En matemáticas , un pseudogrupo es un conjunto de difeomorfismos entre conjuntos abiertos de un espacio, que satisfacen propiedades de tipo grupal y de haz. Es una generalización del concepto de grupo , originado sin embargo del enfoque geométrico de Sophus Lie [1] para investigar las simetrías de ecuaciones diferenciales, en lugar del álgebra abstracta (como cuasigrupo , por ejemplo). Élie Cartan desarrolló la teoría moderna de los pseudogrupos a principios del siglo XX. [2] [3]
Definición
Un pseudogrupo impone varias condiciones a un conjunto de homeomorfismos (respectivamente, difeomorfismos ) definidos en conjuntos abiertos U de un espacio euclidiano dado o más generalmente de un espacio topológico fijo (respectivamente, variedad suave ). Puesto que dos homeomorfismos h : U → V y g : V → W componga a un homeomorfismo de U a W , uno se pregunta que el pseudogroup es cerrado bajo la composición y la inversión. Sin embargo, a diferencia de los de un grupo, los axiomas que definen un pseudogrupo no son puramente algebraicos; los requisitos adicionales están relacionados con la posibilidad de restringir y parchear homeomorfismos (similar al axioma de pegado para secciones de un haz).
Más precisamente, un pseudogrupo en un espacio topológico S es una colección Γ de homeomorfismos entre subconjuntos abiertos de S que satisfacen las siguientes propiedades. [4]
- Para cada conjunto abierto U en S , el mapa de identidad en U está en Γ.
- Si f está en Γ, entonces también lo es f −1 .
- Si f está en Γ, entonces la restricción de f a un subconjunto abierto arbitrario de su dominio está en Γ.
- Si U está abierto en S , U es la unión de los conjuntos abiertos { U i }, f es un homeomorfismo de U a un subconjunto abierto de S , y la restricción de f a U i está en Γ para todo i , entonces f está en Γ.
- Si f : U → V y f ′ : U ′ → V ′ están en Γ, y la intersección V ∩ U ′ no está vacía , entonces la siguiente composición restringida está en Γ:
De manera similar, un pseudogrupo en una variedad suave X se define como una colección Γ de difeomorfismos entre subconjuntos abiertos de X que satisfacen propiedades análogas (donde reemplazamos homeomorfismos con difeomorfismos).
Se dice que dos puntos en X están en la misma órbita si un elemento de Γ envía uno al otro. Las órbitas de un pseudogrupo forman claramente una partición de X ; un pseudogrupo se llama transitivo si solo tiene una órbita.
Ejemplos de
Los pseudogrupos que conservan una estructura geométrica dada dan una amplia clase de ejemplos. Por ejemplo, si ( X , g ) es una variedad de Riemann , uno tiene el pseudogrupo de sus isometrías locales ; si ( X , ω ) es una variedad simpléctica , se tiene el pseudogrupo de sus simpléctomorfismos locales ; etc. Estos pseudogrupos deben pensarse como el conjunto de las simetrías locales de estas estructuras.
Pseudogrupos de simetrías y estructuras geométricas
Los colectores con estructuras adicionales a menudo se pueden definir utilizando los pseudogrupos de simetrías de un modelo local fijo. Más precisamente, dado un pseudogrupo Γ, un Γ-atlas en un espacio topológico M consiste en un atlas estándar en M tal que los cambios de coordenadas (es decir, los mapas de transición) pertenecen a Γ. Una clase equivalente de gamma-atlas también se llama una estructura Γ en M .
En particular, cuando Γ es el pseudogrupo de todos los difeomorfismos de R n definidos localmente , se recupera la noción estándar de un atlas suave y una estructura suave . De manera más general, se pueden definir los siguientes objetos como estructuras Γ en un espacio topológico M :
- estructuras planas de Riemann , para Γ pseudogrupos de isometrías de R n con la métrica euclidiana canónica;
- estructuras simplécticas , para Γ el pseudogrupo de simpléctomorfismos de R 2n con la forma simpléctica canónica;
- estructuras analíticas , para Γ el pseudogrupo de difeomorfismos (reales) analíticos de R n ;
- Superficies de Riemann , para Γ el pseudogrupo de funciones holomórficas invertibles de una variable compleja .
Más generalmente, cualquier estructura G integrable y cualquier colector ( G , X ) son casos especiales de estructuras Γ, para pseudogrupos Γ adecuados.
Pseudogrupos y teoría de mentiras
En general, los pseudogrupos se estudiaron como una posible teoría de los grupos de Lie de dimensión infinita . El concepto de un grupo de Lie local , es decir, un pseudogrupo de funciones definidas en vecindarios del origen de un espacio euclidiano E , está en realidad más cerca del concepto original de Lie de grupo de Lie, en el caso en que las transformaciones involucradas dependen de un número finito de parámetros , que la definición contemporánea a través de múltiples . Uno de los logros de Cartan fue aclarar los puntos involucrados, incluido el punto de que un grupo de Lie local siempre da lugar a un grupo global , en el sentido actual (un análogo del tercer teorema de Lie , sobre las álgebras de Lie que determinan un grupo). El grupo formal es otro enfoque más para la especificación de grupos de Lie, infinitesimalmente. Sin embargo, se sabe que los grupos topológicos locales no necesariamente tienen contrapartes globales.
