En matemáticas , específicamente en topología , la operación de suma conectada es una modificación geométrica en variedades . Su efecto es unir dos variedades dadas juntas cerca de un punto elegido en cada una. Esta construcción juega un papel clave en la clasificación de superficies cerradas .
De manera más general, también se pueden unir colectores a lo largo de subvariedades idénticas; esta generalización a menudo se denomina suma de fibras . También existe una noción estrechamente relacionada de una suma conectada en nudos , llamada suma de nudos o composición de nudos.
Suma conectada en un punto
Una suma conectada de dos variedades m- dimensionales es una variedad formada eliminando una bola dentro de cada variedad y pegando las esferas de contorno resultantes .
Si ambos colectores están orientados , hay una única suma conectada definida por tener la orientación inversa del mapa de encolado. Aunque la construcción utiliza la elección de las bolas, el resultado es único hasta el homeomorfismo . También se puede hacer que esta operación funcione en la categoría suave , y luego el resultado es único hasta el difeomorfismo . Hay problemas sutiles en el caso liso: no todos los difeomorfismos entre los límites de las esferas dan la misma variedad compuesta, incluso si las orientaciones se eligen correctamente. Por ejemplo, Milnor demostró que se pueden pegar dos celdas 7 a lo largo de su límite para que el resultado sea una esfera exótica homeomórfica pero no difeomórfica a una esfera 7.
Sin embargo, hay una forma canónica de elegir el pegado de y lo que da una suma única bien definida conectada. [1] Elija incrustaciones y así que eso conserva la orientación y invierte la orientación. Ahora obtén de la suma disjunta
identificando con para cada vector unitario y cada . Elija la orientación para que es compatible con y . El hecho de que esta construcción esté bien definida depende fundamentalmente del teorema del disco , que no es en absoluto obvio. Para obtener más detalles, consulte [2].
La operación de suma conectada se denota por ; por ejemplo denota la suma conectada de y .
La operación de suma conectada tiene la esfera como identidad ; es decir, es homeomorfo (o difeomorfo) a .
La clasificación de superficies cerradas, un resultado fundamental e históricamente significativo en topología, establece que cualquier superficie cerrada puede expresarse como la suma conectada de una esfera con algún número. de tori y algún númerode planos proyectivos reales .
Suma conectada a lo largo de una subvariedad
Dejar y ser dos colectores lisos, orientados de igual dimensión y un colector liso, cerrado, orientado, incrustado como un sub colector en ambos y Supongamos además que existe un isomorfismo de haces normales
que invierte la orientación en cada fibra. Luego induce un difeomorfismo que conserva la orientación
donde cada paquete normal se identifica difeomórficamente con un vecindario de en y el mapa
es la involución difeomórfica con inversión de orientación
en vectores normales . La suma conectada de y a lo largo de es entonces el espacio
obtenido pegando los vecindarios eliminados juntos por el difeomorfismo que conserva la orientación. La suma a menudo se denota
Su tipo de difeomorfismo depende de la elección de las dos incrustaciones de y en la elección de .
Hablando libremente, cada fibra normal de la subvariedad contiene un solo punto de , y la suma conectada a lo largo de es simplemente la suma conectada como se describe en la sección anterior, realizada a lo largo de cada fibra. Por esta razón, la suma conectada a lo largoa menudo se denomina suma de fibras .
El caso especial de un punto recupera la suma conectada de la sección anterior.
Suma conectada a lo largo de una subvarietal codimensión dos
Otro caso especial importante ocurre cuando la dimensión de es dos menos que el del . Entonces el isomorfismode paquetes normales existe siempre que sus clases de Euler son opuestas:
Además, en este caso, el grupo de estructura de los paquetes normales es el grupo circular ; De ello se deduce que la elección de incrustaciones se puede identificar canónicamente con el grupo de clases de homotopía de mapas deal círculo, que a su vez es igual al primer grupo de cohomología integral. Entonces, el tipo de difeomorfismo de la suma depende de la elección de y una elección de elemento de .
Una suma conectada a lo largo de una codimensión dos también se puede realizar en la categoría de variedades simplécticas ; esta elaboración se llama suma simpléctica .
Operación local
La suma conectada es una operación local en múltiples, lo que significa que altera los sumandos solo en una vecindad de. Esto implica, por ejemplo, que la suma se puede realizar en un solo colectorque contiene dos copias separadas de, con efecto de pegar a sí mismo. Por ejemplo, la suma conectada de una esfera de dos en dos puntos distintos de la esfera produce el toro de dos.
