En relatividad general , una solución de polvo es una solución fluida , un tipo de solución exacta de la ecuación de campo de Einstein , en la que el campo gravitacional es producido enteramente por la masa, el momento y la densidad de tensión de un fluido perfecto que tiene densidad de masa positiva pero presión de desaparición . Las soluciones en polvo son un caso especial importante de soluciones fluidas en la relatividad general.
Modelo de polvo
Un fluido perfecto sin presión se puede interpretar como un modelo de una configuración de partículas de polvo que se mueven localmente en concierto e interactúan entre sí solo gravitacionalmente, de donde se deriva el nombre. Por esta razón, los modelos de polvo se emplean a menudo en cosmología como modelos de un universo de juguete, en el que las partículas de polvo se consideran modelos altamente idealizados de galaxias, cúmulos o supercúmulos. En astrofísica , se han empleado modelos de polvo como modelos de colapso gravitacional . Las soluciones de polvo también se pueden utilizar para modelar discos giratorios finitos de granos de polvo; algunos ejemplos se enumeran a continuación. Si se superpone de alguna manera a un modelo estelar que comprende una bola de fluido rodeada de vacío, se podría usar una solución de polvo para modelar un disco de acreción alrededor de un objeto masivo; sin embargo, aún no se conocen soluciones tan exactas que modelen los discos de acreción rotativos debido a la extrema dificultad matemática de construirlos.
Definición matemática
El tensor de tensión-energía de un fluido relativista sin presión se puede escribir en la forma simple
Aquí
- las líneas del mundo de las partículas de polvo son las curvas integrales de las cuatro velocidades ,
- la densidad de la materia viene dada por la función escalar.
Autovalores
Debido a que el tensor de tensión-energía es una matriz de rango uno, un cálculo corto muestra que el polinomio característico
del tensor de Einstein en una solución de polvo tendrá la forma
Al multiplicar este producto, encontramos que los coeficientes deben satisfacer las siguientes tres condiciones algebraicamente independientes (e invariantes):
Usando las identidades de Newton , en términos de las sumas de las potencias de las raíces (valores propios), que son también las huellas de las potencias del propio tensor de Einstein, estas condiciones se convierten en:
En notación de índice tensorial , esto se puede escribir usando el escalar de Ricci como:
Este criterio de valor propio a veces es útil en la búsqueda de soluciones de polvo, ya que muestra que muy pocas variedades de Lorentz podrían admitir una interpretación, en relatividad general, como una solución de polvo.
Ejemplos de
Solución de polvo nulo
Una solución de polvo nula es una solución de polvo donde el tensor de Einstein es nulo. [ se necesita más explicación ]
Polvo de Bianchi
Un modelo de polvo de Bianchi exhibe varios [ ¿cuál? ] tipos de álgebras de Lie de campos vectoriales Killing .
Los casos especiales incluyen FLRW y polvo de Kasner. [ se necesita más explicación ]
Polvo de Kasner
Un polvo de Kasner es el más simple [¿ según quién? ] modelo cosmológico que exhibe expansión anisotrópica . [ se necesita más explicación ]
Polvo FLRW
Los polvos de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) son homogéneos e isotrópicos . Estas soluciones a menudo se denominan modelos FLRW dominados por la materia .
Polvo giratorio
El polvo de Van Stockum es un polvo giratorio de simetría cilíndrica.
El polvo de Neugebauer-Meinel modela un disco giratorio de polvo acoplado a un exterior de vacío simétrico. Esta solución se ha llamado [¿ según quién? ] , la solución exacta más notable descubierta desde el vacío de Kerr .
Otras soluciones
Las soluciones de polvo individuales dignas de mención incluyen:
- Polvos de Lemaître-Tolman-Bondi (LTB) (algunos de los modelos cosmológicos no homogéneos más simples , a menudo empleados como modelos de colapso gravitacional)
- Polvos de Kantowski-Sachs (modelos cosmológicos que presentan perturbaciones de los modelos FLRW)
- Métrica de Gödel
Ver también
Referencias
- Schutz, Bernard F. (2009), "4. Fluidos perfectos en relatividad especial", Un primer curso en relatividad general (2 ed.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-88705-4
- Stephani, H .; Kramer, D .; MacCallum, M .; Hoenselaers, C .; Herlt, E. (2003). Soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein (2ª ed.) . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-46136-7. Da muchos ejemplos de soluciones de polvo exactas.