En relatividad general , las coordenadas de Eddington-Finkelstein son un par de sistemas de coordenadas para una geometría de Schwarzschild (por ejemplo, un agujero negro esféricamente simétrico ) que se adaptan a geodésicas radiales nulas . Las geodésicas nulas son las líneas de mundo de los fotones ; los radiales son los que se mueven directamente hacia o alejándose de la masa central. Llevan el nombre de Arthur Stanley Eddington [1] y David Finkelstein . [2] Aunque parecen haber inspirado la idea, nunca anotaron estas coordenadas ni la métrica en estas coordenadas.Roger Penrose [3] parece haber sido el primero en escribir la forma nula, pero lo atribuye al artículo anterior de Finkelstein y, en su ensayo del Premio Adams de ese año, a Eddington y Finkelstein. De manera más influyente, Misner, Thorne y Wheeler, en su libro Gravitation , se refieren a las coordenadas nulas con ese nombre.
En estos sistemas de coordenadas, los rayos de luz radiales que viajan hacia afuera (hacia adentro) (cada uno de los cuales sigue una geodésica nula) definen las superficies de "tiempo" constante, mientras que la coordenada radial es la coordenada de área habitual, de modo que las superficies de simetría de rotación tienen un área de 4 π r 2 . Una ventaja de este sistema de coordenadas es que muestra que la singularidad aparente en el radio de Schwarzschild es solo una singularidad de coordenadas y no es una verdadera singularidad física. Si bien este hecho fue reconocido por Finkelstein, no fue reconocido (o al menos no comentado) por Eddington, cuyo propósito principal era comparar y contrastar las soluciones esféricamente simétricas en la teoría de la gravitación de Whitehead y la versión de Einstein de la teoría de la relatividad.
Métrica de Schwarzschild
Las coordenadas de Schwarzschild son, y en estas coordenadas es bien conocida la métrica de Schwarzschild:
dónde
es la métrica estándar de Riemann de las 2 esferas.
Tenga en cuenta que las convenciones que se utilizan aquí son la firma métrica de (- + + +) y las unidades naturales donde c = 1 es la velocidad adimensional de la luz, G la constante gravitacional y M es la masa característica de la geometría de Schwarzschild.
Coordenada de tortuga
Las coordenadas de Eddington-Finkelstein se basan en la coordenada de la tortuga, un nombre que proviene de una de las paradojas de Zenón de Elea en una carrera a pie imaginaria entre Aquiles de "pies rápidos" y una tortuga .
La coordenada de la tortuga se define:
para satisfacer:
La coordenada de la tortuga enfoques como se aproxima al radio de Schwarzschild .
Cuando alguna sonda (como un rayo de luz o un observador) se acerca al horizonte de sucesos de un agujero negro, su coordenada de tiempo de Schwarzschild se vuelve infinita. Los rayos nulos salientes en este sistema de coordenadas tienen un cambio infinito en t al viajar desde el horizonte. Se pretende que la coordenada de la tortuga crezca infinitamente a la velocidad adecuada para cancelar este comportamiento singular en los sistemas de coordenadas construidos a partir de ella.
El aumento en la coordenada de tiempo hasta el infinito a medida que uno se acerca al horizonte de eventos es la razón por la que nunca se podría recibir información de ninguna sonda que se envíe a través de dicho horizonte de eventos. Esto es a pesar del hecho de que la propia sonda, no obstante, puede viajar más allá del horizonte. También es la razón por la que la métrica espacio-temporal del agujero negro, cuando se expresa en coordenadas de Schwarzschild, se vuelve singular en el horizonte y, por lo tanto, no puede trazar completamente la trayectoria de una sonda en caída.
Métrico
Las coordenadas entrantes de Eddington-Finkelstein se obtienen reemplazando la coordenada t con la nueva coordenada. En estas coordenadas, la métrica de Schwarzschild se puede escribir como
donde de nuevo es la métrica estándar de Riemann en la unidad de radio 2-esfera.
