El conejo Douady es cualquiera de varios conjuntos de Julia rellenos particulares asociados con el parámetro cerca del período central 3 brotes del conjunto de Mandelbrot para un mapa cuadrático complejo .
los colores muestran iteraciones
Los niveles de gris indican la velocidad de convergencia al infinito o al ciclo atractivo.
límites de conjuntos de niveles
conejo gordo
con espina
rayos externos que aterrizan en un punto fijo.
Conejo perturbado [1]
Zoom de conejo perturbado
Nombre
El conejo de Douady o el conejo de Douady lleva el nombre del matemático francés Adrien Douady . [2]
El conejo gordo o el conejo regordete tienen c en la raíz de 1/3 de la rama del conjunto de Mandelbrot . Tiene un punto fijo parabólico con 3 pétalos . [3]
Formas del mapa cuadrático complejo
Hay dos formas comunes para el mapa cuadrático complejo. El primero, también llamado mapa logístico complejo , se escribe como
dónde es una variable compleja y es un parámetro complejo. La segunda forma común es
Aquí es una variable compleja y es un parámetro complejo. Las variables y están relacionados por la ecuación
y los parámetros y están relacionados por las ecuaciones
Tenga en cuenta que es invariante bajo la sustitución .
Conjuntos de Mandelbrot y Julia llena
Hay dos planos asociados con . Uno de estos, el (o ) plano, se llamará plano de mapeo , ya queenvía este plano a sí mismo. El otro, el (o ) plano, se llamará plano de control.
La naturaleza de lo que sucede en el plano cartográfico bajo la aplicación repetida de depende de donde (o ) está en el plano de control. El conjunto de Julia lleno consta de todos los puntos en el plano de mapeo cuyas imágenes permanecen delimitadas bajo aplicaciones repetidas indefinidamente de. El conjunto de Mandelbrot consta de aquellos puntos en el plano de control de modo que el conjunto de Julia relleno asociado en el plano de mapeo está conectado.
La figura 1 muestra el conjunto de Mandelbrot cuando es el parámetro de control, y la Figura 2 muestra el conjunto de Mandelbrot cuando es el parámetro de control. Desde y son transformaciones afines entre sí (una transformación lineal más una traslación), los conjuntos de Julia llenos se ven muy parecidos en los o aviones.
El conejo Douady
[ aclaración necesaria ]
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/9/98/Rabbit-lamination.png/220px-Rabbit-lamination.png)
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/a/ad/Douday_rabbit_rough_dynamics.png/220px-Douday_rabbit_rough_dynamics.png)
El conejo Douady se describe más fácilmente en términos del conjunto de Mandelbrot como se muestra en la Figura 1 (arriba). En esta figura, el conjunto de Mandelbrot, al menos cuando se ve desde la distancia, aparece como dos discos de unidad espalda con espalda con brotes. Considere los brotes en las posiciones de la una y las cinco en el disco derecho o los brotes en las posiciones de las siete y once en el disco izquierdo. Cuándoestá dentro de uno de estos cuatro brotes, el conjunto de Julia relleno asociado en el plano de mapeo es un conejo Douady. Para estos valores de, se puede demostrar que posee y otro punto como puntos fijos inestables (repelentes), y como un punto fijo de atracción. Además, el mapatiene tres puntos fijos de atracción. El conejo de Douady consta de tres puntos fijos de atracción., , y y sus cuencas de atracción.
Por ejemplo, la Figura 3 muestra el conejo de Douady en el avión cuando , un punto en el brote de las cinco en punto del disco derecho. Por este valor de, el mapa tiene los puntos fijos repelentes y . Los tres puntos fijos de atracción de (también llamado período-tres puntos fijos) tienen las ubicaciones
Los puntos rojo, verde y amarillo se encuentran en los lavabos. , , y de , respectivamente. Los puntos blancos se encuentran en la cuenca. de .
La acción de sobre estos puntos fijos viene dada por las relaciones
Correspondiendo a estas relaciones están los resultados
Note la maravillosa estructura fractal en los límites de la cuenca.
Como segundo ejemplo, la Figura 4 muestra un conejo Douady cuando , un punto en el brote de las once en el disco izquierdo. (Como se menciono anteriormente,es invariante bajo esta transformación.) El conejo ahora se sienta más simétricamente en la página. Los tres puntos fijos del período se encuentran en
Los puntos fijos repelentes de en sí están ubicados en y . Los tres lóbulos principales de la izquierda, que contienen el período: tres puntos fijos.,, y , reunirse en el punto fijo , y sus contrapartes de la derecha se encuentran en el punto . Se puede demostrar que el efecto de en puntos cercanos al origen consiste en una rotación en sentido antihorario sobre el origen de , o muy cerca , seguido de escala (dilatación) por un factor de .
Ver también
- Curva de dragón
- Anillo herman
- Disco Siegel
- Problema del conejo retorcido [4] [ ¿por qué? ]
Referencias
- ^ Artículos de investigación recientes (solo desde 1999) Robert L. Devaney: conejos, basílicas y otros juegos de Julia envueltos en alfombras Sierpinski
- ^ " Conjuntos de Julia y el conjunto de Mandelbrot Archivado el 07 de agosto de 2016 en la Wayback Machine ", Math.Bard.edu .
- ^ Nota sobre perturbaciones dinámicamente estables de parabólicos por Tomoki Kawahira Archivado el 2 de octubre de 2006 en Wayback Machine
- ^ Equivalencia de Thurston de polinomios topológicos por Laurent Bartholdi, Volodymyr Nekrashevych
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Fractal de conejo Douady" . MathWorld .
- Dragt, A. "Métodos de mentira para dinámica no lineal con aplicaciones a la física del acelerador" .
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