Ejemplos de pseudogroups infinitas dimensiones abundan, empezando por el pseudogroup de todos los difeomorfismos de E . El interés se centra principalmente en los sub-pseudogrupos de los difeomorfismos y, por tanto, en los objetos que tienen un álgebra de Lie análoga a los campos vectoriales . Los métodos propuestos por Lie y Cartan para estudiar estos objetos se han vuelto más prácticos dado el progreso del álgebra computacional .
En la década de 1950, la teoría de Cartan fue reformulada por Shiing-Shen Chern , y Kunihiko Kodaira [5] y DC Spencer desarrollaron una teoría de deformación general para pseudogrupos . [6] En la década de 1960, el álgebra homológica se aplicó a las cuestiones básicas de PDE involucradas, de sobredeterminación; esto, sin embargo, reveló que el álgebra de la teoría es potencialmente muy pesada. En la misma década apareció por primera vez el interés por la física teórica de la teoría de Lie de dimensión infinita, en forma de álgebra actual .
Intuitivamente, un pseudogrupo de Lie debería ser un pseudogrupo que "se origina" a partir de un sistema de PDE. Hay muchas nociones similares pero desiguales en la literatura; [7] [8] [9] [10] [11] el "correcto" depende de la aplicación que se tenga en mente. Sin embargo, todos estos diversos enfoques involucran los haces de chorros (de dimensión finita o infinita) de Γ, a los que se les pide que sean un grupoide de Lie . En particular, un pseudogrupo de Lie se llama de orden finito k si se puede "reconstruir" a partir del espacio de sus k- chorros .
Referencias
- ↑ Sophus, Lie (1888-1893). Theorie der Transformationsgruppen . BG Teubner. OCLC 6056947 .Mantenimiento CS1: formato de fecha ( enlace )
- ^ Cartan, Élie (1904). "Sur la structure des groupes infinis de transformations" (PDF) . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 21 : 153-206. doi : 10.24033 / asens.538 .
- ^ Cartan, Élie (1909). "Les groupes de transformations continus, infinis, simples" (PDF) . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 26 : 93-161. doi : 10.24033 / asens.603 .
- ^ Kobayashi, Shoshichi y Nomizu, Katsumi. Fundamentos de la Geometría Diferencial, Volumen I . Biblioteca de clásicos de Wiley. John Wiley & Sons Inc., Nueva York, 1996. Reimpresión del original de 1969, A Wiley-Interscience Publication. ISBN 0-471-15733-3 .
- ^ Kodaira, K. (1960). "Sobre deformaciones de algunas estructuras complejas de pseudogrupo" . Annals of Mathematics . 71 (2): 224-302. doi : 10.2307 / 1970083 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1970083 .
- ^ Guillemin, Victor; Sternberg, Shlomo (1966). "Teoría de la deformación de estructuras de pseudogrupos" . Memorias de la American Mathematical Society . 0 (64): 0. doi : 10.1090 / memo / 0064 . ISSN 0065-9266 .
- ^ Kumpera, Antonio; Spencer, Donald Clayton (1 de enero de 1973). Ecuaciones de mentira, vol. Yo . Prensa de la Universidad de Princeton. doi : 10.1515 / 9781400881734 . ISBN 978-1-4008-8173-4.
- ^ Cantante, MI; Sternberg, Shlomo (1965). "Los grupos infinitos de Lie y Cartan Parte I, (Los grupos transitivos)" . Journal d'Analyse Mathématique . 15 (1): 1–114. doi : 10.1007 / bf02787690 . ISSN 0021-7670 . S2CID 123124081 .
- ^ Claude., Albert (1984-1987). Pseudogroupes de Lie transitifs . Hermann. OCLC 715985799 .Mantenimiento CS1: formato de fecha ( enlace )
- ^ Kuranishi, Masatake (1959). "Sobre la teoría local de los pseudogrupos infinitos continuos I" . Revista Matemática de Nagoya . 15 : 225-260. doi : 10.1017 / s0027763000006747 . ISSN 0027-7630 .
- ^ Olver, Peter J .; Pohjanpelto, Juha (2005). "Formas de Maurer-Cartan y la estructura de los pseudo-grupos de Lie" . Selecta Mathematica . 11 (1): 99-126. doi : 10.1007 / s00029-005-0008-7 . ISSN 1022-1824 . S2CID 14712181 .
- St. Golab (1939). "Über den Begriff der" Pseudogruppe von Transformationen " ". Mathematische Annalen . 116 : 768–780. doi : 10.1007 / BF01597390 . S2CID 124962440 .
enlaces externos
- Alekseevskii, DV (2001) [1994], "Pseudo-grupos" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press