Asimismo, las coordenadas de Eddington-Finkelstein salientes se obtienen reemplazando t con la coordenada nula. La métrica viene dada por
En ambos sistemas de coordenadas, la métrica es explícitamente no singular en el radio de Schwarzschild (aunque un componente desaparece en este radio, el determinante de la métrica sigue sin desaparecer y la métrica inversa no tiene términos que diverjan allí).
Tenga en cuenta que para los rayos radiales nulos, v = const o= constante o equivalente= const o u = const tenemos dv / dr y du / dr enfoque 0 y ± 2 en general r , no ± 1 como uno podría esperar si se consideran U o V como "tiempo". Al trazar diagramas de Eddington-Finkelstein, las superficies de constante u o v se dibujan generalmente como conos, con u o v líneas constantes dibujadas con pendiente de 45 grados en lugar de planos (ver, por ejemplo, el Recuadro 31.2 de MTW ). En cambio, algunas fuentes toman, correspondiente a superficies planas en tales diagramas. En términos de esto la métrica se convierte en
que es Minkowskian en general r . (Este fue el tiempo de coordenadas y la métrica que tanto Eddington como Finkelstein presentaron en sus artículos).
Las coordenadas de Eddington-Finkelstein aún están incompletas y pueden ampliarse. Por ejemplo, las geodésicas temporales que viajan hacia afuera definidas por (con τ el tiempo adecuado)
tiene v ( τ ) → −∞ como τ → 2 GM . Es decir, esta geodésica temporal tiene una longitud propia finita en el pasado donde sale del horizonte ( r = 2 GM ) cuando v se convierte en menos infinito. Las regiones para finito v y r <2 GM es una región diferente de finito u y r <2 GM . El horizonte r = 2 GM y finito v (el horizonte del agujero negro) es diferente al de r = 2 GM y finito u (el horizonte del agujero blanco ).
La métrica en coordenadas Kruskal-Szekeres cubre todo el espacio-tiempo extendido de Schwarzschild en un solo sistema de coordenadas. Su principal desventaja es que en esas coordenadas la métrica depende tanto de las coordenadas temporales como espaciales. En Eddington-Finkelstein, como en las coordenadas de Schwarzschild, la métrica es independiente del "tiempo" (ya sea t en Schwarzschild, o u o v en las diversas coordenadas de Eddington-Finkelstein), pero ninguna de ellas cubre el espacio-tiempo completo.
Las coordenadas de Eddington-Finkelstein tienen cierta similitud con las coordenadas de Gullstrand-Painlevé en que ambas son independientes del tiempo y penetran (son regulares) en los horizontes futuro (agujero negro) o pasado (agujero blanco). Ambas no son diagonales (las hipersuperficies de "tiempo" constante no son ortogonales a las hipersuperficies de r constante ). Las últimas tienen una métrica espacial plana, mientras que las hipersuperficies espaciales ("constante de tiempo") de las primeras son nulas y tienen la misma métrica que el de un cono nulo en el espacio de Minkowski ( en el espacio-tiempo plano).
Ver también
Referencias
- ^ Eddington, AS (febrero de 1924). " Una comparación de las fórmulas de Whitehead y Einstein " (PDF) . Naturaleza . 113 (2832): 192. Código Bibliográfico : 1924Natur.113..192E . doi : 10.1038 / 113192a0 .
- ^ Finkelstein, David (1958). " Asimetría pasado-futuro del campo gravitacional de una partícula puntual " . Phys. Rev . 110 : 965–967. Código Bibliográfico : 1958PhRv..110..965F . doi : 10.1103 / PhysRev.110.965 .
- ^ Penrose, Roger (1965). " Colapso gravitacional y singularidades espacio-tiempo " . Cartas de revisión física . 14 (3): 57–59. Código Bibliográfico : 1965PhRvL..14 ... 57P . doi : 10.1103 / PhysRevLett.14.57 .