Descomposición de Jordan-Chevalley
En matemáticas, la descomposición de Jordan-Chevalley , llamada así por Camille Jordan y Claude Chevalley , expresa un operador lineal como la suma de su parte semisimple de conmutación y su parte nilpotente . La descomposición multiplicativa expresa un operador invertible como el producto de sus partes conmutadas semisimple y unipotente. La descomposición es fácil de describir cuando se da la forma normal de Jordan del operador, pero existe bajo hipótesis más débiles que la existencia de una forma normal de Jordan. Existen análogos de la descomposición de Jordan-Chevalley para elementos de grupos algebraicos lineales , álgebras de Lie, y grupos de Lie , y la descomposición es una herramienta importante en el estudio de estos objetos.
Considere los operadores lineales en un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo. Un operador T es semisimple si cada subespacio invariante en T tiene un subespacio invariante en T complementario (si el campo subyacente está algebraicamente cerrado , esto es lo mismo que el requisito de que el operador sea diagonalizable ). Un operador x es nilpotente si alguna potencia x m de él es el operador cero. Un operador x es unipotente si x - 1 es nilpotente.
donde x s es semisimple, x n es nilpotente y x s y x n conmutan. Más de un campo perfecto , [1] existe una descomposición tal (cf. #Proof de la unicidad y de la existencia ), la descomposición es única, y los x s y x n polinomios están en x sin términos constantes. [2] [3] En particular, para este tipo de descomposición sobre un campo perfecto, un operador que conmuta con x también conmuta con x s y xn .
Si x es un operador invertible, entonces una descomposición de Jordan-Chevalley multiplicativa expresa x como un producto
donde x s es semisimple, x u es unipotente y x s y x u conmutan. Una vez más, sobre un campo perfecto, existe una descomposición tal, la descomposición es única, y x s y x T son polinomios en x . La versión multiplicativa de la descomposición se deriva de la aditiva ya que, como se ve fácilmente como invertible,
y es unipotente. (A la inversa, mediante el mismo tipo de argumento, se puede deducir la versión aditiva de la multiplicativa).
