la doctrina de las fluxiones y una defensa de los matemáticos contra las objeciones del autor del analista" (1736), en la que defendía el fundamento lógico del cálculo de Isaac Newton. contra las críticas esbozadas en The Analyst . El Tratado de Fluxiones en dos volúmenes de Colin Maclaurin publicado en 1742 también comenzó como una respuesta a los ataques de Berkeley, con la intención de mostrar que el cálculo de Newton era riguroso al reducirlo a los métodos de la geometría griega ( Grabiner 1997 ).
A pesar de estos intentos, el cálculo continuó desarrollándose utilizando métodos no rigurosos hasta alrededor de 1830 cuando Augustin Cauchy , y más tarde Bernhard Riemann y Karl Weierstrass , redefinieron la derivada y la integral utilizando una definición rigurosa del concepto de límite . La idea de utilizar límites como base para el cálculo había sido sugerida por d'Alembert , pero la definición de d'Alembert no era rigurosa para los estándares modernos ( Burton 1997 ). El concepto de límites ya había aparecido en la obra de Newton ( Pourciau 2001 ), pero no se planteó con suficiente claridad para resistir las críticas de Berkeley ( Edwards 1994 ).
En 1966, Abraham Robinson introdujo el análisis no estándar , que proporcionó una base rigurosa para trabajar con cantidades infinitamente pequeñas. Esto proporcionó otra forma de aplicar un cálculo de base matemáticamente riguroso de la forma en que se hizo antes de que se hubiera desarrollado completamente la definición de límite (ε, δ) .
Fantasmas de cantidades difuntas
Hacia el final de The Analyst, Berkeley aborda las posibles justificaciones de los fundamentos del cálculo que pueden proponer los matemáticos. En respuesta a la idea, las fluxiones podrían definirse utilizando las relaciones últimas de cantidades que desaparecen ( Boyer 1991 ). , Berkeley escribió:
De hecho, debe reconocerse que [Newton] usó Fluxiones, como el Andamio de un edificio, como cosas para dejar a un lado o deshacerse de ellas, tan pronto como las Líneas finitas se encontraron proporcionales a ellas. Pero luego estos exponentes finitos se encuentran con la ayuda de Fluxions. Por lo tanto, todo lo que se obtenga mediante tales exponentes y proporciones debe atribuirse a las fluxiones: que, por lo tanto, deben entenderse previamente. ¿Y qué son estas fluxiones? ¿Las velocidades de los incrementos evanescentes? ¿Y cuáles son estos mismos Incrementos evanescentes? No son Cantidades finitas ni Cantidades infinitamente pequeñas, ni tampoco nada. ¿No podemos llamarlos los Fantasmas de las Cantidades que partieron? [6]
Edwards describe esto como el punto más memorable del libro ( Edwards 1994 ). Katz y Sherry argumentan que la expresión estaba destinada a abordar tanto los infinitesimales como la teoría de las fluxiones de Newton. ( Katz y Sherry 2012 )
Hoy en día, la frase "fantasmas de cantidades diferidas" también se usa cuando se discuten los ataques de Berkeley a otros posibles fundamentos del cálculo. En particular, se utiliza cuando se habla de infinitesimales ( Arkeryd 2005 ), pero también se utiliza cuando se habla de diferenciales ( Leader 1986 ) y de la adecuación ( Kleiner y Movshovitz-Hadar 1994 ).
Texto y comentario
El texto completo de The Analyst se puede leer en Wikisource , así como en el sitio web de David R. Wilkins, [7] que incluye algunos comentarios y enlaces a las respuestas de los contemporáneos de Berkeley.
El Analista también se reproduce, con comentario, en trabajos recientes:
- De Kant a Hilbert de William Ewald : un libro de consulta sobre los fundamentos de las matemáticas . [8]
Ewald concluye que las objeciones de Berkeley al cálculo de su época fueron en su mayoría bien tomadas en ese momento.
- Descripción general de DM Jesseph en 2005 "Landmark Writings in Western Mathematics". [9]
Referencias
- ^ Berkeley, George (1734). . Londres. pag. 25 - a través de Wikisource .
