Métrica de Kasner

Parte de una serie de artículos sobre
Relatividad general
${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}$
Introducción Historia Formulación matemática Pruebas
Conceptos fundamentales Principio de relatividad Teoría de la relatividad Covarianza general Simultaneidad Relatividad de la simultaneidad Movimiento relativo Evento Marco de referencia Marco de referencia inercial Masa Masa inercial Marco de descanso Marco de centro de impulso Curvatura Geodésico Geon Principio de equivalencia Masa en relatividad general Equivalencia masa-energía Invariante Masa invariante Simetrías del espacio-tiempo Relatividad especial Relatividad doblemente especial Relatividad especial invariante de De Sitter Relatividad de escala Velocidad de la luz Derivada de tiempo Momento apropiado Longitud adecuada Contracción de la longitud Acción a distancia Principio de localidad Geometría riemanniana Condición energética
Fenómenos Gravitoelectromagnetismo Problema de Kepler Gravedad Campo gravitacional Pozo de gravedad Lente gravitacional Ondas gravitacionales Desplazamiento al rojo gravitacional Redshift Cambio azúl Dilatación del tiempo Dilatación del tiempo gravitacional Retraso de tiempo de Shapiro Potencial gravitacional Compresión gravitacional Colapso gravitacional Arrastrar fotogramas Efecto geodésico Horizonte aparente Horizonte de eventos Singularidad gravitacional Singularidad desnuda Calabozo Agujero blanco Tiempo espacial Flecha del tiempo Cono de luz Línea mundial Espacio tridimensional Espacio de cuatro dimensiones Espacio Hora Colector Colector liso Colector de Riemann Espacio de configuración Espacio de Estados Espacio de fase Espacio Hilbert Espacio euclidiano Espacio topológico Defecto topológico Diagramas de espacio-tiempo Espacio-tiempo de Minkowski Escalar de Lorentz Curva de tiempo cerrada (CTC) Agujero de gusano Ellis agujero de gusano
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Soluciones Disco relativista Schwarzschild ( interior ) Reissner – Nordström Gödel Kerr Kerr – Newman Kasner Lemaître – Tolman Taub-NUT Milne Robertson – Walker onda de pp polvo de van Stockum Weyl – Lewis – Papapetrou Solución de vacío
Teoremas Teorema de Birkhoff Teorema de la división de Geroch Teorema de Goldberg-Sachs Teorema de lovelock Teorema sin pelo Teoremas de singularidad de Penrose-Hawking Teorema de la energía positiva
Científicos Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Rodador Robertson Bardeen Caminante Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Hombre nuevo Yau Thorne otros
v t mi

Figura 1. Dinámica de las métricas de Kasner eq. 2 en coordenadas esféricas hacia la singularidad. El parámetro Lifshitz-Khalatnikov es u = 2 (1 / u = 0.5) y la coordenada r es 2 p _α (1 / u ) τ donde τ es el tiempo logarítmico: τ = ln t . ^{[1] La} contracción a lo largo de los ejes es lineal y uniforme (sin caos).

La métrica de Kasner (desarrollada y nombrada por el matemático estadounidense Edward Kasner en 1921) ^[2] es una solución exacta a la teoría de la relatividad general de Albert Einstein . Describe un universo anisotrópico sin materia (es decir, es una solución al vacío ). Puede escribirse en cualquier dimensión del espacio-tiempo y tiene fuertes conexiones con el estudio del caos gravitacional . ${\displaystyle D>3}$

Métrica y condiciones

La métrica en las dimensiones del espacio-tiempo es${\displaystyle D>3}$

${\displaystyle {\text{d}}s^{2}=-{\text{d}}t^{2}+\sum _{j=1}^{D-1}t^{2p_{j}}[{\text{d}}x^{j}]^{2}}$,

y contiene constantes , llamadas exponentes de Kasner. La métrica describe un espacio-tiempo cuyos segmentos de tiempo igual son espacialmente planos, sin embargo, el espacio se expande o contrae a diferentes velocidades en diferentes direcciones, dependiendo de los valores de . Las partículas de prueba en esta métrica cuya coordenada comoving difiere en están separadas por una distancia física .${\displaystyle D-1}$${\displaystyle p_{j}}$${\displaystyle p_{j}}$${\displaystyle \Delta x^{j}}$${\displaystyle t^{p_{j}}\Delta x^{j}}$

