En matemáticas , una ondícula dual es la dual de una ondícula . En general, la serie de ondículas generada por una función integrable al cuadrado tendrá una serie dual, en el sentido del teorema de representación de Riesz . Sin embargo, la serie dual no se puede representar en sí misma mediante una función cuadrática integrable.
Dada una función cuadrática integrable , define la serie por
para enteros .
Función de un tipo se denomina R -Función si la envolvente lineal dees denso en, y si existen constantes positivas A , B con tal que
para todas las series sumables de cuadrados bi-infinitos. Aquí, denota la norma de suma cuadrada:
y denota la norma habitual en :
Según el teorema de representación de Riesz , existe una base dual única tal que
dónde es el delta de Kronecker yes el producto interior habitual en. De hecho, existe una representación en serie única para una función f integrable al cuadrado expresada en esta base:
Si existe una función tal que
luego se llama wavelet dual o wavelet dual a ψ . En general, para alguna función R dada ψ, el dual no existirá. En el caso especial de, se dice que la ondícula es una ondícula ortogonal .
Un ejemplo de función R sin dual es fácil de construir. Dejarser una ondícula ortogonal. Entonces definepara algún número complejo z . Es sencillo demostrar que este ψ no tiene un dual wavelet.