- ^ Ibíd. , pag. 59.
- ^ Ibíd. , pag. 93.
- ^ Ibíd. , pag. 34.
- ^ Ibíd. , pag. 92.
- ^ Ibíd. , pag. 59.
- ^ Wilkins, DR (2002). "El Analista" . La Historia de las Matemáticas . Trinity College, Dublín.
- ^ Ewald, William, ed. (1996). De Kant a Hilbert: un libro de consulta sobre los fundamentos de las matemáticas . Yo . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0198534709.
- ^ Jesseph, DM (2005). "El analista". En Grattan-Guinness, Ivor (ed.). Escritos emblemáticos en matemáticas occidentales 1640–1940 . Elsevier. págs. 121-30. ISBN 978-0444508713.
Fuentes
- Kirsti, Andersen (2011), "Uno de los argumentos de Berkeley sobre la compensación de errores en el cálculo", Historia Mathematica , 38 (2): 219–318, doi : 10.1016 / j.hm.2010.07.001
- Arkeryd, Leif (diciembre de 2005), "Análisis no estándar", The American Mathematical Monthly , 112 (10): 926–928, doi : 10.2307 / 30037635 , JSTOR 30037635
- Błaszczyk, Piotr; Katz, Mikhail ; Sherry, David (2012), "Diez conceptos erróneos de la historia del análisis y su desacreditación", Foundations of Science , 18 : 43–74, arXiv : 1202.4153 , doi : 10.1007 / s10699-012-9285-8
- Boyer, C ; Merzbach, U (1991), A History of Mathematics (2 ed.)
- Burton, David (1997), La historia de las matemáticas: una introducción , McGraw-Hill
- Edwards, CH (1994), El desarrollo histórico del cálculo , Springer
- Grabiner, Judith (mayo de 1997), "¿Fue el cálculo de Newton un callejón sin salida? La influencia continental del Tratado de fluxiones de Maclaurin" , The American Mathematical Monthly , 104 (5): 393–410, doi : 10.2307 / 2974733 , JSTOR 2974733
- Grabiner, Judith V. (diciembre de 2004), "Newton, Maclaurin y la autoridad de las matemáticas" , The American Mathematical Monthly , 111 (10): 841–852, doi : 10.2307 / 4145093 , JSTOR 4145093
- Katz, Mikhail ; Sherry, David (2012), "Infinitesimales de Leibniz: su ficcionalidad, sus implementaciones modernas y sus enemigos desde Berkeley hasta Russell y más allá", Erkenntnis , 78 (3): 571–625, arXiv : 1205.0174 , doi : 10.1007 / s10670- 012-9370-y
- Kleiner, I .; Movshovitz-Hadar, N. (diciembre de 1994), "El papel de las paradojas en la evolución de las matemáticas", The American Mathematical Monthly , 101 (10): 963–974, doi : 10.2307 / 2975163 , JSTOR 2975163
- Líder, Solomon (mayo de 1986), "¿Qué es un diferencial? Una nueva respuesta de la integral de Riemann generalizada", The American Mathematical Monthly , 93 (5): 348–356, doi : 10.2307 / 2323591 , JSTOR 2323591
- Pourciau, Bruce (2001), "Newtion y la noción de límite", Historia Math. , 28 (1): 393–30, doi : 10.1006 / hmat.2000.2301
- Robert, Alain (1988), Análisis no estándar , Nueva York: Wiley, ISBN 978-0-471-91703-8
- Sherry, D. (1987), "El despertar del analista de Berkeley: ¿ Rigor matemático ?", Estudios en filosofía y ciencia histórica , 18 (4): 455–480, doi : 10.1016 / 0039-3681 (87) 90003-3
- Wren, FL; Garrett, JA (mayo de 1933), "The Development of the Fundamental Concepts of Infinitesimal Analysis", The American Mathematical Monthly , 40 (5): 269-281, doi : 10.2307 / 2302202 , JSTOR 2302202
enlaces externos
- Trabajos relacionados con El analista: un discurso dirigido a un matemático infiel en Wikisource