Suma de nudos conectados
Existe una noción estrechamente relacionada de la suma conectada de dos nudos. De hecho, si uno considera un nudo simplemente como una variedad unidimensional, entonces la suma conectada de dos nudos es solo su suma conectada como una variedad unidimensional. Sin embargo, la propiedad esencial de un nudo no es su estructura múltiple (bajo la cual cada nudo equivale a un círculo) sino su incrustación en el espacio ambiental . Entonces, la suma conectada de nudos tiene una definición más elaborada que produce una incrustación bien definida, como sigue.
Este procedimiento da como resultado la proyección de un nuevo nudo, una suma conectada (o suma de nudos , o composición ) de los nudos originales. Para que la suma de nudos conectados esté bien definida, se deben considerar los nudos orientados en 3 espacios. Para definir la suma conectada para dos nodos orientados:
- Considere una proyección plana de cada nudo y suponga que estas proyecciones son inconexas.
- Encuentre un rectángulo en el plano donde un par de lados sean arcos a lo largo de cada nudo pero que, por lo demás, estén separados de los nudos y de modo que los arcos de los nudos en los lados del rectángulo estén orientados alrededor del límite del rectángulo en la misma dirección .
- Ahora une los dos nudos eliminando estos arcos de los nudos y agregando los arcos que forman el otro par de lados del rectángulo.
El nudo de suma conectado resultante hereda una orientación consistente con las orientaciones de los dos nudos originales, y la clase de isotopía ambiental orientada del resultado está bien definida, dependiendo solo de las clases de isotopía ambiental orientada de los dos nudos originales.
Bajo esta operación, los nudos orientados en 3 espacios forman un monoide conmutativo con factorización prima única , lo que nos permite definir qué se entiende por nudo primo . La prueba de conmutatividad se puede ver dejando que un sumando se encoja hasta que sea muy pequeño y luego tirando de él a lo largo del otro nudo. El nudo es la unidad. Los dos nudos de trébol son los nudos primos más simples . Se pueden agregar nudos de mayor dimensión empalmando el-esferas.
En tres dimensiones, el desanudo no se puede escribir como la suma de dos nudos no triviales. Este hecho se deriva de la aditividad del género de nudos ; otra prueba se basa en una construcción infinita a veces llamada la estafa de Mazur . En dimensiones más altas (con codimensión de al menos tres), es posible deshacer un nudo agregando dos nudos no triviales.
Si no se tienen en cuenta las orientaciones de los nudos, la operación de suma conectada no está bien definida en las clases de isotopía de nudos (no orientados). Para ver esto, considere dos nudos no invertibles K, L que no son equivalentes (como nudos no orientados); por ejemplo, tome los dos nudos de pretzel K = P (3,5,7) y L = P (3,5,9). Deje K + y K - ser K , con sus dos orientaciones no equivalentes, y permiten L + y L - sean L con sus dos orientaciones no equivalentes. Hay cuatro sumas conectadas orientadas que podemos formar:
- A = K + # L +
- B = K - # L -
- C = K + # L -
- D = K - # L +
Las clases de isotopías ambientales orientadas de estos cuatro nudos orientados son todas distintas. Y, cuando se considera la isotopía ambiental de los nodos sin tener en cuenta la orientación, hay dos clases de equivalencia distintas : { A ~ B } y { C ~ D }. Para ver que A y B son equivalentes no orientados, simplemente tenga en cuenta que ambos pueden construirse a partir del mismo par de proyecciones de nudos disjuntos que el anterior, siendo la única diferencia las orientaciones de los nudos. De manera similar, se ve que C y D pueden construirse a partir del mismo par de proyecciones de nudos disjuntos.
Ver también
- Suma de banda
- Descomposición principal (3 distribuidores)
- Descomposición del colector
- Nudo satélite
Otras lecturas
- Robert Gompf : Una nueva construcción de variedades simplécticas, Annals of Mathematics 142 (1995), 527–595
- William S. Massey, Un curso básico en topología algebraica , Springer-Verlag, 1991. ISBN 0-387-97430-X .
Referencias
- ^ Kervaire y Milnor, Grupos de esferas de homotopía I, Annals of Mathematics Vol 77 No 3 de mayo de 1963
- ^ Kosinski, colectores diferenciales, Academic Press Inc (1992).