Rayo externo

Un rayo externo es una curva que va desde el infinito hacia un conjunto de Julia o Mandelbrot . ^[1] Aunque esta curva rara vez es una media línea (rayo), se le llama rayo porque es una imagen de un rayo.

Los rayos externos se utilizan en análisis complejos , particularmente en dinámica compleja y teoría de funciones geométricas .

Historia

Los rayos externos se introdujeron en el estudio de Douady y Hubbard del conjunto de Mandelbrot

Tipos

Criterios de clasificación:

• plano: parámetro o dinámico
• mapa
• bifurcación de rayos dinámicos
• Extensión

avión

Los rayos externos de los conjuntos de Julia (conectados) en el plano dinámico a menudo se denominan rayos dinámicos .

Los rayos externos del conjunto de Mandelbrot (y lugares de conexión unidimensionales similares ) en el plano de parámetros se denominan rayos de parámetros .

bifurcación

El rayo dinámico puede ser:

• bifurcado = ramificado ^[2] = roto ^[3]
• no ramificado = suave

Cuando el conjunto de Julia lleno está conectado, no hay brazos de rayos externos. Cuando el conjunto de Julia no está conectado, se activan algunos rayos externos ^[4]

extensión

Los rayos de estiramiento fueron introducidos por Branner y Hubbard ^[5]

"la noción de rayos que se estiran es una generalización de la de rayos externos para el conjunto de Mandelbrot en polinomios de grado superior". ^[6]

Mapas

Polinomios

Plano dinámico = plano z

Los rayos externos están asociados a un subconjunto compacto , completo y conectado${\displaystyle K\,}$del plano complejo como:

• las imágenes de rayos radiales bajo el mapa de Riemann del complemento de${\displaystyle K\,}$
• las líneas de degradado de la función de Green de${\displaystyle K\,}$
• líneas de campo de potencial de Douady-Hubbard ^[7]
• una curva integral del campo vectorial de gradiente de la función de Green en la vecindad del infinito ^[8]

Los rayos externos junto con las líneas equipotenciales del potencial de Douady-Hubbard (conjuntos de niveles) forman un nuevo sistema de coordenadas polares para el exterior ( complemento ) de${\displaystyle K\,}$.

En otras palabras, los rayos externos definen la foliación vertical que es ortogonal a la foliación horizontal definida por los conjuntos de niveles de potencial. ^[9]

Uniformización

Dejar ${\displaystyle \Psi _{c}\,}$ser el isomorfismo conforme del complemento (exterior) del disco unitario cerrado ${\displaystyle {\overline {\mathbb {D} }}}$al complemento del set lleno de Julia ${\displaystyle \ K_{c}}$.

${\displaystyle \Psi _{c}:{\hat {\mathbb {C} }}\setminus {\overline {\mathbb {D} }}\to {\hat {\mathbb {C} }}\setminus K_{c}}$

dónde ${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}}$denota el plano complejo extendido . Dejar${\displaystyle \Phi _{c}=\Psi _{c}^{-1}\,}$denotar el mapa de Boettcher . ^[10]${\displaystyle \Phi _{c}\,}$es un mapa uniformizador de la cuenca de atracción del infinito, porque conjuga${\displaystyle f_{c}}$ en el complemento del set lleno de Julia ${\displaystyle K_{c}}$ a ${\displaystyle f_{0}(z)=z^{2}}$ en el complemento del disco unitario:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{c}:{\hat {\mathbb {C} }}\setminus K_{c}&\to {\hat {\mathbb {C} }}\setminus {\overline {\mathbb {D} }}\\z&\mapsto \lim _{n\to \infty }(f_{c}^{n}(z))^{2^{-n}}\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle \Phi _{c}\circ f_{c}\circ \Phi _{c}^{-1}=f_{0}}$

Un valor ${\displaystyle w=\Phi _{c}(z)}$se llama coordenada de Boettcher para un punto${\displaystyle z\in {\hat {\mathbb {C} }}\setminus K_{c}}$.

Definición formal de rayo dinámico

sistema de coordenadas polares y Ψ _c para c = −2

El rayo de ángulo externo${\displaystyle \theta \,}$ anotado como ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\theta }^{K}}$es:

• la imagen debajo ${\displaystyle \Psi _{c}\,}$ de lineas rectas ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\theta }=\{\left(r\cdot e^{2\pi i\theta }\right):\ r>1\}}$

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\theta }^{K}=\Psi _{c}({\mathcal {R}}_{\theta })}$

• conjunto de puntos del exterior del conjunto de Julia rellenado con el mismo ángulo externo ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\theta }^{K}=\{z\in {\hat {\mathbb {C} }}\setminus K_{c}:\arg(\Phi _{c}(z))=\theta \}}$

Propiedades

El rayo externo para un ángulo periódico ${\displaystyle \theta \,}$ satisface:

${\displaystyle f({\mathcal {R}}_{\theta }^{K})={\mathcal {R}}_{2\theta }^{K}}$

y su punto de aterrizaje ^[11] ${\displaystyle \gamma _{f}(\theta )}$ satisface:

${\displaystyle f(\gamma _{f}(\theta ))=\gamma _{f}(2\theta )}$

Plano de parámetros = plano c

"Los rayos de parámetros son simplemente las curvas que corren perpendiculares a las curvas equipotenciales del conjunto M". ^[12]

Uniformización

Límite de Mandelbrot establecido como una imagen de círculo unitario bajo ${\displaystyle \Psi _{M}\,}$

Uniformización del complemento (exterior) del conjunto de Mandelbrot

Dejar ${\displaystyle \Psi _{M}\,}$ser el mapeo del complemento (exterior) del disco unitario cerrado ${\displaystyle {\overline {\mathbb {D} }}}$al complemento del conjunto Mandelbrot ${\displaystyle \ M}$.

