Diádicos

En matemáticas , específicamente en álgebra multilineal , un tensor diádico o diádico es un tensor de segundo orden , escrito en una notación que encaja con el álgebra vectorial .

Existen numerosas formas de multiplicar dos vectores euclidianos . El producto escalar toma dos vectores y devuelve un escalar , mientras que el producto cruzado devuelve un pseudovector . Ambos tienen varias interpretaciones geométricas importantes y se utilizan ampliamente en matemáticas, física e ingeniería . El producto diádico toma dos vectores y devuelve un tensor de segundo orden llamado diádico en este contexto. Una diádica puede utilizarse para contener información física o geométrica, aunque en general no existe una forma directa de interpretarla geométricamente.

El producto diádico es distributivo sobre la suma de vectores y asociativo con la multiplicación escalar . Por lo tanto, el producto diádico es lineal en ambos operandos. En general, se pueden sumar dos diádicas para obtener otra diádica y multiplicarlas por números para escalar la diádica. Sin embargo, el producto no es conmutativo ; cambiar el orden de los vectores da como resultado una diádica diferente.

El formalismo del álgebra diádica es una extensión del álgebra vectorial para incluir el producto diádico de los vectores. El producto diádico también es asociativo con los productos punto y cruzado con otros vectores, lo que permite que los productos punto, cruzado y diádico se combinen para obtener otros escalares, vectores o diádicos.

También tiene algunos aspectos del álgebra matricial , ya que los componentes numéricos de los vectores se pueden organizar en vectores de fila y columna , y los de tensores de segundo orden en matrices cuadradas . Además, los productos de puntos, cruces y diádicos pueden expresarse todos en forma de matriz. Las expresiones diádicas pueden parecerse mucho a las matrices equivalentes.

El producto escalar de una diádica con un vector da otro vector y, tomando el producto escalar de este resultado, se obtiene un escalar derivado de la diádica. El efecto que una diádica determinada tiene sobre otros vectores puede proporcionar interpretaciones físicas o geométricas indirectas.

La notación diádica fue establecida por primera vez por Josiah Willard Gibbs en 1884. La notación y la terminología son relativamente obsoletas en la actualidad. Sus usos en física incluyen mecánica continua y electromagnetismo .

En este artículo, las variables en negrita en mayúsculas denotan diádicas (incluidas las díadas) mientras que las variables en negrita en minúsculas denotan vectores. Una notación alternativa utiliza, respectivamente, barras simples y dobles superiores o inferiores.

Definiciones y terminología

Productos diádicos, externos y tensoriales

Una díada es un tensor de orden dos y rango uno, y es el producto diádico de dos vectores ( vectores complejos en general), mientras que una díada es un tensor general de orden dos (que puede ser de rango completo o no).

Hay varios términos y notaciones equivalentes para este producto:

• el producto diádico de dos vectores y se denota por (yuxtapuesto; sin símbolos, signos de multiplicación, cruces, puntos, etc.)${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} }$
• el producto exterior de dos vectores de columna y se denota y define como o , donde significa transponer ,${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} ^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle {\mathsf {T}}}$
• el producto tensorial de dos vectores y se denota ,${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} }$

En el contexto diádico, todos tienen la misma definición y significado, y se usan como sinónimos, aunque el producto tensorial es una instancia del uso más general y abstracto del término.

La notación bra-ket de Dirac hace que el uso de díadas y diádicas sea intuitivamente claro, ver Cahill (2013) .

Espacio euclidiano tridimensional

Para ilustrar el uso equivalente, considere el espacio euclidiano tridimensional , dejando:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} \\\mathbf {b} &=b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} \end{aligned}}}$

ser dos vectores donde i , j , k (también denotados e ₁ , e ₂ , e ₃ ) son los vectores base estándar en este espacio vectorial (ver también coordenadas cartesianas ). A continuación, el producto diádico de una y b puede ser representada como una suma:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {ab} =\qquad &a_{1}b_{1}\mathbf {ii} +a_{1}b_{2}\mathbf {ij} +a_{1}b_{3}\mathbf {ik} \\{}+{}&a_{2}b_{1}\mathbf {ji} +a_{2}b_{2}\mathbf {jj} +a_{2}b_{3}\mathbf {jk} \\{}+{}&a_{3}b_{1}\mathbf {ki} +a_{3}b_{2}\mathbf {kj} +a_{3}b_{3}\mathbf {kk} \end{aligned}}}$

o por extensión de fila y de columna vectores, una matriz de 3 x 3 (también el resultado del producto exterior o tensor producto de una y b ):

${\displaystyle \mathbf {ab} \equiv \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} \equiv \mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\end{pmatrix}}.}$

Una díada es un componente de la diádica (un monomio de la suma o, equivalentemente, una entrada de la matriz): el producto diádico de un par de vectores básicos escalares multiplicado por un número.

