En matemáticas , la inversa de Drazin , llamada así por Michael P. Drazin , es una especie de inversa generalizada de una matriz .
Sea A una matriz cuadrada. El índice de A es el menor entero no negativo k tal que rango ( A k +1 ) = rango ( A k ). La inversa de Drazin de A es la matriz única A D que satisface
No es una inversa generalizada en el sentido clásico, ya que en general.
- Si A es invertible con inversa , luego .
- La inversión de Drazin es invariante bajo conjugación. Si es el Drazin inverso de , luego es el Drazin inverso de
- La inversa de Drazin de una matriz de índice 0 o 1 se denomina grupo inverso o {1,2,5} -inverso y se denota A # . La inversa grupo se puede definir, de manera equivalente, por las propiedades AA # A = A , A # AA # = A # , y AA # = A # A .
- Una matriz de proyección P , definido como una matriz tal que P 2 = P , tiene el índice 1 (o 0) y tiene Drazin inversa P D = P .
- Si A es una matriz nilpotente (por ejemplo, una matriz de desplazamiento ), entonces
La secuencia de hiperpotencia es
- para la convergencia observe que
Para o cualquier regular con elegido de tal manera que la secuencia tiende a su inversa Drazin,
Como la definición de la inversa de Drazin es invariante bajo conjugaciones matriciales, la escritura donde J está en forma normal de Jordan, implica que . La inversa de Drazin es entonces la operación que asigna los bloques Jordan invertibles a sus inversos y los bloques Jordan nilpotentes a cero.
Ver también
- Inversa generalizada restringida
- Elemento inverso
- Inversión de Moore-Penrose
- Jordan forma normal
- Vector propio generalizado
Referencias
- Drazin, diputado (1958). "Pseudo-inversos en anillos asociativos y semigrupos". The American Mathematical Monthly . 65 (7): 506–514. doi : 10.2307 / 2308576 . JSTOR 2308576 .
- Zheng, Bing; Bapat, RB (2004). "Inversa generalizada A (2) T, S y una ecuación de rango". Matemática Aplicada y Computación . 155 (2): 407. doi : 10.1016 / S0096-3003 (03) 00786-0 .