En matemáticas , específicamente en el análisis funcional , el teorema de los bicommutantes de von Neumann relaciona el cierre de un conjunto de operadores acotados en un espacio de Hilbert en determinadas topologías con el bicomutante de ese conjunto. En esencia, es una conexión entre los lados algebraico y topológico de la teoría del operador .
El enunciado formal del teorema es el siguiente:
- Teorema de los bicommutantes de Von Neumann. Sea M un álgebra que consta de operadores acotados en un espacio de Hilbert H , que contiene el operador de identidad y adjuntos cerrados . A continuación, los cierres de M en la topología operador débil y la topología fuerte operador son iguales, y son a su vez igual a la bicommutant M '' de M .
Esta álgebra se llama el álgebra de von Neumann generada por M .
Hay varias otras topologías en el espacio de operadores acotados, y uno puede preguntarse cuáles son las * -álgebras cerradas en estas topologías. Si M es cerrado en la topología normal, entonces es un álgebra C * , pero no necesariamente un álgebra de von Neumann. Un ejemplo es el C * -álgebra de operadores compactos (en un espacio de Hilbert de dimensión infinita). Para la mayoría de las otras topologías comunes, las álgebras * cerradas que contienen 1 son álgebras de von Neumann; esto se aplica en particular al operador débil, fuerte operador, operador * -fuerte, ultraweak , ultrarresistentes , y * topologías -ultrastrong.
Está relacionado con el teorema de la densidad de Jacobson .
Prueba
Deje H sea un espacio de Hilbert y L ( H ) los operadores limitado en H . Considere una subálgebra unital autoadjunta M de L ( H ) (esto significa que M contiene los adjuntos de sus miembros y el operador de identidad en H ).
El teorema es equivalente a la combinación de los siguientes tres enunciados:
- (i) cl W ( M ) ⊆ M ′ ′
- (ii) cl S ( M ) ⊆ cl W ( M )
- (iii) M ′ ′ ⊆ cl S ( M )
donde los subíndices W y S representan cierres en las topologías de operador débil y fuerte , respectivamente.
Prueba de (i)
Por definición de la topología de operador débil, para cualquier x y y en H , el mapa T → < Tx , y > es continua en esta topología. Por lo tanto, para cualquier operador O (y sustituyendo una vez y → O ∗ y y una vez x → Ox ), también lo es el mapa
Sea S cualquier subconjunto de L ( H ) y S ′ su conmutador . Para cualquier operador T no en S ', < OTx , y > - < Tox , y > es distinto de cero para algunos O en S y algunos x y y en H . Por la continuidad del mapeo mencionado anteriormente, hay una vecindad abierta de T en la topología del operador débil para la cual esto es distinto de cero, por lo tanto, esta vecindad abierta tampoco está en S '. Por tanto, S ′ está cerrado en el operador débil, es decir, S ′ está débilmente cerrado . Así, todo conmutador está débilmente cerrado, y también M ′ ′ ; dado que contiene M , también contiene su cierre débil.
Prueba de (ii)
Esto se deriva directamente de que la topología de operador débil es más burda que la topología de operador fuerte: para cada punto x en cl S ( M ) , cada vecindario abierto de x en la topología de operador débil también está abierto en la topología de operador fuerte y, por lo tanto, contiene un miembro de M ; por tanto, x también es miembro de cl W ( M ) .
Prueba de (iii)
Fija X ∈ M ′ ′ . Mostraremos X ∈ CL S ( M ) .
Arregle una vecindad abierta U de X en la topología de operador fuerte. Por definición de la topología de operador fuerte, U contiene una intersección finita U ( h 1 , ε 1 ) ∩ ... ∩ U ( h n , ε n ) de conjuntos abiertos subbásicos de la forma U ( h , ε) = { O ∈ L ( H ): || Oh - Xh || <ε}, donde h está en H y ε> 0.
Fix h en H . Considere el cierre cl ( M h ) de M h = { Mh : M ∈ M } con respecto a la norma de H y equipado con el producto interno de H . Se trata de un espacio de Hilbert (siendo un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert H ), y así tiene una correspondiente proyección ortogonal que denotamos P . P está acotado, por lo que está en L ( H ) . A continuación probamos:
- Lema. P ∈ M ′ .
- Prueba. Fix x ∈ H . Entonces Px ∈ cl ( M h ) , por lo que es el límite de una secuencia O n h con O n en M para todo n . Entonces, para todo T ∈ M , TO n h también está en M h y, por lo tanto, su límite está en cl ( M h ) . Por continuidad de T (ya que está en L ( H ) y por lo tanto Lipschitz continuo ), este límite es TPx . Dado que TPx ∈ cl ( M h ) , PTPx = TPx . De esto se deduce que PTP = TP para todos T en M .
- Al usar el cierre de M debajo del adjunto, tenemos además, para cada T en M y todo x , y ∈ H :
- por tanto, TP = PT y P se encuentra en M ′ .
Por definición del bicomutante XP = PX . Como M es unital, h ∈ M h , entonces Xh = XPh = PXh ∈ cl ( M h ) . Por tanto, para todo ε > 0 , existe T en M con || Xh - Ju || < ε . Entonces T se encuentra en U ( h , ε). [ aclaración necesaria ]
Así, en cada entorno abierto U de X en la topología fuerte operador hay un miembro de M , y así X está en el fuerte cierre topología operador de M .
Caso no unital
AC * -álgebra M que actúa sobre H se dice que actúa de forma no degenerada si para h en H , M h = {0} implica h = 0 . En este caso, se puede demostrar usando una identidad aproximada en M que el operador identidad I se encuentra en el fuerte cierre de M . Por lo tanto, la conclusión del teorema se cumple para bicommutant M .
Referencias
- WB Arveson, An Invitation to C * -algebras , Springer, Nueva York, 1976.