Al igual que los vectores base estándar (y unitarios) i , j , k , tienen las siguientes representaciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {i} &={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},&\mathbf {j} &={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},&\mathbf {k} &={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

(que se puede transponer), las díadas de base estándar (y unidad) tienen la representación:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {ii} &={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {ij} &={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {ik} &={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\\\mathbf {ji} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {jj} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {jk} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}\\\mathbf {ki} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {kj} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},&\mathbf {kk} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

Para un ejemplo numérico simple en la base estándar:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=2\mathbf {ij} +{\frac {\sqrt {3}}{2}}\mathbf {ji} -8\pi \mathbf {jk} +{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\mathbf {kk} \\[2pt]&=2{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}-8\pi {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\[2pt]&={\begin{pmatrix}0&2&0\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&0&-8\pi \\0&0&{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

N -espacio euclidiano dimensional

Si el espacio euclidiano es N - dimensional , y

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=\sum _{i=1}^{N}a_{i}\mathbf {e} _{i}=a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+{\ldots }+a_{N}\mathbf {e} _{N}\\\mathbf {b} &=\sum _{j=1}^{N}b_{j}\mathbf {e} _{j}=b_{1}\mathbf {e} _{1}+b_{2}\mathbf {e} _{2}+\ldots +b_{N}\mathbf {e} _{N}\end{aligned}}}$

donde e _i y e _j son los vectores base estándar en N -dimensiones (el índice i en e _i selecciona un vector específico, no un componente del vector como en a _i ), entonces en forma algebraica su producto diádico es:

${\displaystyle \mathbf {ab} =\sum _{j=1}^{N}\sum _{i=1}^{N}a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}.}$

Esto se conoce como la forma no iónica de la diádica. Su producto externo / tensorial en forma de matriz es:

${\displaystyle \mathbf {ab} =\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{N}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{N}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&\cdots &a_{1}b_{N}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&\cdots &a_{2}b_{N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{N}b_{1}&a_{N}b_{2}&\cdots &a_{N}b_{N}\end{pmatrix}}.}$

Un polinomio diádico A , también conocido como diádico, se forma a partir de múltiples vectores a _i y b _j :

${\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}=\mathbf {a} _{1}\mathbf {b} _{1}+\mathbf {a} _{2}\mathbf {b} _{2}+\mathbf {a} _{3}\mathbf {b} _{3}+\ldots }$

Se dice que una diádica que no puede reducirse a una suma inferior a N díadas está completa. En este caso, los vectores formadores no son coplanares, ^{[ dudoso - discutir ]} ver Chen (1983) .

Clasificación

La siguiente tabla clasifica las diádicas:

	Determinante	Adyuvante	Matrix y su rango
Cero	= 0	= 0	= 0; rango 0: todos ceros
Lineal	= 0	= 0	≠ 0; rango 1: al menos un elemento distinto de cero y todos los subdeterminantes 2 × 2 cero (diádico único)
Planar	= 0	≠ 0 (diádica simple)	≠ 0; rango 2: al menos un subdeterminante 2 × 2 distinto de cero
Completo	≠ 0	≠ 0	≠ 0; rango 3: determinante distinto de cero

Identidades

Las siguientes identidades son una consecuencia directa de la definición del producto tensorial: ^[1]

1. Compatible con la multiplicación escalar :

   ${\displaystyle (\alpha \mathbf {a} )\mathbf {b} =\mathbf {a} (\alpha \mathbf {b} )=\alpha (\mathbf {a} \mathbf {b} )}$

   para cualquier escalar .${\displaystyle \alpha }$
2. Distributiva sobre la suma vectorial :

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} (\mathbf {b} +\mathbf {c} )&=\mathbf {a} \mathbf {b} +\mathbf {a} \mathbf {c} \\(\mathbf {a} +\mathbf {b} )\mathbf {c} &=\mathbf {a} \mathbf {c} +\mathbf {b} \mathbf {c} \end{aligned}}}$

Álgebra diádica

Producto de diádica y vectorial

Hay cuatro operaciones definidas en un vector y diádicas, construidas a partir de los productos definidos en vectores.

