Funciones elípticas de Dixon

En matemáticas, las funciones elípticas de Dixon sm y cm son dos funciones elípticas ( funciones meromórficas doblemente periódicas en el plano complejo ) que se asignan desde cada hexágono regular en un mosaico hexagonal hasta el plano complejo completo. Debido a que estas funciones satisfacen la identidad , como funciones reales parametrizan la curva cúbica de Fermat , así como las funciones trigonométricas seno y coseno parametrizan el círculo unitario .${\ Displaystyle \ operatorname {cm} ^ {3} z + \ operatorname {sm} ^ {3} z = 1}$ ${\ Displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} = 1}$ ${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$

Fueron nombrados sm y cm por Alfred Dixon en 1890, por analogía con las funciones trigonométricas seno y coseno y las funciones elípticas de Jacobi sn y cn; Göran Dillner los describió anteriormente en 1873. ^[1]

O como la inversa del mapeo de Schwarz-Christoffel del disco unitario complejo a un triángulo equilátero, la integral abeliana : ^[3]

Tanto sm como cm tienen un período a lo largo del eje real de con la función beta : ^[5]${\ Displaystyle \ pi _ {3} = \ mathrm {B} {\ bigl (} {\ tfrac {1} {3}}, {\ tfrac {1} {3}} {\ bigr)} \ approx 5.29991625}$${\ Displaystyle \ mathrm {B}}$

Las funciones elípticas de Dixon cm, sm aplicadas a un argumento de valor real x . Ambas funciones son periódicas con período real${\ Displaystyle \ pi _ {3} \ aproximadamente 5.29991625}$

La función parametriza la curva de Fermat cúbica, con el área del sector igual a la mitad del argumento .${\ Displaystyle t \ mapsto (\ operatorname {cm} t, \ operatorname {sm} t)}$${\ Displaystyle t}$

Curva elíptica para la función ℘ de Weierstrass relacionada con las funciones elípticas de Dixon.${\ Displaystyle y ^ {2} = 4x ^ {2} - {\ tfrac {1} {27}}}$${\ Displaystyle z \ mapsto \ wp {\ bigl (} z; 0, {\ tfrac {1} {27}} {\ bigr)}}$

Una proyección cartográfica conforme del globo terráqueo en un octaedro. Debido a que el octaedro tiene caras de triángulos equiláteros, esta proyección se puede describir en términos de funciones sm y cm.