Punto singular de una curva

En geometría , un punto singular en una curva es aquel en el que la curva no está dada por una incrustación suave de un parámetro. La definición precisa de un punto singular depende del tipo de curva que se esté estudiando.

Las curvas algebraicas en el plano se pueden definir como el conjunto de puntos ( x , y ) que satisfacen una ecuación de la forma f  ( x , y ) = 0 , donde f es una función polinomial f  : R ² → R . Si f se expande como

Si b ₀ y b ₁ son ambos 0 en la expansión anterior, pero al menos uno de c ₀ , c ₁ , c ₂ no es 0, entonces el origen se llama punto doble de la curva. De nuevo poniendo y = mx , f se puede escribir

Si c ₀ + 2 mc ₁ + m ² c ₂ = 0 tiene dos soluciones reales para m , es decir, si c ₀ c ₂ − c ₁ ² < 0 , entonces el origen se llama crunodo . La curva en este caso se cruza en el origen y tiene dos tangentes distintas correspondientes a las dos soluciones de c ₀ + 2 mc ₁ + m ² c ₂ = 0 . La función f tiene un punto silla en el origen en este caso.

Si c ₀ + 2 mc ₁ + m ² c ₂ = 0 no tiene soluciones reales para m , es decir, si c ₀ c ₂ − c ₁ ² > 0 , entonces el origen se llama ánodo . En el plano real el origen es un punto aislado de la curva; sin embargo, cuando se considera como una curva compleja, el origen no está aislado y tiene dos tangentes imaginarias correspondientes a las dos soluciones complejas de c ₀ + 2 mc ₁ + m ² c ₂= 0 . La función f tiene un extremo local en el origen en este caso.

Si c ₀ + 2 mc ₁ + m ² c ₂ = 0 tiene una única solución de multiplicidad 2 para m , es decir, si c ₀ c ₂ − c ₁ ² = 0 , entonces el origen se llama cúspide . La curva en este caso cambia de dirección en el origen creando un punto afilado. La curva tiene una sola tangente en el origen que puede considerarse como dos tangentes coincidentes.

Tres limaçons que ilustran los tipos de punto doble. Cuando se convierte a coordenadas cartesianas , la curva izquierda adquiere un ánodo en el origen, que es un punto aislado en el plano. La curva central, la cardioide , tiene una cúspide en el origen. La curva de la derecha tiene un crunodo en el origen y la curva se cruza a sí misma para formar un bucle.${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-x\right)^{2}=\left(1.5\right)^{2}\left(x^{2}+y^{ 2}\derecho),}$

Una curva con un punto triple en el origen: ${\displaystyle x(t)=\sen 2t+\cos t,\quad }$ ${\displaystyle y(t)=\sin t+\cos 2t}$

Una cúspide en la parábola semicúbica ${\ estilo de visualización y^{2}=x^{3}}$