	Izquierda	Derecha
Producto escalar	${\displaystyle \mathbf {c} \cdot \left(\mathbf {a} \mathbf {b} \right)=\left(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} \right)\mathbf {b} }$	${\displaystyle \left(\mathbf {a} \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \right)}$
Producto cruzado	${\displaystyle \mathbf {c} \times \left(\mathbf {ab} \right)=\left(\mathbf {c} \times \mathbf {a} \right)\mathbf {b} }$	${\displaystyle \left(\mathbf {ab} \right)\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \left(\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right)}$

Producto de diádica y diádica

Hay cinco operaciones de una diádica a otra diádica. Sean a , b , c , d vectores. Luego:

		Punto	Cruz
Punto	Producto escalar ${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {a} \mathbf {b} \right)\cdot \left(\mathbf {c} \mathbf {d} \right)&=\mathbf {a} \left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \right)\mathbf {d} \\&=\left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \right)\mathbf {a} \mathbf {d} \end{aligned}}}$	Producto de doble punto ${\displaystyle \mathbf {ab} {}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\mathbf {cd} =\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} \right)\left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \right)}$ o ${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {ab} \right){}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\left(\mathbf {cd} \right)&=\mathbf {c} \cdot \left(\mathbf {ab} \right)\cdot \mathbf {d} \\&=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \right)\left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} \right)\end{aligned}}}$	Producto punto-cruzado ${\displaystyle \left(\mathbf {ab} \right){}_{\,\centerdot }^{\times }\left(\mathbf {c} \mathbf {d} \right)=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \right)\left(\mathbf {b} \times \mathbf {d} \right)}$
Cruz		Producto de punto cruzado ${\displaystyle \left(\mathbf {ab} \right){}_{\times }^{\,\centerdot }\left(\mathbf {cd} \right)=\left(\mathbf {a} \times \mathbf {c} \right)\left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} \right)}$	Producto de doble cruz ${\displaystyle \left(\mathbf {ab} \right){}_{\times }^{\times }\left(\mathbf {cd} \right)=\left(\mathbf {a} \times \mathbf {c} \right)\left(\mathbf {b} \times \mathbf {d} \right)}$

Dejando

${\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i},\quad \mathbf {B} =\sum _{j}\mathbf {c} _{j}\mathbf {d} _{j}}$

sean dos diádicas generales, tenemos:

		Punto	Cruz
Punto	Producto escalar ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\sum _{j}\sum _{i}\left(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j}\right)\mathbf {a} _{i}\mathbf {d} _{j}}$	Producto de doble punto ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} {}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\mathbf {B} &=\sum _{j}\sum _{i}\left(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {d} _{j}\right)\left(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j}\right)\\&=\sum _{j}\sum _{i}\left(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j}\right)\left(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {d} _{j}\right)\end{aligned}}}$	Producto punto-cruzado ${\displaystyle \mathbf {A} {}_{\,\centerdot }^{\times }\mathbf {B} =\sum _{j}\sum _{i}\left(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j}\right)\left(\mathbf {b} _{i}\times \mathbf {d} _{j}\right)}$
Cruz		Producto de punto cruzado ${\displaystyle \mathbf {A} {}_{\times }^{\,\centerdot }\mathbf {B} =\sum _{j}\sum _{i}\left(\mathbf {a} _{i}\times \mathbf {c} _{j}\right)\left(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {d} _{j}\right)}$	Producto de doble cruz ${\displaystyle \mathbf {A} {}_{\times }^{\times }\mathbf {B} =\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\times \mathbf {c} _{j}\right)\left(\mathbf {b} _{i}\times \mathbf {d} _{j}\right)}$

Producto de doble punto

Hay dos formas de definir el producto de doble punto; hay que tener cuidado al decidir qué convención utilizar. Como no hay operaciones matriciales análogas para los productos diádicos restantes, no aparecen ambigüedades en sus definiciones:

Hay un producto especial de doble punto con una transposición.

${\displaystyle \mathbf {A} {}_{\centerdot }^{\centerdot }\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}=\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}{}_{\centerdot }^{\centerdot }\mathbf {B} }$

Otra identidad es:

${\displaystyle \mathbf {A} {}_{\centerdot }^{\centerdot }\mathbf {B} =\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\right){}_{\centerdot }^{\centerdot }\mathbf {I} =\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right){}_{\centerdot }^{\centerdot }\mathbf {I} }$

Producto de doble cruz

Podemos ver que, para cualquier díada formada a partir de dos vectores un y b , su producto cruz doble es cero.