${\displaystyle \Psi _{M}:\mathbb {\hat {C}} \setminus {\overline {\mathbb {D} }}\to \mathbb {\hat {C}} \setminus M}$

y mapa de Boettcher (función) ${\displaystyle \Phi _{M}\,}$, que es un mapa de uniformización ^[13] del complemento del conjunto de Mandelbrot, porque conjuga el complemento del conjunto de Mandelbrot ${\displaystyle \ M}$y el complemento (exterior) del disco unitario cerrado

${\displaystyle \Phi _{M}:\mathbb {\hat {C}} \setminus M\to \mathbb {\hat {C}} \setminus {\overline {\mathbb {D} }}}$

se puede normalizar para que:

${\displaystyle {\frac {\Phi _{M}(c)}{c}}\to 1\ as\ c\to \infty \,}$^[14]

dónde :

${\displaystyle \mathbb {\hat {C}} }$denota el plano complejo extendido

Función de Jungreis ${\displaystyle \Psi _{M}\,}$es el inverso del mapa de uniformización :

${\displaystyle \Psi _{M}=\Phi _{M}^{-1}\,}$

En el caso de polinomio cuadrático complejo, se puede calcular este mapa utilizando la serie de Laurent sobre el infinito ^{[15] [16]}

${\displaystyle c=\Psi _{M}(w)=w+\sum _{m=0}^{\infty }b_{m}w^{-m}=w-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8w}}-{\frac {1}{4w^{2}}}+{\frac {15}{128w^{3}}}+...\,}$

dónde

${\displaystyle c\in \mathbb {\hat {C}} \setminus M}$

${\displaystyle w\in \mathbb {\hat {C}} \setminus {\overline {\mathbb {D} }}}$

Definición formal del rayo de parámetros

El rayo de ángulo externo${\displaystyle \theta \,}$ es:

• la imagen debajo ${\displaystyle \Psi _{c}\,}$ de lineas rectas ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\theta }=\{\left(r*e^{2\pi i\theta }\right):\ r>1\}}$

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\theta }^{M}=\Psi _{M}({\mathcal {R}}_{\theta })}$

• conjunto de puntos de exterior de Mandelbrot conjunto con el mismo ángulo externo ${\displaystyle \theta }$^[17]

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\theta }^{M}=\{c\in \mathbb {\hat {C}} \setminus M:\arg(\Phi _{M}(c))=\theta \}}$

Definicion de ${\displaystyle \Phi _{M}\,}$

Douady y Hubbard definen:

${\displaystyle \Phi _{M}(c)\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \Phi _{c}(z=c)\,}$

tan ángulo externo del punto ${\displaystyle c\,}$ del plano del parámetro es igual al ángulo externo del punto ${\displaystyle z=c\,}$ de plano dinámico

Ángulo externo

El ángulo θ se denomina ángulo externo ( argumento ). ^[18]

El valor principal de los ángulos externos se mide en vueltas módulo 1

1 vuelta = 360 grados = 2 × π radianes

Compara diferentes tipos de ángulos:

• externo (punto del exterior del set)
• interno (punto del interior del componente)
• llano ( argumento de número complejo )

	ángulo externo	ángulo interno	ángulo llano
plano de parámetros	${\displaystyle \arg(\Phi _{M}(c))\,}$	${\displaystyle \arg(\rho _{n}(c))\,}$	${\displaystyle \arg(c)\,}$
plano dinámico	${\displaystyle \arg(\Phi _{c}(z))\,}$		${\displaystyle \arg(z)\,}$

Cálculo de argumentos externos

• argumento de la coordenada de Böttcher como argumento externo ^[19]
  • ${\displaystyle \arg _{M}(c)=\arg(\Phi _{M}(c))}$
  • ${\displaystyle \arg _{c}(z)=\arg(\Phi _{c}(z))}$
• secuencia de amasado como una expansión binaria de un argumento externo ^{[20] [21] [22]}

Mapas trascendentales

Para los mapas trascendentales (por ejemplo, exponencial ) el infinito no es un punto fijo sino una singularidad esencial y no hay isomorfismo de Boettcher . ^{[23] [24]}

Aquí el rayo dinámico se define como una curva:

• conectando un punto en un conjunto de escape y el infinito ^{[ aclaración necesaria ]}
• acostado en un conjunto de escape

Imagenes

Rayos dinámicos

• no ramificado
• 

  Julia se prepara para ${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}-1}$ con 2 rayos externos que aterrizan en repelente de punto fijo alfa

• 

  Conjunto de Julia y 3 rayos externos que aterrizan en punto fijo${\displaystyle \alpha _{c}\,}$

• 

  Rayos externos dinámicos que aterrizan en el período repelente de 3 ciclos y 3 rayos internos que aterrizan en un punto fijo ${\displaystyle \alpha _{c}\,}$

• 

  Conjunto de Julia con rayos externos que aterrizan en la órbita del período 3

• "> Reproducir medios

  Rayos que aterrizan en un punto fijo parabólico durante períodos 2-40