En análisis matemático , el principio variacional de Ekeland , descubierto por Ivar Ekeland , [1] [2] [3] es un teorema que afirma que existen soluciones casi óptimas para algunos problemas de optimización .
El principio variacional de Ekeland se puede utilizar cuando el conjunto de nivel inferior de un problema de minimización no es compacto , por lo que no se puede aplicar el teorema de Bolzano-Weierstrass . El principio de Ekeland se basa en la integridad del espacio métrico . [4]
El principio de Ekeland conduce a una rápida demostración del teorema del punto fijo de Caristi . [4] [5]
Se ha demostrado que el principio de Ekeland es equivalente a la completitud de los espacios métricos. [6]
Ekeland estaba asociado con la Universidad Paris Dauphine cuando propuso este teorema. [1]
Principio variacional de Ekeland
Definiciones preliminares
Dejar ser una función valorada en los números reales extendidos Luego
- denota el dominio efectivo de
- es apropiado si (es decir, si no es idénticamente ).
- está delimitado por debajo si
- dado dilo es semicontinuo más bajo en si por cada real existe un barrio de tal que para todos en
- es semicontinuo más bajo si es semicontinuo más bajo en cada punto de
- Una función es semicontinua más baja si y solo si es un set abierto para todos; alternativamente, una función es semicontinua inferior si y solo si todos sus conjuntos de nivel inferior están cerrados .
Declaración del teorema
Teorema (Ekeland): [7] Seaser un espacio métrico completo y un adecuado (es decir, no idénticamente ) función semicontinua inferior que está acotada por debajo. Elegir y tal que (o equivalente, ). Existe algo tal que
y para todos
Prueba |
---|
Definir una función por que es semicontinua inferior porque es la suma de la función semicontinua inferior y la función continua Dado definir las funciones y y definir el conjunto Es sencillo verificar que para todos
Dejar que es un número real porque se supuso que estaba acotado por debajo. Elegir tal que Habiendo definido y definir y escoge tal que Estas secuencias tienen las siguientes propiedades:
De ello se deduce que para todos lo que prueba que es una secuencia de Cauchy. Porque es un espacio métrico completo, existen algunos tal que converge a Desde para todos tenemos para todos donde en particular, La conclusión del teorema seguirá una vez que se demuestre que Entonces deja Porque para todos tenemos como arriba de eso lo que implica que converge a Dado que el límite de es único, se sigue que Por lo tanto como se desee. |
Corolarios
Corolario : [8] Seaser un espacio métrico completo y dejarser un funcional semicontinuo inferior en que está delimitado por debajo y no es idénticamente igual a Reparar y un punto tal que
Entonces, para cada existe un punto tal que
y, para todos
Un buen compromiso es tomar en el resultado anterior. [8]
Referencias
- ↑ a b Ekeland, Ivar (1974). "Sobre el principio variacional". J. Math. Anal. Apl . 47 (2): 324–353. doi : 10.1016 / 0022-247X (74) 90025-0 . ISSN 0022-247X .
- ^ Ekeland, Ivar (1979). "Problemas de minimización no convexos" . Boletín de la American Mathematical Society . Series nuevas. 1 (3): 443–474. doi : 10.1090 / S0273-0979-1979-14595-6 . Señor 0526967 .
- ^ Ekeland, Ivar; Temam, Roger (1999). Análisis convexo y problemas variacionales . Clásicos de la matemática aplicada. 28 (Reimpresión corregida de (1976) North-Holland ed.). Filadelfia, PA: Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas (SIAM). págs. 357–373. ISBN 0-89871-450-8. Señor 1727362 .
- ^ a b Kirk, William A .; Goebel, Kazimierz (1990). Temas de la teoría del punto fijo métrico . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-38289-0.
- ^ Ok, Efe (2007). "D: Continuidad I". Análisis real con aplicaciones económicas (PDF) . Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 664. ISBN 978-0-691-11768-3. Consultado el 31 de enero de 2009 .
- ^ Sullivan, Francis (octubre de 1981). "Una caracterización de espacios métricos completos" . Actas de la American Mathematical Society . 83 (2): 345–346. doi : 10.1090 / S0002-9939-1981-0624927-9 . Señor 0624927 .
- ^ Zalinescu 2002 , p. 29.
- ↑ a b Zalinescu , 2002 , p. 30.
Bibliografía
- Ekeland, Ivar (1979). "Problemas de minimización no convexos" . Boletín de la American Mathematical Society . Series nuevas. 1 (3): 443–474. doi : 10.1090 / S0273-0979-1979-14595-6 . Señor 0526967 .
- Kirk, William A .; Goebel, Kazimierz (1990). Temas de la teoría del punto fijo métrico . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-38289-0.
- Zalinescu, C (2002). Análisis convexo en espacios vectoriales generales . River Edge, Nueva Jersey Londres: World Scientific. ISBN 981-238-067-1. OCLC 285163112 .
- Zălinescu, Constantin (30 de julio de 2002). Análisis convexo en espacios vectoriales generales . River Edge, Nueva Jersey Londres: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. Señor 1921556 . OCLC 285163112 .