${\displaystyle \left(\mathbf {ab} \right){}_{\times }^{\times }\left(\mathbf {ab} \right)=\left(\mathbf {a} \times \mathbf {a} \right)\left(\mathbf {b} \times \mathbf {b} \right)=0}$

Sin embargo, por definición, un producto de doble cruzamiento diádico en sí mismo generalmente será distinto de cero. Por ejemplo, una A diádica compuesta por seis vectores diferentes

${\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}}$

tiene un producto de auto-doble cruzamiento distinto de cero de

${\displaystyle \mathbf {A} {}_{\times }^{\times }\mathbf {A} =2\left[\left(\mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\right)\left(\mathbf {b} _{1}\times \mathbf {b} _{2}\right)+\left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)\left(\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3}\right)+\left(\mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\right)\left(\mathbf {b} _{3}\times \mathbf {b} _{1}\right)\right]}$

Contracción del tensor

Artículo principal: contracción tensorial

El estímulo o factor de expansión surge de la expansión formal de la diádica en una base de coordenadas al reemplazar cada producto diádico por un producto escalar de vectores:

${\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {A} |=\qquad &A_{11}\mathbf {i} \cdot \mathbf {i} +A_{12}\mathbf {i} \cdot \mathbf {j} +A_{13}\mathbf {i} \cdot \mathbf {k} \\{}+{}&A_{21}\mathbf {j} \cdot \mathbf {i} +A_{22}\mathbf {j} \cdot \mathbf {j} +A_{23}\mathbf {j} \cdot \mathbf {k} \\{}+{}&A_{31}\mathbf {k} \cdot \mathbf {i} +A_{32}\mathbf {k} \cdot \mathbf {j} +A_{33}\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \\[6pt]=\qquad &A_{11}+A_{22}+A_{33}\end{aligned}}}$

en notación de índice, esta es la contracción de los índices en la diádica:

${\displaystyle |\mathbf {A} |=\sum _{i}A_{i}{}^{i}}$

Solo en tres dimensiones, el factor de rotación surge al reemplazar cada producto diádico por un producto cruzado

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {A} \rangle =\qquad &A_{11}\mathbf {i} \times \mathbf {i} +A_{12}\mathbf {i} \times \mathbf {j} +A_{13}\mathbf {i} \times \mathbf {k} \\{}+{}&A_{21}\mathbf {j} \times \mathbf {i} +A_{22}\mathbf {j} \times \mathbf {j} +A_{23}\mathbf {j} \times \mathbf {k} \\{}+{}&A_{31}\mathbf {k} \times \mathbf {i} +A_{32}\mathbf {k} \times \mathbf {j} +A_{33}\mathbf {k} \times \mathbf {k} \\[6pt]=\qquad &A_{12}\mathbf {k} -A_{13}\mathbf {j} -A_{21}\mathbf {k} \\{}+{}&A_{23}\mathbf {i} +A_{31}\mathbf {j} -A_{32}\mathbf {i} \\[6pt]=\qquad &\left(A_{23}-A_{32}\right)\mathbf {i} +\left(A_{31}-A_{13}\right)\mathbf {j} +\left(A_{12}-A_{21}\right)\mathbf {k} \\\end{aligned}}}$

En notación de índice, esta es la contracción de A con el tensor de Levi-Civita

${\displaystyle \langle \mathbf {A} \rangle =\sum _{jk}{\epsilon _{i}}^{jk}A_{jk}.}$

Unidad diádica

Existe una unidad diádica, denotada por I , tal que, para cualquier vector a ,

${\displaystyle \mathbf {I} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {I} =\mathbf {a} }$

Dada una base de 3 vectores de un , b y c , con base de reciprocidad , el diádica unidad se expresa por${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} }},{\hat {\mathbf {b} }},{\hat {\mathbf {c} }}}$

${\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {a} {\hat {\mathbf {a} }}+\mathbf {b} {\hat {\mathbf {b} }}+\mathbf {c} {\hat {\mathbf {c} }}}$

En la base estándar,

${\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {ii} +\mathbf {jj} +\mathbf {kk} }$

