En el campo matemático de la topología general , un espacio de Dowker es un espacio topológico que es T 4 pero no contablemente paracompacto . Llevan el nombre de Clifford Hugh Dowker .
La tarea no trivial de proporcionar un ejemplo de un espacio Dowker (y por lo tanto también probar su existencia como objetos matemáticos) ayudó a los matemáticos a comprender mejor la naturaleza y variedad de los espacios topológicos . Los espacios topológicos son conjuntos junto con algunos subconjuntos (designados como "conjuntos abiertos") que satisfacen determinadas propiedades. Los espacios topológicos surgieron como generalización de los conjuntos abiertos de espacios estudiados en matemáticas elementales, como discos abiertos en el plano euclidiano, bolas abiertas en el espacio euclidiano e intervalos abiertos de la línea real .
Equivalencias
Dowker mostró, en 1951, lo siguiente:
Si X es un espacio T 1 normal (es decir, un espacio T 4 ), los siguientes son equivalentes:
- X es un espacio Dowker
- El producto de X con el intervalo unitario no es normal. [1]
- X no es contablemente metacompacto .
Dowker conjeturó que no había espacios Dowker, y la conjetura no se resolvió hasta que Mary Ellen Rudin construyó uno en 1971. [2] El contraejemplo de Rudin es un espacio muy grande (de cardinalidad ). Zoltán Balogh dio la primera construcción de ZFC de un ejemplo pequeño (cardinality continuum ), [3] que se comportó mejor que el de Rudin. Usando la teoría PCF , M. Kojman y S. Shelah construyeron un subespacio del espacio de cardinalidad Dowker de Rudineso también es Dowker. [4]
Referencias
- ^ Dowker, CH (1951). "Sobre espacios contablemente paracompactos" (PDF) . Lata. J. Math. 3 : 219-224. doi : 10.4153 / CJM-1951-026-2 . Zbl 0042.41007 . Consultado el 29 de marzo de 2015 .
- ^ Rudin, Mary Ellen (1971). "Un espacio normal X para el que X × I no es normal" (PDF) . Fundam. Matemáticas. Academia de Ciencias de Polonia. 73 (2): 179–186. Zbl 0224.54019 . Consultado el 29 de marzo de 2015 .
- ^ Balogh, Zoltan T. (agosto de 1996). "Un pequeño espacio Dowker en ZFC" (PDF) . Proc. Amer. Matemáticas. Soc. 124 (8): 2555-2560. Zbl 0876.54016 . Consultado el 29 de marzo de 2015 .
- ^ Kojman, Menachem; Shelah, Saharon (1998). "Un espacio de ZFC Dowker en ℵ ω + 1 {\ Displaystyle \ aleph _ {\ omega +1}} : una aplicación de la teoría PCF a la topología " (PDF) . Proc. Amer. Math. Soc. American Mathematical Society. 126 (8): 2459–2465 . Consultado el 29 de marzo de 2015 .