La métrica de Kasner es una solución exacta a las ecuaciones de Einstein en el vacío cuando los exponentes de Kasner satisfacen las siguientes condiciones de Kasner,

${\displaystyle \sum _{j=1}^{D-1}p_{j}=1,}$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{D-1}p_{j}^{2}=1.}$

La primera condición define un plano , el plano de Kasner, y la segunda describe una esfera , la esfera de Kasner. Las soluciones (opciones de ) que satisfacen las dos condiciones, por lo tanto, se encuentran en la esfera donde las dos se cruzan (a veces, de manera confusa, también llamada esfera de Kasner). En las dimensiones del espacio-tiempo, el espacio de las soluciones se encuentra, por tanto, en una esfera dimensional .${\displaystyle p_{j}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D-3}$${\displaystyle S^{D-3}}$

Funciones

Hay varias características notables e inusuales de la solución de Kasner:

• El volumen de los cortes espaciales es siempre . Esto se debe a que su volumen es proporcional a , y${\displaystyle O(t)}$${\displaystyle {\sqrt {-g}}}$

${\displaystyle {\sqrt {-g}}=t^{p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{D-1}}=t}$

donde hemos utilizado la primera condición de Kasner. Por lo tanto, puede describir un Big Bang o un Big Crunch , dependiendo del sentido de${\displaystyle t\to 0}$${\displaystyle t}$

• No se permite la expansión o contracción isotrópica del espacio . Si los cortes espaciales se expandían isotrópicamente, entonces todos los exponentes de Kasner deben ser iguales y, por lo tanto, deben satisfacer la primera condición de Kasner. Pero entonces la segunda condición de Kasner no se puede satisfacer, porque${\displaystyle p_{j}=1/(D-1)}$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{D-1}p_{j}^{2}={\frac {1}{D-1}}\neq 1.}$

La métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker empleada en cosmología , por el contrario, es capaz de expandirse o contraerse isotrópicamente debido a la presencia de materia.

• Con un poco más de trabajo, se puede demostrar que al menos un exponente de Kasner es siempre negativo (a menos que estemos en una de las soluciones con uno y el resto desaparezca). Suponga que tomamos la coordenada de tiempo para aumentar desde cero. Entonces esto implica que mientras el volumen del espacio aumenta , al menos una dirección (correspondiente al exponente de Kasner negativo) se contrae en realidad .${\displaystyle p_{j}=1}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$
• La métrica de Kasner es una solución a las ecuaciones de Einstein del vacío, por lo que el tensor de Ricci siempre desaparece para cualquier elección de exponentes que satisfagan las condiciones de Kasner. El tensor de Riemann completo desaparece solo cuando uno y el resto desaparecen, en cuyo caso el espacio es plano. La métrica de Minkowski se puede recuperar mediante la transformación de coordenadas y .${\displaystyle p_{j}=1}$${\displaystyle t'=t\cosh x_{j}}$${\displaystyle x_{j}'=t\sinh x_{j}}$

Ver también

• Singularidad BKL
• Universo Mixmaster

Notas

1. La expresión para r se obtiene logaritizando los coeficientes de potencia en la métrica: ln [ t ^{2 p _α (1 / u )} ] = 2 p _α (1 / u ) ln t .
2. Kasner, E. "Teoremas geométricos sobre ecuaciones cosmológicas de Einstein". Soy. J. Math. 43 , 217-221 (1921).

Referencias

• Misner, Charles W .; Kip S. Thorne; John Archibald Wheeler (septiembre de 1973). Gravitación . San Francisco: WH Freeman . ISBN 0-7167-0344-0.