Semigrupo inverso
En grupo teoría, una inversa semigrupo (ocasionalmente llamado una inversión semigrupo [1] ) S es un semigrupo en el que cada elemento x en S tiene una única inversa y en S en el sentido de que x = xyx y y = YXY , es decir, un ordinario semigrupo en el que cada elemento tiene un inverso único. Los semigrupos inversos aparecen en una variedad de contextos; por ejemplo, pueden emplearse en el estudio de simetrías parciales . [2]
(La convención seguida en este artículo será la de escribir una función a la derecha de su argumento, por ejemplo, xf en lugar de f (x) , y componer funciones de izquierda a derecha, una convención que se observa a menudo en la teoría de semigrupos).
Los semigrupos inversos fueron introducidos independientemente por Viktor Vladimirovich Wagner [3] en la Unión Soviética en 1952, [4] y por Gordon Preston en el Reino Unido en 1954. [5] Ambos autores llegaron a semigrupos inversos a través del estudio de biyecciones parciales de un conjunto : una transformación parcial α de un conjunto X es una función de a a B , donde a y B son subconjuntos de X . Sea α yβ ser transformaciones parciales de un conjunto X ; α y β se pueden componer (de izquierda a derecha) en el dominio más grande en el que "tiene sentido" componerlos:
donde α −1 denota la preimagen debajo de α . Las transformaciones parciales ya se habían estudiado en el contexto de pseudogrupos . [6] Sin embargo, fue Wagner quien fue el primero en observar que la composición de transformaciones parciales es un caso especial de la composición de relaciones binarias . [7] Reconoció también que el dominio de composición de dos transformaciones parciales puede ser el conjunto vacío , por lo que introdujo una transformación vacía para tener en cuenta esto. Con la adición de esta transformación vacía, la composición de las transformaciones parciales de un conjunto se convierte en un conjunto definido en todas partes. operación binaria asociativa . Bajo esta composición, la colección de todas las transformaciones parciales uno-uno de un conjunto X forma un semigrupo inverso, llamado semigrupo inverso simétrico (o monoide) en X , con el inverso funcional inverso definido de imagen a dominio (de manera equivalente, la relación inversa ). [8] Este es el semigrupo inverso "arquetípico", de la misma manera que un grupo simétrico es el grupo arquetípico . Por ejemplo, así como cada grupo se puede incrustar en un grupo simétrico , cada semigrupo inverso se puede incrustar en un semigrupo inverso simétrico (ver§ Homomorfismos y representaciones de semigrupos inversos a continuación).
El inverso de un elemento x de un semigrupo S inverso se escribe normalmente x −1 . Los inversos en un semigrupo inverso tienen muchas de las mismas propiedades que los inversos en un grupo , por ejemplo, ( ab ) −1 = b −1 a −1 . En un monoide inverso , xx −1 y x −1 x no son necesariamente iguales a la identidad, pero ambos son idempotentes . [9] Un monoide inverso S en el que xx −1 = 1 = x−1 x , para todo x en S (un monoide inverso unipotente ), es, por supuesto, un grupo .
El idempotente en la clase-de s es s -1 s , mientras que el idempotente en la clase-de s es ss -1 . Por tanto, hay una caracterización simple de las relaciones de Green en un semigrupo inverso: [11]