Explícitamente, el producto escalar a la derecha de la unidad diádica es

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {I} \cdot \mathbf {a} &=(\mathbf {i} \mathbf {i} +\mathbf {j} \mathbf {j} +\mathbf {k} \mathbf {k} )\cdot \mathbf {a} \\&=\mathbf {i} (\mathbf {i} \cdot \mathbf {a} )+\mathbf {j} (\mathbf {j} \cdot \mathbf {a} )+\mathbf {k} (\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} )\\&=\mathbf {i} a_{x}+\mathbf {j} a_{y}+\mathbf {k} a_{z}\\&=\mathbf {a} \end{aligned}}}$

y a la izquierda

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \mathbf {I} &=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {i} \mathbf {i} +\mathbf {j} \mathbf {j} +\mathbf {k} \mathbf {k} )\\&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {i} )\mathbf {i} +(\mathbf {a} \cdot \mathbf {j} )\mathbf {j} +(\mathbf {a} \cdot \mathbf {k} )\mathbf {k} \\&=a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} \\&=\mathbf {a} \end{aligned}}}$

La matriz correspondiente es

${\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

Esto se puede poner sobre bases más cuidadosas (explicando lo que posiblemente podría significar el contenido lógico de la "notación yuxtapuesta") usando el lenguaje de productos tensoriales. Si V es un espacio vectorial de dimensión finita , un tensor diádico en V es un tensor elemental en el producto tensorial de V con su espacio dual .

El producto tensorial de V y su espacio dual es isomorfo al espacio de mapas lineales de V a V : un tensor diádica vf es simplemente el mapa lineal de enviar cualquier w en V a f ( w ) v . Cuando V es un espacio n euclidiano , podemos usar el producto interno para identificar el espacio dual con el propio V , haciendo que un tensor diádico sea un producto tensorial elemental de dos vectores en el espacio euclidiano.

En este sentido, la diádica unidad ij es la función de 3-espacio a sí mismo enviando un ₁ i + un ₂ j + un ₃ k a un ₂ i , y jj envía esta suma a un ₂ j . Ahora se revela en qué sentido (preciso) ii + jj + kk es la identidad: envía a ₁ i + a ₂ j + a ₃ k a sí mismo porque su efecto es sumar cada vector unitario en la base estándar escalada por el coeficiente del vector en esa base.

Propiedades de las diádicas unitarias

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {a} \times \mathbf {I} \right)\cdot \left(\mathbf {b} \times \mathbf {I} \right)&=\mathbf {ba} -\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \right)\mathbf {I} \\\mathbf {I} {}_{\times }^{\,\centerdot }\left(\mathbf {ab} \right)&=\mathbf {b} \times \mathbf {a} \\\mathbf {I} {}_{\times }^{\times }\mathbf {A} &=(\mathbf {A} {}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\mathbf {I} )\mathbf {I} -\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\\\mathbf {I} {}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\left(\mathbf {ab} \right)&=\left(\mathbf {I} \cdot \mathbf {a} \right)\cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathrm {tr} \left(\mathbf {ab} \right)\end{aligned}}}$

donde "tr" denota el rastro .

Ejemplos

Proyección y rechazo de vectores

A distinto de cero vector una siempre se puede dividir en dos componentes perpendiculares, uno paralelas (‖) a la dirección de un vector unitario n , y una perpendicular (⊥) a la misma;

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{\parallel }+\mathbf {a} _{\perp }}$

La componente paralela se encuentra por proyección vectorial , que es equivalente al producto escalar de a con la diádica nn ,

${\displaystyle \mathbf {a} _{\parallel }=\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )=(\mathbf {nn} )\cdot \mathbf {a} }$

y la componente perpendicular se encuentra a partir del rechazo del vector , que es equivalente al producto escalar de a con la diádica I - nn ,

${\displaystyle \mathbf {a} _{\perp }=\mathbf {a} -\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )=(\mathbf {I} -\mathbf {nn} )\cdot \mathbf {a} }$

Diádica de rotación

Más información: Representación eje-ángulo

Rotaciones 2d

La diádica

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {ji} -\mathbf {ij} ={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$

es un operador de rotación de 90 ° en sentido antihorario en 2d. Se puede puntear a la izquierda con un vector r = x i + y j para producir el vector,

