El disco de Siegel es un componente conectado en el conjunto de Fatou donde la dinámica se conjuga analíticamente con una rotación irracional .
Descripción
Dado un endomorfismo holomórfico sobre una superficie de Riemann consideramos el sistema dinámico generado por las iteraciones de denotado por . Luego llamamos a la órbita de como el conjunto de iteraciones hacia adelante de . Nos interesa el comportamiento asintótico de las órbitas en (que normalmente será , el plano complejo o, la esfera de Riemann ), y llamamosel plano de fase o plano dinámico .
Un posible comportamiento asintótico para un punto debe ser un punto fijo o, en general, un punto periódico . En este ultimo caso dónde es el período y medio es un punto fijo. Entonces podemos definir el multiplicador de la órbita comoy esto nos permite clasificar las órbitas periódicas como atrayentes si superactivo si), repeler si e indiferente si . Las órbitas periódicas indiferentes pueden ser racionalmente indiferentes o irracionalmente indiferentes , dependiendo de si para algunos o para todos , respectivamente.
Los discos de Siegel son uno de los posibles casos de componentes conectados en el conjunto de Fatou (el conjunto complementario del conjunto de Julia ), según la Clasificación de componentes de Fatou , y pueden ocurrir alrededor de puntos periódicos irracionalmente indiferentes. El conjunto de Fatou es, aproximadamente, el conjunto de puntos donde los iterados se comportan de manera similar a sus vecinos (forman una familia normal ). Los discos de Siegel corresponden a puntos donde la dinámica dese conjugan analíticamente con una rotación irracional del disco unitario complejo.
Nombre
El disco lleva el nombre de Carl Ludwig Siegel .
Galería
Julia se prepara para , dónde y es la proporción áurea . Se enfatizaron las órbitas de algunos puntos dentro del disco Siegel.
Julia se prepara para , dónde y es la proporción áurea . Se destacaron las órbitas de algunos puntos dentro del disco de Siegel . El disco de Siegel no tiene límites o su límite es un continuo indecomponible . [1]
Julia llena para para el número de rotación de la media áurea con color interior proporcional a la velocidad discreta promedio en la órbita = abs (z_ (n + 1) - z_n). Tenga en cuenta que solo hay un disco de Siegel y muchas imágenes previas de las órbitas dentro del disco de Siegel
Inflado del disco Siegel cerca de 1/2
Inflado del disco de Siegel cerca de 1/3. Se puede ver el disco Siegel virtual
Inflado del disco Siegel cerca de 2/7
Julia establece para fc (z) = z * z + c donde c = -0,749998153581339 + 0,001569040474910 * I. El ángulo interno en vueltas es t = 0.49975027919634618290
Julia conjunto de polinomio cuadrático con disco Siegel para número de rotación [3,2,1000,1 ...]
Definicion formal
Dejar ser un endomorfismo holomorfo dondees una superficie de Riemann , y sea U un componente conectado del conjunto Fatou. Decimos que U es un disco Siegel de f alrededor del punto si existe un biholomorfismo dónde es el disco de la unidad y tal que para algunos y .
El teorema de Siegel prueba la existencia de discos de Siegel para números irracionales que satisfacen una condición de irracionalidad fuerte (una condición diofántica ), resolviendo así un problema abierto desde que Fatou conjeturaba su teorema sobre la Clasificación de componentes de Fatou . [2]
Posteriormente Alexander D. Brjuno mejoró esta condición sobre la irracionalidad, ampliándola a los números de Brjuno . [3]
Esto es parte del resultado de la Clasificación de componentes Fatou .
Ver también
Referencias
- ^ Rubén Berenguel y Núria Fagella Toda una familia trascendental con un disco Siegel persistente, preimpresión de 2009: arXiV: 0907.0116
- ^ Lennart Carleson y Theodore W. Gamelin, Dinámica compleja , Springer 1993
- ^ Milnor, John W. (2006), Dinámica en una variable compleja , Anales de estudios matemáticos, 160 (Tercera ed.), Princeton University Press(Apareció por primera vez en 1990 como Stony Brook IMS Preprint Archivado 2006-04-24 en Wayback Machine , disponible como arXiV: math.DS / 9201272 ).
- Discos Siegel en Scholarpedia