Dualidad (geometría proyectiva)
En geometría , una característica llamativa de los planos proyectivos es la simetría de los roles que juegan los puntos y las líneas en las definiciones y teoremas, y la dualidad ( plano ) es la formalización de este concepto. Hay dos enfoques del tema de la dualidad, uno a través del lenguaje ( § Principio de dualidad ) y el otro un enfoque más funcional a través de mapeos especiales . Estos son completamente equivalentes y cualquier tratamiento tiene como punto de partida el axiomáticoversión de las geometrías bajo consideración. En el enfoque funcional hay un mapa entre geometrías relacionadas que se llama dualidad . Tal mapa se puede construir de muchas maneras. El concepto de dualidad plana se extiende fácilmente a la dualidad espacial y más allá a la dualidad en cualquier geometría proyectiva de dimensión finita .
Un plano proyectivo C puede definirse axiomáticamente como una estructura de incidencia , en términos de un conjunto P de puntos , un conjunto L de líneas y una relación de incidencia I que determina qué puntos se encuentran en qué líneas. Estos conjuntos se pueden utilizar para definir una estructura dual plana .
Si C y C ∗ son isomorfos, entonces C se llama autodual . Los planos proyectivos PG(2, K ) para cualquier campo (o, más generalmente, para cada anillo de división (skewfield) isomorfo a su dual) K son autoduales. En particular, los planos desarguesianos de orden finito son siempre autoduales. Sin embargo, hay planos no desarguesianos que no son autoduales, como los planos de Hall, y algunos que sí lo son, como los planos de Hughes .
En un plano proyectivo, un enunciado que involucra puntos, líneas e incidencia entre ellos que se obtiene de otro enunciado intercambiando las palabras "punto" y "línea" y haciendo los ajustes gramaticales que sean necesarios, se denomina enunciado plano dual del primero . . El enunciado plano dual de "Dos puntos están en una línea única" es "Dos líneas se encuentran en un punto único". Formar el plano dual de un enunciado se conoce como dualizar el enunciado.
Si un enunciado es verdadero en un plano proyectivo C , entonces el plano dual de ese enunciado debe ser verdadero en el plano dual C ∗ . Esto se deduce ya que la dualización de cada declaración en la prueba "en C " da una declaración correspondiente de la prueba "en C ∗ ".
El principio de dualidad de planos dice que la dualización de cualquier teorema en un plano proyectivo autodual C produce otro teorema válido en C . [1]