${\displaystyle (\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\cdot (x\mathbf {i} +y\mathbf {j} )=x\mathbf {ji} \cdot \mathbf {i} -x\mathbf {ij} \cdot \mathbf {i} +y\mathbf {ji} \cdot \mathbf {j} -y\mathbf {ij} \cdot \mathbf {j} =-y\mathbf {i} +x\mathbf {j} ,}$

En resumen

${\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathbf {r} =\mathbf {r} _{\mathrm {rot} }}$

o en notación matricial

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}}.}$

Para cualquier ángulo θ , la diádica de rotación 2d para una rotación en sentido antihorario en el plano es

${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {I} \cos \theta +\mathbf {J} \sin \theta =(\mathbf {ii} +\mathbf {jj} )\cos \theta +(\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\sin \theta ={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\;\cos \theta \end{pmatrix}}}$

donde I y J son como arriba, y la rotación de cualquier vector 2d a = a _x i + a _y j es

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {R} \cdot \mathbf {a} }$

Rotaciones 3d

Una rotación general en 3D de un vector a , alrededor de un eje en la dirección de un vector unitario ω y en sentido antihorario a través del ángulo θ , se puede realizar utilizando la fórmula de rotación de Rodrigues en la forma diádica.

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {R} \cdot \mathbf {a} \,,}$

donde la diádica de rotación es

${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {I} \cos \theta +\sin \theta {\boldsymbol {\Omega }}+(1-\cos \theta ){\boldsymbol {\omega \omega }}\,,}$

y las entradas cartesianas de ω también forman las de la diádica

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=\omega _{x}(\mathbf {kj} -\mathbf {jk} )+\omega _{y}(\mathbf {ik} -\mathbf {ki} )+\omega _{z}(\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\,,}$

El efecto de Ω en a es el producto cruzado

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\cdot \mathbf {a} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} }$

que es la forma diádica de la matriz de productos cruzados con un vector columna.

Transformación de Lorentz

En relatividad especial , el impulso de Lorentz con velocidad v en la dirección de un vector unitario n se puede expresar como

${\displaystyle t'=\gamma \left(t-{\frac {v\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} }{c^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {r} '=[\mathbf {I} +(\gamma -1)\mathbf {nn} ]\cdot \mathbf {r} -\gamma v\mathbf {n} t}$

dónde

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

es el factor de Lorentz .

Términos relacionados

Algunos autores generalizan a partir del término diádico a términos relacionados triádicas , tetrádica y poliádicos . ^[2]

Ver también

• Producto Kronecker
• Álgebra poliadica
• Vector unitario
• Multivector
• Forma diferencial
• Cuaterniones
• Campo (matemáticas)

Notas

1. Spencer (1992), página 19.
2. Por ejemplo, IV Lindell & AP Kiselev (2001). "Métodos poliádicos en elastodinámica" (PDF) . Avances en la investigación electromagnética . 31 : 113-154. doi : 10.2528 / PIER00051701 .

Referencias

• P. Mitiguy (2009). "Vectores y diádicas" (PDF) . Stanford , Estados Unidos. Capitulo 2
• Spiegel, MR; Lipschutz, S .; Spellman, D. (2009). Análisis vectorial, contornos de Schaum . McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
• AJM Spencer (1992). Mecánica continua . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-43594-6..
• Morse, Philip M .; Feshbach, Herman (1953), "§1.6: Diádicos y otros operadores vectoriales", Métodos de física teórica, Volumen 1 , Nueva York: McGraw-Hill , págs. 54–92, ISBN 978-0-07-043316-8, MR  0059774.
• Ismo V. Lindell (1996). Métodos de análisis de campos electromagnéticos . Wiley-Blackwell. ISBN 978-0-7803-6039-6..
• Hollis C. Chen (1983). Teoría de la onda electromagnética: un enfoque sin coordenadas . McGraw Hill. ISBN 978-0-07-010688-8..
• K. Cahill (2013). Matemática física . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1107005211.

Enlaces externos

• Vector Analysis, un libro de texto para el uso de estudiantes de matemáticas y física, basado en las conferencias de J. Willard Gibbs PhD LLD, Edwind Bidwell Wilson PhD
• Teoría de campo avanzada, IVLindel
• Análisis vectorial y diádico
• Análisis introductorio de tensor
• Nasa.gov, Fundamentos del análisis tensorial para estudiantes de física e ingeniería con una introducción a la teoría de la relatividad, JC Kolecki
• Nasa.gov, Introducción a los tensores para estudiantes de física e ingeniería, JC Kolecki